10. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,过点A作BC的平行线交$∠ ABC$的平分线于点D,连接CD.
(1)求证:$△ ACD$是等腰三角形;
(2)若$∠ BAD=140°$,求$∠ ACD$的度数.

(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
又∵ AB = AC，
∴ AC = AD，
∴ △ACD是等腰三角形。
---
(2) 解：
∵ AD//BC，
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°。
∵ ∠BAD = 140°，
∴ ∠ABC = 180° - 140° = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ACB = ∠ABC = 40°。
在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 140° - 100° = 40°。
由(1)知AC = AD，
∴ ∠ACD = ∠ADC = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ DAC) = \frac{1}{2} × (180° - 40°) = 70°$。
答：∠ACD的度数为$70°$。

【分析】
(1) 要证明△ACD是等腰三角形，核心是证明两条边相等，已知AB=AC，因此只需证明AB=AD即可。结合角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，再利用AD//BC的平行线性质得到∠ADB=∠DBC，等量代换后得∠ABD=∠ADB，根据等角对等边推出AB=AD，进而得到AC=AD，即可完成证明。
(2) 求∠ACD的度数时，先根据平行线同旁内角互补的性质，结合∠BAD=140°求出∠ABC的度数；再利用等腰△ABC等边对等角的性质得到∠ACB=∠ABC，进而求出∠BAC的度数，计算得到∠DAC的度数；最后结合(1)的结论AC=AD，利用等腰三角形内角和性质计算底角∠ACD即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD。
又
∵ AB = AC，
∴ AC = AD，
∴ △ACD是等腰三角形。
(2) 解：
∵ AD//BC，
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°。
∵ ∠BAD = 140°，
∴ ∠ABC = 180° - 140° = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ACB = ∠ABC = 40°。
在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 140° - 100° = 40°。
由(1)知AC = AD，
∴ ∠ACD = ∠ADC = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ DAC) = \frac{1}{2} × (180° - 40°) = 70°$。
【答案】
(1) △ACD是等腰三角形，得证；
(2) $\boxed{70°}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线、平行线、等腰三角形的核心知识点结合考查，解题思路清晰，只需按照性质逐步推导角度和边长关系即可求解，能较好地锻炼基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11. (★★)如图,已知一个等腰三角形的底边长为$c$,底边上的高为$\frac{1}{2}c$,求作这个等腰三角形.(保留作图痕迹,不必写作法)

解：
1. 作线段$BC = c$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}c$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线交$BC$于点$D$；
3. 在上述直线上点$D$的一侧截取线段$DA = \frac{1}{2}c$；
4. 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$即为所求作的等腰三角形，保留所有画弧、连线的作图痕迹即可。

【分析】
我们可以结合等腰三角形的性质推导作图思路：①首先确定底边，作长度等于已知底边长c的线段BC；②根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高在底边的垂直平分线上，因此作线段BC的垂直平分线，既可以得到底边中点D，也确定了高所在的直线；③在垂直平分线上，从D点出发截取长度为$\frac{1}{2}c$的线段DA，得到等腰三角形的顶点A；④连接AB、AC即可得到符合要求的等腰三角形。
【解析】
1. 作线段$BC = c$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}c$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线交$BC$于点$D$；
3. 在上述直线上点$D$的一侧截取线段$DA = \frac{1}{2}c$；
4. 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$即为所求作的等腰三角形，作图时保留所有画弧、连线的痕迹即可。
【答案】
$△ ABC$即为所求作的等腰三角形，保留作图痕迹即可。
【知识点】
等腰三角形的性质；尺规作线段；作线段的垂直平分线
【点评】
本题是基础的几何作图题，重点考查等腰三角形性质的应用和基本尺规作图的操作能力，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的特点快速确定顶点的位置，属于几何作图部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

12. (★)在△ABC中,已知∠BAC=90°, AB≠AC,若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D,使△ACD是等腰三角形,则下列作法正确的有【 】


A.②③
B.①②
C.①③
D.①②③

A

【分析】
要判断各作法是否正确，需明确每种尺规作图的含义，再结合等腰三角形“有两边相等的三角形为等腰三角形”的判定标准验证：
1. 作图①是作∠BAC的角平分线，只能得到∠CAD=45°，已知△ABC中∠BAC=90°且AB≠AC，故∠C≠45°，无法推出△ACD存在两边相等，因此①错误；
2. 作图②是以C为圆心、AC长为半径画弧交BC于D，可得CD=AC，满足△ACD两边相等，是等腰三角形，因此②正确；
3. 作图③是作AC的垂直平分线交BC于D，根据垂直平分线的性质可得AD=CD，满足△ACD两边相等，是等腰三角形，因此③正确。
综上，②③作法正确。
【解析】
解：逐一分析三种作图：
① 该作法为作∠BAC的角平分线，可得∠CAD=45°，由于AB≠AC，△ABC不是等腰直角三角形，∠C≠45°，无法得到△ACD有两边相等，故①错误；
② 由作图可知CD=AC（同圆的半径相等），因此△ACD中AC=CD，符合等腰三角形的判定，故②正确；
③ 由作图可知点D在AC的垂直平分线上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，得AD=CD，因此△ACD中AD=CD，符合等腰三角形的判定，故③正确。
因此作法正确的是②③，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；尺规作图识别；垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形判定结合考查，需要学生掌握常见尺规作图的操作意义，能结合几何性质推导线段关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7

13. (★)如图,在$△ ABC$中,$DE// AC$,分别交AB,BC于点D,E,连接CD,且$∠ ACD=∠ BCD$.若$DE=9,BE=7.5$,则BC的长为 【 】

A.16.5
B.15.5
C.14
D.13

A

【分析】
解题时先从已知的平行条件入手，利用平行线的内错角相等得到$∠ CDE=∠ ACD$；再结合角平分线的条件$∠ ACD=∠ BCD$，等量代换得到$∠ CDE=∠ DCE$，根据等角对等边可推出$DE=EC$，得到EC的长度后，BC的长即为BE与EC的长度之和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵$DE// AC$，
∴$∠ CDE=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ ACD=∠ BCD$，
∴$∠ CDE=∠ BCD$，
∴$EC=DE$（等角对等边），
∵$DE=9$，
∴$EC=9$，
又
∵$BE=7.5$，
∴$BC=BE+EC=7.5+9=16.5$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过平行线性质和角平分线条件进行角的等量代换，判定等腰三角形从而得到相等的线段，再求和得到所求线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

14. (★★)如图，∠B=∠C=36°, ∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为
【】

A.3
B.4
C.5
D.6

D

【分析】
解题时先明确等腰三角形的判定方法：等角对等边，即三角形中只要有两个内角相等，该三角形就是等腰三角形。我们可以先把图中所有三角形全部列举出来，再结合已知角的度数，利用三角形内角和定理、邻补角的性质计算每个三角形的各个内角度数，逐一判断是否存在相等的内角，最后统计等腰三角形的总数即可。
【解析】
根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，逐个分析图中的三角形：
1. △ABC：已知∠B=∠C=36°，两个底角相等，因此△ABC是等腰三角形，其顶角∠BAC=180°-36°×2=108°。
2. △ADE：已知∠ADE=∠AED=72°，两个底角相等，因此△ADE是等腰三角形，其顶角∠DAE=180°-72°×2=36°。
3. △ABD：∠ADB是∠ADE的邻补角，故∠ADB=180°-72°=108°，根据内角和可得∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-36°-108°=36°，即∠BAD=∠B=36°，因此△ABD是等腰三角形。
4. △AEC：∠AEC是∠AED的邻补角，故∠AEC=180°-72°=108°，根据内角和可得∠EAC=180°-∠C-∠AEC=180°-36°-108°=36°，即∠EAC=∠C=36°，因此△AEC是等腰三角形。
5. △ABE：∠AEB=∠AED=72°，∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，即∠BAE=∠AEB=72°，因此△ABE是等腰三角形。
6. △ADC：∠ADC=∠ADE=72°，∠DAC=∠DAE+∠EAC=36°+36°=72°，即∠DAC=∠ADC=72°，因此△ADC是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题时要注意完整列举所有三角形，既不能遗漏单独的小三角形，也不能漏掉多个小三角形组合而成的大三角形，结合角度计算逐一判定即可得到正确结果，易错点是漏数组合形成的等腰三角形。
【难度系数】
0.7

15. (★★)如图,在长方形ABCD中,AD=5,将长方形沿BD折叠,点A落在点E处,DE与BC交于点F,且BF=3,则EF的长为【 】

A.1
B.2
C.2.5
D.3

B

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用折叠的性质可得折叠前后对应边、对应角相等，即DE=AD，∠ADB=∠EDB；再结合长方形对边平行的性质，可推出内错角∠ADB=∠DBF，通过等量代换得到∠EDB=∠DBF，根据等角对等边可推出DF=BF，最后用DE的长度减去DF的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，AD=5
∴AD//BC
∴∠ADB=∠DBF（两直线平行，内错角相等）
由折叠的性质可得：∠ADB=∠FDB，DE=AD=5
∴∠FDB=∠DBF（等量代换）
∴DF=BF（等角对等边）
∵BF=3
∴DF=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；长方形的性质
【点评】
本题是几何折叠类基础题型，核心是结合图形性质找到角的等量关系，进而推出等腰三角形得到等线段，无需复杂计算即可求解，掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7