登录
15. (★★)如图,已知$AB=AC=AD$,且$AD// BC$.求证:$∠ C=2∠ D$.
答案
证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又∵ ∠ABC = ∠C，
∴ ∠C = 2∠D。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又∵ ∠ABC = ∠C，
∴ ∠C = 2∠D。
解析
【分析】
要证明∠C=2∠D，可通过角的等量代换逐步推导：首先根据AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质，将待证的∠C转化为∠ABC，只需再证明∠ABC=2∠D即可；再由AB=AD得到∠ABD=∠D，结合AD//BC的平行线内错角相等的性质可得∠D=∠DBC，此时∠ABC可拆分为∠ABD与∠DBC的和，替换为两个∠D的和，得到∠ABC=2∠D，最后结合∠C与∠ABC的等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又
∵ ∠ABC = ∠C，
∴ ∠C = 2∠D。
【答案】
证明过程如上，可证得∠C=2∠D。
【知识点】
等边对等角，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查等腰三角形性质与平行线性质的综合应用，解题关键是灵活运用相关性质实现角的转化，通过角的和差关系建立待证角的数量关系，是等腰三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明∠C=2∠D，可通过角的等量代换逐步推导：首先根据AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质，将待证的∠C转化为∠ABC，只需再证明∠ABC=2∠D即可；再由AB=AD得到∠ABD=∠D，结合AD//BC的平行线内错角相等的性质可得∠D=∠DBC，此时∠ABC可拆分为∠ABD与∠DBC的和，替换为两个∠D的和，得到∠ABC=2∠D，最后结合∠C与∠ABC的等量关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C。
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又
∵ ∠ABC = ∠C，
∴ ∠C = 2∠D。
【答案】
证明过程如上，可证得∠C=2∠D。
【知识点】
等边对等角，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查等腰三角形性质与平行线性质的综合应用，解题关键是灵活运用相关性质实现角的转化，通过角的和差关系建立待证角的数量关系，是等腰三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
16. (★★) 如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC$, $∠ BAC=80°$, $D$是边$BC$上一点(不与点$B,C$重合), $∠ DAC$的平分线和$∠ BCA$的平分线交于点$E$.
(1)若$∠ BAD=20°$,求$∠ AEC$的度数.
(2)记$∠ DAE$和$∠ ACE$的度数之和为$m$,求$m$的取值范围.
(1)若$∠ BAD=20°$,求$∠ AEC$的度数.
(2)记$∠ DAE$和$∠ ACE$的度数之和为$m$,求$m$的取值范围.
答案
解：
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=80°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°-∠BAC) = 50°$，
∵ ∠BAD=20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 20° = 60°，
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}∠DAC = 30°$，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}∠ACB = 25°$，
在△AEC中，∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 30° - 25° = 125°。
(2)
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}∠DAC$，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=50°，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}×50° = 25°$，
∴ $m = ∠DAE + ∠ACE = \frac{1}{2}∠DAC + 25°$，
∵ D是BC上不与点B、C重合的点，
∴ $0° ＜ ∠DAC ＜ 80°$，
∴ $0° ＜ \frac{1}{2}∠DAC ＜ 40°$，
∴ $25° ＜ \frac{1}{2}∠DAC + 25° ＜ 65°$，
即m的取值范围是$25° ＜ m ＜ 65°$。
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=80°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°-∠BAC) = 50°$，
∵ ∠BAD=20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 20° = 60°，
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}∠DAC = 30°$，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}∠ACB = 25°$，
在△AEC中，∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 30° - 25° = 125°。
(2)
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}∠DAC$，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=50°，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}×50° = 25°$，
∴ $m = ∠DAE + ∠ACE = \frac{1}{2}∠DAC + 25°$，
∵ D是BC上不与点B、C重合的点，
∴ $0° ＜ ∠DAC ＜ 80°$，
∴ $0° ＜ \frac{1}{2}∠DAC ＜ 40°$，
∴ $25° ＜ \frac{1}{2}∠DAC + 25° ＜ 65°$，
即m的取值范围是$25° ＜ m ＜ 65°$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和定理，计算出△ABC的底角∠ACB的度数；再结合已知的∠BAD求出∠DAC的度数；之后根据角平分线的定义，分别得到△AEC中∠EAC和∠ACE的度数；最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
(2) 解题思路：首先根据角平分线的定义，将∠DAE和∠ACE转化为含∠DAC的表达式，进而得到m与∠DAC的数量关系；再结合点D在BC上且不与B、C重合的条件，确定∠DAC的取值范围，代入m的表达式即可推导出m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=80°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°-∠BAC) = 50°$，
∵ ∠BAD=20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 20° = 60°，
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}∠DAC = 30°$，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}∠ACB = 25°$，
在△AEC中，∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 30° - 25° = 125°。
(2)
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}∠DAC$，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=50°，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}×50° = 25°$，
∴ $m = ∠DAE + ∠ACE = \frac{1}{2}∠DAC + 25°$，
∵ D是BC上不与点B、C重合的点，
∴ $0° ＜ ∠DAC ＜ 80°$，
不等式两边同时乘$\frac{1}{2}$得：$0° ＜ \frac{1}{2}∠DAC ＜ 40°$，
三边同时加25°得：$25° ＜ \frac{1}{2}∠DAC + 25° ＜ 65°$，
即m的取值范围是$25° ＜ m ＜ 65°$。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{25° ＜ m ＜ 65°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与角度计算结合的常规题型，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合动点的位置特征确定角度的取值范围，解题时需注意点D不与端点重合，因此最终取值范围不取等号。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和定理，计算出△ABC的底角∠ACB的度数；再结合已知的∠BAD求出∠DAC的度数；之后根据角平分线的定义，分别得到△AEC中∠EAC和∠ACE的度数；最后再次运用三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
(2) 解题思路：首先根据角平分线的定义，将∠DAE和∠ACE转化为含∠DAC的表达式，进而得到m与∠DAC的数量关系；再结合点D在BC上且不与B、C重合的条件，确定∠DAC的取值范围，代入m的表达式即可推导出m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠BAC=80°，
∴ ∠B=∠ACB = $\frac{1}{2}×(180°-∠BAC) = 50°$，
∵ ∠BAD=20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 20° = 60°，
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}∠DAC = 30°$，
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}∠ACB = 25°$，
在△AEC中，∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 180° - 30° - 25° = 125°。
(2)
∵ AE平分∠DAC，
∴ ∠DAE = $\frac{1}{2}∠DAC$，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=50°，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}×50° = 25°$，
∴ $m = ∠DAE + ∠ACE = \frac{1}{2}∠DAC + 25°$，
∵ D是BC上不与点B、C重合的点，
∴ $0° ＜ ∠DAC ＜ 80°$，
不等式两边同时乘$\frac{1}{2}$得：$0° ＜ \frac{1}{2}∠DAC ＜ 40°$，
三边同时加25°得：$25° ＜ \frac{1}{2}∠DAC + 25° ＜ 65°$，
即m的取值范围是$25° ＜ m ＜ 65°$。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$；(2) $\boxed{25° ＜ m ＜ 65°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与角度计算结合的常规题型，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合动点的位置特征确定角度的取值范围，解题时需注意点D不与端点重合，因此最终取值范围不取等号。
【难度系数】
0.7
