16. (★★)如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB=∠B。如果AB=10，AC=6，那么CD的长为。

$\boldsymbol{2}$

解：延长CD交AB于点E。
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠ADC = ∠ADE = 90°。
在△ADC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD = ∠EAD \\AD = AD \\∠ADC = ∠ADE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △ADE（ASA）。
∴ AC = AE = 6，CD = DE，即 CE = 2CD。
∵ AB = 10，
∴ EB = AB - AE = 10 - 6 = 4。
∵ ∠DCB = ∠B，
∴ CE = EB = 4。
∴ 2CD = 4，
∴ CD = 2。

17.(★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,E是AC上一点,$ED ⊥ BC$于点D,DE的延长线交BA的延长线于点F.求证:$△ AEF$是等腰三角形.

证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ ED ⊥ BC，
∴ ∠BDF = ∠EDC = 90°，
∴ 在Rt△BDF中，∠F + ∠B = 90°，
在Rt△EDC中，∠DEC + ∠C = 90°，
∴ ∠F = ∠DEC（等角的余角相等）。
又∵ ∠DEC = ∠AEF（对顶角相等），
∴ ∠F = ∠AEF，
∴ AF = AE，
∴ △AEF是等腰三角形。

18. (★★)如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使腰长为b,底上的高为a(a＜b,尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).

解：
按如下要求保留尺规作图痕迹，所得△ABC即为所求作的等腰三角形：
1. 作水平直线l，在l上取点D，作出过点D且垂直于l的直线；
2. 在垂线上截取线段AD，使AD=a；
3. 以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线l于B、C两点；
4. 连接AB、AC，可得AB=AC=b，BC边上的高AD=a，△ABC即为符合条件的等腰三角形。

19. (★★★)在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点.
(1)如图①，$E,F$分别是$AB,AC$上的点，若$BE=AF$，求证：$△ DEF$为等腰直角三角形.
(2)如图②，$E,F$分别是$AB,CA$延长线上的点，$BE=AF$，其他条件不变，$△ DEF$是否仍为等腰直角三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

(1) 证明：
连接$AD$。
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$，$AD=BD=DC$，$∠ B=∠ C=45°$，$∠ DAC=45°$，
$\therefore ∠ B=∠ DAF$。
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}BD=AD \\∠ B=∠ DAF \\BE=AF\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BDE=∠ ADF$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ BDE + ∠ EDA=90°$，
$\therefore ∠ ADF + ∠ EDA=∠ EDF=90°$，
$\therefore △ DEF$为等腰直角三角形。
---
(2) 解：
$△ DEF$仍为等腰直角三角形，证明如下：
连接$AD$。
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD=BD$，$AD⊥ BC$，$∠ ABD=∠ BAD=45°$，
$\therefore ∠ DBE=180°-∠ ABD=135°$，
$∠ DAF=∠ BAC+∠ BAD=90°+45°=135°$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DAF$。
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}BD=AD \\∠ DBE=∠ DAF \\BE=AF\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BDE=∠ ADF$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，即$∠ ADF - ∠ BDF=90°$，
又$\because ∠ BDE=∠ ADF$，
$\therefore ∠ BDE - ∠ BDF=∠ EDF=90°$，
$\therefore △ DEF$为等腰直角三角形。