登录
1. (★)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=40°$，则$∠ A$的度数为。
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
首先从已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，相等的边对应的底角相等，即∠B和∠C相等；已知∠C=40°，即可得到∠B的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得：∠B=∠C=40°，
又
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理的应用，解题时只要准确识别等腰三角形的底角，结合内角和公式即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，相等的边对应的底角相等，即∠B和∠C相等；已知∠C=40°，即可得到∠B的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得：∠B=∠C=40°，
又
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理的应用，解题时只要准确识别等腰三角形的底角，结合内角和公式即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
2. (★)有两个角相等的三角形是（简写成“”）。
答案
解：等腰三角形
等角对等边
等角对等边
解析
【分析】
本题考查等腰三角形判定的相关概念，解题思路如下：首先审题明确题干描述的是三角形角的特征，对应等腰三角形的判定定理：三角形中若存在两个相等的内角，那么这两个角所对的边也相等，而有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此可确定第一个空的内容；再回忆该判定定理的常用简称，即可填出第二个空。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，因此有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定定理可以简写成“等角对等边”。
【答案】
等腰三角形；等角对等边
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 等角对等边
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对基础定理的记忆与掌握，熟练识记教材中的核心概念和定理表述即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形判定的相关概念，解题思路如下：首先审题明确题干描述的是三角形角的特征，对应等腰三角形的判定定理：三角形中若存在两个相等的内角，那么这两个角所对的边也相等，而有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此可确定第一个空的内容；再回忆该判定定理的常用简称，即可填出第二个空。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，因此有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定定理可以简写成“等角对等边”。
【答案】
等腰三角形；等角对等边
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 等角对等边
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对基础定理的记忆与掌握，熟练识记教材中的核心概念和定理表述即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3. (★)在$△ ABC$中,已知$∠ B=∠ C$,则
【 】
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
【 】
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
答案
B
解析
【分析】
本题考查等腰三角形“等角对等边”的应用，解题思路如下：第一步，明确三角形中角和对边的对应关系：角的对边是指不包含该角顶点的边，即∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；第二步，根据已知∠B=∠C，结合“等角对等边”的性质，即可推出两个角对应的边相等；第三步，逐一核对选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
在△ABC中：
1. 先确定各角对应的边：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；
2. 根据等腰三角形的性质：同一个三角形中，相等的角所对的边相等（等角对等边），已知∠B=∠C，因此可得AC=AB，即AB=AC；
3. 逐一判断选项：
A选项：AB=BC对应∠C=∠A，与已知条件不符，错误；
B选项：AB=AC符合推导结果，正确；
C选项：BC=AC对应∠B=∠A，与已知条件不符，错误；
D选项：只有当△ABC是等边三角形时∠A=60°，本题仅能判断△ABC为等腰三角形，无法推出∠A的度数，错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等角对等边
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形的基础考查题，重点要求学生准确掌握“等角对等边”的应用规则，尤其要注意区分角与对应边的关系，避免因对应关系混淆导致失分。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形“等角对等边”的应用，解题思路如下：第一步，明确三角形中角和对边的对应关系：角的对边是指不包含该角顶点的边，即∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；第二步，根据已知∠B=∠C，结合“等角对等边”的性质，即可推出两个角对应的边相等；第三步，逐一核对选项，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
在△ABC中：
1. 先确定各角对应的边：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB；
2. 根据等腰三角形的性质：同一个三角形中，相等的角所对的边相等（等角对等边），已知∠B=∠C，因此可得AC=AB，即AB=AC；
3. 逐一判断选项：
A选项：AB=BC对应∠C=∠A，与已知条件不符，错误；
B选项：AB=AC符合推导结果，正确；
C选项：BC=AC对应∠B=∠A，与已知条件不符，错误；
D选项：只有当△ABC是等边三角形时∠A=60°，本题仅能判断△ABC为等腰三角形，无法推出∠A的度数，错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等角对等边
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形的基础考查题，重点要求学生准确掌握“等角对等边”的应用规则，尤其要注意区分角与对应边的关系，避免因对应关系混淆导致失分。
【难度系数】
0.9
4. (★)下列条件可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是 【 】
A.$2∠ A=∠ B+∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.三角形的一个角为$60°$
D.$∠ B=40°,∠ C=70°$
A.$2∠ A=∠ B+∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.三角形的一个角为$60°$
D.$∠ B=40°,∠ C=70°$
答案
D
解析
【分析】
要判定△ABC为等腰三角形，核心是验证三角形中是否存在两个相等的内角（依据等角对等边的判定规则）。我们可以结合三角形内角和为180°的性质，逐个计算每个选项中三个内角的度数，判断是否有两个角相等即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角度数之和为180°，逐一分析选项：
A选项：已知$2∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得$∠A + 2∠A = 180°$，解得$∠A=60°$，但无法确定$∠B$和$∠C$是否相等，不能判定为等腰三角形，排除；
B选项：设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，三个角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
C选项：仅知道三角形一个角为60°，剩余两个角的和为120°，但无法确定这两个角是否相等，不能判定为等腰三角形，排除；
D选项：已知$∠ B=40°,∠ C=70°$，则$∠A=180°-40°-70°=70°$，可得$∠A=∠C$，根据等角对等边，可判定△ABC是等腰三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和性质以及等腰三角形“等角对等边”的判定依据，通过逐一验证选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC为等腰三角形，核心是验证三角形中是否存在两个相等的内角（依据等角对等边的判定规则）。我们可以结合三角形内角和为180°的性质，逐个计算每个选项中三个内角的度数，判断是否有两个角相等即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角度数之和为180°，逐一分析选项：
A选项：已知$2∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得$∠A + 2∠A = 180°$，解得$∠A=60°$，但无法确定$∠B$和$∠C$是否相等，不能判定为等腰三角形，排除；
B选项：设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，三个角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
C选项：仅知道三角形一个角为60°，剩余两个角的和为120°，但无法确定这两个角是否相等，不能判定为等腰三角形，排除；
D选项：已知$∠ B=40°,∠ C=70°$，则$∠A=180°-40°-70°=70°$，可得$∠A=∠C$，根据等角对等边，可判定△ABC是等腰三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和性质以及等腰三角形“等角对等边”的判定依据，通过逐一验证选项即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
5. (★)根据下列尺规作图的痕迹,不能判断△ABC是等腰三角形的是 【 】
答案
解：
A. 由作图痕迹可得∠B=∠C，根据“等角对等边”，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可得所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可得BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，因此∠ACB=∠CBE（E为水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，进而可得∠BAC=∠ABC，根据等角对等边得AC=BC，因此△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可得仅是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，只能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】D
A. 由作图痕迹可得∠B=∠C，根据“等角对等边”，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可得所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可得BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，因此∠ACB=∠CBE（E为水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，进而可得∠BAC=∠ABC，根据等角对等边得AC=BC，因此△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可得仅是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，只能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】D
解析
【分析】
要判断能否确定△ABC是等腰三角形，首先明确等腰三角形的判定依据：有两条边相等或者两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时先识别每个选项的尺规作图对应的操作，再结合相关几何性质推导是否能得到△ABC的两边相等或两角相等，逐一排除可判定的选项，最终得到答案。
【解析】
A. 由作图痕迹可知作出的∠B与∠C相等，根据“等角对等边”可得AB=AC，因此能判断△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可知所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，因此能判断△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可知BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，根据平行线的内错角相等得∠ACB=∠CBE（E为B右侧水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，推导可得△ABC有两个内角相等，因此能判断△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可知是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，仅能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，因此不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形判定，尺规作图识别，垂直平分线性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形判定相结合，需要熟练掌握常见尺规作图的痕迹对应的操作，结合几何基本性质推导即可，属于基础类题型，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
要判断能否确定△ABC是等腰三角形，首先明确等腰三角形的判定依据：有两条边相等或者两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时先识别每个选项的尺规作图对应的操作，再结合相关几何性质推导是否能得到△ABC的两边相等或两角相等，逐一排除可判定的选项，最终得到答案。
【解析】
A. 由作图痕迹可知作出的∠B与∠C相等，根据“等角对等边”可得AB=AC，因此能判断△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可知所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，因此能判断△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可知BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，根据平行线的内错角相等得∠ACB=∠CBE（E为B右侧水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，推导可得△ABC有两个内角相等，因此能判断△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可知是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，仅能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，因此不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形判定，尺规作图识别，垂直平分线性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形判定相结合，需要熟练掌握常见尺规作图的痕迹对应的操作，结合几何基本性质推导即可，属于基础类题型，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
6. (★) 下列能判定△ABC为等腰三角形
的是
【 】
A.∠A=30°, ∠B=60°
B.AB=AC=2, BC=4
C.∠A=50°, ∠B=80°
D.AB=3, BC=7, 周长为15
的是
【 】
A.∠A=30°, ∠B=60°
B.AB=AC=2, BC=4
C.∠A=50°, ∠B=80°
D.AB=3, BC=7, 周长为15
答案
C
解析
【分析】
要判定△ABC为等腰三角形，需结合等腰三角形的判定条件（有两条边相等，或有两个内角相等）分析，同时要先验证三边是否满足三角形三边关系，确保三角形能成立，我们逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一判断每个选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，三个内角度数分别为30°、60°、90°，没有相等的角，也没有相等的边，不是等腰三角形，排除；
B选项：AB=AC=2，BC=4，此时AB+AC=4=BC，不符合三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，排除；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠C=50°，根据“等角对等边”可得BC=AB，△ABC是等腰三角形，符合要求；
D选项：已知AB=3，BC=7，周长为15，可得AC=15-3-7=5，三边长分别为3、5、7，没有相等的边，不是等腰三角形，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题，解题时要注意先验证三角形是否存在（即满足三边关系），再结合角或边的相等关系判断是否为等腰三角形，避免忽略三角形存在的前提导致出错。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC为等腰三角形，需结合等腰三角形的判定条件（有两条边相等，或有两个内角相等）分析，同时要先验证三边是否满足三角形三边关系，确保三角形能成立，我们逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一判断每个选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°，三个内角度数分别为30°、60°、90°，没有相等的角，也没有相等的边，不是等腰三角形，排除；
B选项：AB=AC=2，BC=4，此时AB+AC=4=BC，不符合三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，排除；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠C=50°，根据“等角对等边”可得BC=AB，△ABC是等腰三角形，符合要求；
D选项：已知AB=3，BC=7，周长为15，可得AC=15-3-7=5，三边长分别为3、5、7，没有相等的边，不是等腰三角形，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题，解题时要注意先验证三角形是否存在（即满足三边关系），再结合角或边的相等关系判断是否为等腰三角形，避免忽略三角形存在的前提导致出错。
【难度系数】
0.8
7. (★★)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是
【】
A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
【】
A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
答案
A
解析
【分析】
解题时先从直尺刻度入手算出CP的长度，再挖掘长方形直尺隐含的性质推导角的关系，最终结合等腰三角形的性质求解。第一步：根据点C、P的刻度读数，作差得到CP的长度；第二步：利用长方形直尺对边平行的性质，推出内错角相等；第三步：结合直尺宽度相等的特点，判定OP是角平分线，得到另一组等角，等量代换后判定三角形为等腰三角形，即可得到OC和CP的等量关系。
【解析】
解：由题意可知，斜放直尺上点C、P的刻度分别为2和5，因此$ CP = 5 - 2 = 3\ \mathrm{cm} $。
∵ 长方形直尺的对边互相平行，
∴ $ CP // OB $，根据平行线的性质可得$ ∠ CPO = ∠ BOP $。
又
∵ 两把直尺完全相同，宽度相等，即点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定可知OP平分$ ∠ AOB $，因此$ ∠ COP = ∠ BOP $。
等量代换可得$ ∠ COP = ∠ CPO $，即$ △ COP $为等腰三角形，根据等腰三角形等角对等边的性质，得$ OC = CP = 3\ \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合生活中常见的直尺考查几何基础性质的应用，需要学生挖掘直尺隐含的平行、宽度相等的条件，将实际物品转化为几何模型解题，综合性不强，注重基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从直尺刻度入手算出CP的长度，再挖掘长方形直尺隐含的性质推导角的关系，最终结合等腰三角形的性质求解。第一步：根据点C、P的刻度读数，作差得到CP的长度；第二步：利用长方形直尺对边平行的性质，推出内错角相等；第三步：结合直尺宽度相等的特点，判定OP是角平分线，得到另一组等角，等量代换后判定三角形为等腰三角形，即可得到OC和CP的等量关系。
【解析】
解：由题意可知，斜放直尺上点C、P的刻度分别为2和5，因此$ CP = 5 - 2 = 3\ \mathrm{cm} $。
∵ 长方形直尺的对边互相平行，
∴ $ CP // OB $，根据平行线的性质可得$ ∠ CPO = ∠ BOP $。
又
∵ 两把直尺完全相同，宽度相等，即点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定可知OP平分$ ∠ AOB $，因此$ ∠ COP = ∠ BOP $。
等量代换可得$ ∠ COP = ∠ CPO $，即$ △ COP $为等腰三角形，根据等腰三角形等角对等边的性质，得$ OC = CP = 3\ \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合生活中常见的直尺考查几何基础性质的应用，需要学生挖掘直尺隐含的平行、宽度相等的条件，将实际物品转化为几何模型解题，综合性不强，注重基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. (★★)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$BD ⊥ AD$于点D,过点D作$DE// AC$,交AB于点E,若$AB=6$,则DE的长为 【 】
A.2.5
B.3
C.3.5
D.4
A.2.5
B.3
C.3.5
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用角平分线的性质和平行线的性质，推导得到∠EAD=∠EDA，进而得出AE=DE；再结合BD⊥AD的条件，利用等角的余角相等推导∠EBD=∠EDB，得到BE=DE；由此可知DE是AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
1.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
2.
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE（等角对等边）。
3.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD + ∠ABD = 90°，∠EDA + ∠EDB = 90°。
4. 又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠ABD=∠EDB（等角的余角相等），
∴BE=DE（等角对等边）。
5.
∴AE=BE=DE，即$DE = \frac{1}{2}AB$，
∵AB=6，
∴$DE = \frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的关键是结合已知条件通过角的等量关系推导边的相等关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用角平分线的性质和平行线的性质，推导得到∠EAD=∠EDA，进而得出AE=DE；再结合BD⊥AD的条件，利用等角的余角相等推导∠EBD=∠EDB，得到BE=DE；由此可知DE是AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
1.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
2.
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE（等角对等边）。
3.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD + ∠ABD = 90°，∠EDA + ∠EDB = 90°。
4. 又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠ABD=∠EDB（等角的余角相等），
∴BE=DE（等角对等边）。
5.
∴AE=BE=DE，即$DE = \frac{1}{2}AB$，
∵AB=6，
∴$DE = \frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的关键是结合已知条件通过角的等量关系推导边的相等关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线交于点 $O$,过点 $O$ 作 $DE// BC$,分别交 $AB,AC$ 于点 $D,E$.若 $AB=9,AC=6$,则 $△ ADE$ 的周长为 .
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
解题时可结合已知条件联想常考模型：题干同时出现角平分线和平行线，可构造等腰三角形求解。首先利用角平分线定义得到等角，再结合平行线的内错角相等，通过等量代换证明等腰三角形，得到相等的线段；随后将△ADE的周长拆分为线段和，用相等的线段做代换，即可将未知周长转化为已知的AB、AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵$DE// BC$，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴$BD=DO$（等角对等边），
同理可得：$CE=EO$，
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE$，
将$DO=BD$、$OE=CE$代入上式得：
$△ ADE$的周长$=AD+BD+CE+AE=AB+AC$，
∵$AB=9$，$AC=6$，
∴$△ ADE$的周长$=9+6=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
1.角平分线的定义
2.平行线的性质
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型考题，解题核心是通过该模型推导出等腰三角形，再借助等线段代换将未知周长转化为已知边长的和，熟练掌握这类固定模型可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知条件联想常考模型：题干同时出现角平分线和平行线，可构造等腰三角形求解。首先利用角平分线定义得到等角，再结合平行线的内错角相等，通过等量代换证明等腰三角形，得到相等的线段；随后将△ADE的周长拆分为线段和，用相等的线段做代换，即可将未知周长转化为已知的AB、AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
∵$DE// BC$，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBO=∠DOB，
∴$BD=DO$（等角对等边），
同理可得：$CE=EO$，
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE$，
将$DO=BD$、$OE=CE$代入上式得：
$△ ADE$的周长$=AD+BD+CE+AE=AB+AC$，
∵$AB=9$，$AC=6$，
∴$△ ADE$的周长$=9+6=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
1.角平分线的定义
2.平行线的性质
3.等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型考题，解题核心是通过该模型推导出等腰三角形，再借助等线段代换将未知周长转化为已知边长的和，熟练掌握这类固定模型可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
