8. (★)如图，AB//CD，∠C=33°, OC=OE, 则∠A的度数为。

$\boldsymbol{66°}$

解：
∵ OC = OE，
∴ ∠E = ∠C = 33°，
由三角形外角的性质得∠DOE = ∠C + ∠E = 33° + 33° = 66°，
又∵ AB // CD，
∴ ∠A = ∠DOE = 66°。

9. (★★)三等分角
大约是在公元前5世纪
由古希腊人提出来的，
借助如图所示的三等分角仪(右图为三等分角仪的纵切面示意图)能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在点P处相连并可绕P转动,点C固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动,若$∠ AOB=72°$,则$∠ P$的度数是 【 】


A.$24°$
B.$36°$
C.$48°$
D.$54°$

A

∵CP=OC，根据等边对等角，得∠P=∠COP。∵OC=OA，根据等边对等角，得∠OCA=∠OAC。由三角形外角的性质，∠OCA是△PCO的外角，因此∠OCA=∠P+∠COP=2∠P，即∠OAC=2∠P。又∠AOB是△PAO的外角，因此∠AOB=∠OAC+∠P=3∠P。已知∠AOB=72°，代入得3∠P=72°，解得∠P=24°。

10. (★★)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC.
(1)若△ABC的面积是20，且BC=4，求AD的长；
(2)若∠CAD=20°，求∠ACE的度数.

解：
(1) ∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD = 20$，
代入$BC=4$，得$\frac{1}{2} × 4 × AD = 20$，
解得$AD=10$。
(2) ∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴ $∠ BAC = 2∠ CAD = 2 × 20° = 40°$，
∴ $∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ $∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
综上，(1) AD的长为10；(2) ∠ACE的度数为$35°$。

11. (★)如图,在$△ ABC$中,M为BC上一点,$AB=AM=MC$,$∠ B=50°$,则$∠ C$的度数为
【 】

A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$

A

∵AB=AM，∴△ABM是等腰三角形，∠AMB=∠B=50°。
∵AM=MC，∴△AMC是等腰三角形，∠C=∠MAC。
由三角形外角的性质得∠AMB=∠C+∠MAC=2∠C，
∴∠C=½∠AMB=½×50°=25°。

12. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$, $∠ B=40°$,$AC$的垂直平分线$DE$分别交$AC$,$BC$于点$D$,$E$,则$∠ BAE$的度数为 【 】

A.$50°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$

C

∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°。
由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。
∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C=40°。
∴∠BAE=∠BAC - ∠EAC=100°-40°=60°。

13. (★★)如图,在$△ ABC$中,点D在AC上,点E在AB上,且$AB=AC$,$BC=BD$,$AD=DE=EB$,则$∠ A$的度数为 【 】

A.$45°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$75°$

(第13题) (第14题)

A

设∠EBD=x，
∵EB=DE，∴∠EBD=∠EDB=x，
由三角形外角性质得∠AED=∠EBD+∠EDB=2x，
∵AD=DE，∴∠A=∠AED=2x，
由三角形外角性质得∠BDC=∠A+∠ABD=3x，
∵BC=BD，∴∠C=∠BDC=3x，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，
在△ABC中，由三角形内角和定理：∠A+∠ABC+∠C=180°，即2x+3x+3x=180°，
解得x=22.5°，则∠A=2x=45°。

14. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ B=40°$,$D$为线段$BC$上一动点(不与点$B,C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$,$DE$交线段$AC$于点$E$,有以下四个结论:①$∠ CDE=∠ BAD$;
②当$D$为$BC$的中点时,$DE⊥ AC$;③当$△ ADE$为等腰三角形时,$∠ BAD=30°$;④当$∠ BAD=30°$时,$BD=CE$.其中正确的结论的个数是
$\boldsymbol{【\quad】}$

A.1
B.2
C.3
D.4

C

我们逐个判断四个结论：
1. 判断①：根据三角形外角性质，$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 40° + ∠ BAD$，又$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE = 40° + ∠ CDE$，两式相减得$∠ CDE = ∠ BAD$，①正确。
2. 判断②：已知$AB=AC$，$D$为$BC$中点，由等腰三角形三线合一得$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，则$∠ CDE=90° - 40°=50°$，在$△ DEC$中，$∠ DEC=180° - ∠ C - ∠ CDE=180°-40°-50°=90°$，即$DE⊥ AC$，②正确。
3. 判断③：$△ ADE$中$∠ ADE=40°$，分三种等腰情况：
$AD=AE$时，$∠ DAE=100°$，对应$D$与$B$重合，不符合题意舍去；
$AD=DE$时，$∠ DAE=70°$，得$∠ BAD=100°-70°=30°$；
$AE=DE$时，$∠ DAE=40°$，得$∠ BAD=100°-40°=60°$；
因此$∠ BAD$可以为$30°$或$60°$，③错误。
4. 判断④：当$∠ BAD=30°$时，由①得$∠ CDE=30°$，$∠ ADB=180°-40°-30°=110°$，$∠ ADC=70°=∠ DAE$，得$AC=DC$，结合$AB=AC$得$AB=DC$，可证$△ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$，因此$BD=CE$，④正确。
综上正确的结论共3个。