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4.（★★）先化简，再求值：$( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} ) ÷ \frac{2x - 3}{x - 1}$，其中$x=6$。
答案
解：
原式$=[\frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}] ÷ \frac{2x-3}{x-1}$
$=[\frac{2(x-1)}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2}] · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-2-1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-3}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{1}{x-1}$
当$x=6$时，
原式$=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}$
原式$=[\frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}] ÷ \frac{2x-3}{x-1}$
$=[\frac{2(x-1)}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2}] · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-2-1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-3}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{1}{x-1}$
当$x=6$时，
原式$=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的运算：先对第二个分式的分母$x^2-2x+1$因式分解，得到$(x-1)^2$，确定括号内两个异分母分式的最简公分母为$(x-1)^2$，通分后计算减法；②将分式除法转化为乘法，即乘以除式$\frac{2x-3}{x-1}$的倒数；③对分子分母约分，得到最简分式；④将$x=6$代入最简分式计算结果，该方法比直接代入原式计算更简便，也能降低计算错误率。
【解析】
解：原式$=[\frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}] ÷ \frac{2x-3}{x-1}$
先通分，同时将除法转化为乘法：
$=[\frac{2(x-1)}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2}] · \frac{x-1}{2x-3}$
计算括号内的减法：
$=\frac{2x-2-1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-3}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
约分，约去公因式$(x-1)$和$2x-3$：
$=\frac{1}{x-1}$
当$x=6$时，代入最简式得：
原式$=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考查分式运算的基本规则，解题时需注意异分母分式通分的正确性、除法转乘法的变形，约分要彻底，代入数值前可先验证x的取值是否让原分式所有分母不为0，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的运算：先对第二个分式的分母$x^2-2x+1$因式分解，得到$(x-1)^2$，确定括号内两个异分母分式的最简公分母为$(x-1)^2$，通分后计算减法；②将分式除法转化为乘法，即乘以除式$\frac{2x-3}{x-1}$的倒数；③对分子分母约分，得到最简分式；④将$x=6$代入最简分式计算结果，该方法比直接代入原式计算更简便，也能降低计算错误率。
【解析】
解：原式$=[\frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}] ÷ \frac{2x-3}{x-1}$
先通分，同时将除法转化为乘法：
$=[\frac{2(x-1)}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2}] · \frac{x-1}{2x-3}$
计算括号内的减法：
$=\frac{2x-2-1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-3}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
约分，约去公因式$(x-1)$和$2x-3$：
$=\frac{1}{x-1}$
当$x=6$时，代入最简式得：
原式$=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考查分式运算的基本规则，解题时需注意异分母分式通分的正确性、除法转乘法的变形，约分要彻底，代入数值前可先验证x的取值是否让原分式所有分母不为0，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.8
5. (★★)解方程：
(1)$\frac{2-x}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$；
(2)$\frac{2}{m+5}+\frac{1}{$
$}=\frac{10}{m^2-25}$。
(1)$\frac{2-x}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$；
(2)$\frac{2}{m+5}+\frac{1}{$
$}=\frac{10}{m^2-25}$。答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2-x-1=x-3$
移项、合并同类项得：
$-2x=-4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-3=-1≠0$。
所以$x=2$是原分式方程的解。
(2) 由平方差公式得$m^2-25=(m+5)(m-5)$，方程两边同乘最简公分母$(m+5)(m-5)$，得：
$2(m-5)+(m+5)=10$
去括号得：
$2m-10+m+5=10$
合并同类项得：
$3m=15$
解得：
$m=5$
检验：当$m=5$时，$(m+5)(m-5)=0$，所以$m=5$是原方程的增根。
因此原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2-x-1=x-3$
移项、合并同类项得：
$-2x=-4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-3=-1≠0$。
所以$x=2$是原分式方程的解。
(2) 由平方差公式得$m^2-25=(m+5)(m-5)$，方程两边同乘最简公分母$(m+5)(m-5)$，得：
$2(m-5)+(m+5)=10$
去括号得：
$2m-10+m+5=10$
合并同类项得：
$3m=15$
解得：
$m=5$
检验：当$m=5$时，$(m+5)(m-5)=0$，所以$m=5$是原方程的增根。
因此原分式方程无解。
解析
【分析】
这是两道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的通用思路：第一步先确定各分式的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步解整式方程得到未知数的解；第三步必须检验，把求得的解代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，则是增根，原方程无解。
第(1)题注意分母$3-x=-(x-3)$，最简公分母是$x-3$，去分母时第二项要变号；第(2)题先利用平方差公式把右边的分母$m^2-25$分解为$(m+5)(m-5)$，即可确定最简公分母是$(m+5)(m-5)$，去分母时注意不要漏乘。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2-x-1=x-3$
移项、合并同类项得：
$-2x=-4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-3=-1≠0$。
所以$x=2$是原分式方程的解。
(2) 由平方差公式得$m^2-25=(m+5)(m-5)$，方程两边同乘最简公分母$(m+5)(m-5)$，得：
$2(m-5)+(m+5)=10$
去括号得：
$2m-10+m+5=10$
合并同类项得：
$3m=15$
解得：
$m=5$
检验：当$m=5$时，$(m+5)(m-5)=0$，所以$m=5$是原方程的增根。
因此原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=2$；(2) 无解
【知识点】
分式方程解法，平方差公式，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础典型题，核心考查分式方程的求解步骤，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
这是两道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的通用思路：第一步先确定各分式的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步解整式方程得到未知数的解；第三步必须检验，把求得的解代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，则是增根，原方程无解。
第(1)题注意分母$3-x=-(x-3)$，最简公分母是$x-3$，去分母时第二项要变号；第(2)题先利用平方差公式把右边的分母$m^2-25$分解为$(m+5)(m-5)$，即可确定最简公分母是$(m+5)(m-5)$，去分母时注意不要漏乘。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2-x-1=x-3$
移项、合并同类项得：
$-2x=-4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-3=-1≠0$。
所以$x=2$是原分式方程的解。
(2) 由平方差公式得$m^2-25=(m+5)(m-5)$，方程两边同乘最简公分母$(m+5)(m-5)$，得：
$2(m-5)+(m+5)=10$
去括号得：
$2m-10+m+5=10$
合并同类项得：
$3m=15$
解得：
$m=5$
检验：当$m=5$时，$(m+5)(m-5)=0$，所以$m=5$是原方程的增根。
因此原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=2$；(2) 无解
【知识点】
分式方程解法，平方差公式，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础典型题，核心考查分式方程的求解步骤，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的项，最后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
6. (★★)随着科技的发展,人工智能使生产生活更加便捷高效.某科技公司生产了一批新型搬运机器人,打出了如下的宣传.根据该宣传,求新型机器人每天搬运的货物量.
答案
解：设新型机器人每天搬运的货物量为$x$ t，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为$(x-20)$ t。
根据题意列方程：
$\frac{960}{x}=\frac{720}{x-20}$
交叉相乘得：
$960(x-20)=720x$
展开并整理：
$960x - 19200 = 720x$
$240x = 19200$
解得：
$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x-20)≠0$，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
根据题意列方程：
$\frac{960}{x}=\frac{720}{x-20}$
交叉相乘得：
$960(x-20)=720x$
展开并整理：
$960x - 19200 = 720x$
$240x = 19200$
解得：
$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x-20)≠0$，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，可按“审-设-列-解-验-答”的步骤解题：首先审题提取两个关键条件：①新型机器人比旧型每天多搬运20t货物；②新型搬运960t货物的时间与旧型搬运720t货物的时间相等。我们先设新型机器人每天搬运量为x t，即可用$(x-20)$表示旧型机器人的日搬运量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，以两种机器人搬运时间相等为等量关系列分式方程，解出结果后需双检验：一是检验是否为方程增根，二是检验是否符合实际意义。
【解析】
解：设新型机器人每天搬运的货物量为$x$ t，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为$(x-20)$ t。
根据题意列方程：
$\frac{960}{x}=\frac{720}{x-20}$
交叉相乘去分母得：
$960(x-20)=720x$
展开并整理：
$960x - 19200 = 720x$
$240x = 19200$
解得：
$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x-20)=80×60=4800≠0$，因此$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
【答案】
新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，工程问题公式
【点评】
本题是分式方程应用的基础典型题，侧重考查学生提取题干等量关系的能力，解题时要注意分式方程必须进行双检验，既要验证根满足原方程，也要验证根符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，可按“审-设-列-解-验-答”的步骤解题：首先审题提取两个关键条件：①新型机器人比旧型每天多搬运20t货物；②新型搬运960t货物的时间与旧型搬运720t货物的时间相等。我们先设新型机器人每天搬运量为x t，即可用$(x-20)$表示旧型机器人的日搬运量；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，以两种机器人搬运时间相等为等量关系列分式方程，解出结果后需双检验：一是检验是否为方程增根，二是检验是否符合实际意义。
【解析】
解：设新型机器人每天搬运的货物量为$x$ t，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为$(x-20)$ t。
根据题意列方程：
$\frac{960}{x}=\frac{720}{x-20}$
交叉相乘去分母得：
$960(x-20)=720x$
展开并整理：
$960x - 19200 = 720x$
$240x = 19200$
解得：
$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x-20)=80×60=4800≠0$，因此$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
【答案】
新型机器人每天搬运的货物量为80 t。
【知识点】
分式方程应用，分式方程求解，工程问题公式
【点评】
本题是分式方程应用的基础典型题，侧重考查学生提取题干等量关系的能力，解题时要注意分式方程必须进行双检验，既要验证根满足原方程，也要验证根符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
7. (★)有下列各式：$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{3}$，$\frac{4}{3b^2 +5}$，$\frac{5}{π}$，$-\frac{7xy}{x^2}$，其中分式有【 】
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
C
解析
【分析】
要判断给定式子中的分式，首先明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），则为分式。判断时要依据原式的分母特征，不能先约分再判断，接下来逐个验证每个式子即可。
【解析】
根据分式的定义逐个分析：
1. $\frac{1}{x}$：分母为$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x}{3}$：分母是常数3，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{4}{3b^2 +5}$：分母含字母$b$，属于分式；
4. $\frac{5}{π}$：π是固定常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
5. $-\frac{7xy}{x^2}$：原式分母含字母$x$，属于分式（判断分式无需先约分）。
综上，分式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义，整式与分式区分，常数π的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式的判定规则，易错点主要有两处：一是误将常数π当作字母，错把$\frac{5}{π}$判定为分式；二是对$-\frac{7xy}{x^2}$先约分再判断，错认为它是整式，判定分式必须以原式的分母是否含字母为依据。
【难度系数】
0.7
要判断给定式子中的分式，首先明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），则为分式。判断时要依据原式的分母特征，不能先约分再判断，接下来逐个验证每个式子即可。
【解析】
根据分式的定义逐个分析：
1. $\frac{1}{x}$：分母为$x$，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x}{3}$：分母是常数3，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{4}{3b^2 +5}$：分母含字母$b$，属于分式；
4. $\frac{5}{π}$：π是固定常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
5. $-\frac{7xy}{x^2}$：原式分母含字母$x$，属于分式（判断分式无需先约分）。
综上，分式共有3个。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义，整式与分式区分，常数π的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式的判定规则，易错点主要有两处：一是误将常数π当作字母，错把$\frac{5}{π}$判定为分式；二是对$-\frac{7xy}{x^2}$先约分再判断，错认为它是整式，判定分式必须以原式的分母是否含字母为依据。
【难度系数】
0.7
8. (★)下列分式不是最简分式的是【 】
A.$\frac{x^2}{y^2}$
B.$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$
C.$\frac{a+2}{a+1}$
D.$\frac{2x+y}{2xy+y^2}$
A.$\frac{x^2}{y^2}$
B.$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$
C.$\frac{a+2}{a+1}$
D.$\frac{2x+y}{2xy+y^2}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个分式不是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个分析每个选项的分子、分母，先对可因式分解的部分因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则该分式不是最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分子为$x^2$，分母为$y^2$，二者没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
B. 分子$x^2+y^2$无法因式分解，分母$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，分子与分母没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
C. 分子$a+2$和分母$a+1$均为无法分解的一次多项式，二者没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
D. 先对分母因式分解：$2xy+y^2=y(2x+y)$，可发现分母和分子$2x+y$存在公因式$2x+y$，因此该分式不是最简分式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最简分式、因式分解、公因式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是先将分子、分母分别因式分解，再核查是否有公因式，熟练掌握提公因式法、公式法等基础因式分解方法是解题的前提。
【难度系数】
0.85
要判断哪个分式不是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路是逐个分析每个选项的分子、分母，先对可因式分解的部分因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则该分式不是最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 分子为$x^2$，分母为$y^2$，二者没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
B. 分子$x^2+y^2$无法因式分解，分母$x^2-y^2$因式分解为$(x+y)(x-y)$，分子与分母没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
C. 分子$a+2$和分母$a+1$均为无法分解的一次多项式，二者没有公因式，属于最简分式，不符合题意；
D. 先对分母因式分解：$2xy+y^2=y(2x+y)$，可发现分母和分子$2x+y$存在公因式$2x+y$，因此该分式不是最简分式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最简分式、因式分解、公因式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是先将分子、分母分别因式分解，再核查是否有公因式，熟练掌握提公因式法、公式法等基础因式分解方法是解题的前提。
【难度系数】
0.85
9. (★)若$m,n$的值均扩大为原来的10倍,则下列分式的值不变的是 【】
A.$\dfrac{n+1}{m}$
B.$\dfrac{n-m}{m}$
C.$\dfrac{m+n}{2}$
D.$\dfrac{n-m}{m^2}$
A.$\dfrac{n+1}{m}$
B.$\dfrac{n-m}{m}$
C.$\dfrac{m+n}{2}$
D.$\dfrac{n-m}{m^2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确题目条件：m、n的值均扩大为原来的10倍，即替换为10m、10n；我们需要将每个选项中的m、n分别替换为10m、10n，化简后和原分式对比，若化简结果与原分式完全相等，则该选项符合要求，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
【解析】
将各选项中的m替换为10m，n替换为10n，分别计算化简：
A选项：替换后得$\dfrac{10n+1}{10m}$，原分式$\dfrac{n+1}{m}=\dfrac{10n+10}{10m}$，二者不相等，分式值改变，不符合要求；
B选项：替换后得$\dfrac{10n-10m}{10m}=\dfrac{10(n-m)}{10m}=\dfrac{n-m}{m}$，与原分式完全相等，分式值不变，符合要求；
C选项：该式为整式，替换后得$\dfrac{10m+10n}{2}=10×\dfrac{m+n}{2}$，是原整式的10倍，值改变，不符合要求；
D选项：替换后得$\dfrac{10n-10m}{(10m)^2}=\dfrac{10(n-m)}{100m^2}=\dfrac{n-m}{10m^2}$，是原分式的$\dfrac{1}{10}$，分式值改变，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题时需注意所有变量都要替换为扩大后的数值，化简时要正确约分，同时注意区分整式和分式，避免错选。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确题目条件：m、n的值均扩大为原来的10倍，即替换为10m、10n；我们需要将每个选项中的m、n分别替换为10m、10n，化简后和原分式对比，若化简结果与原分式完全相等，则该选项符合要求，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
【解析】
将各选项中的m替换为10m，n替换为10n，分别计算化简：
A选项：替换后得$\dfrac{10n+1}{10m}$，原分式$\dfrac{n+1}{m}=\dfrac{10n+10}{10m}$，二者不相等，分式值改变，不符合要求；
B选项：替换后得$\dfrac{10n-10m}{10m}=\dfrac{10(n-m)}{10m}=\dfrac{n-m}{m}$，与原分式完全相等，分式值不变，符合要求；
C选项：该式为整式，替换后得$\dfrac{10m+10n}{2}=10×\dfrac{m+n}{2}$，是原整式的10倍，值改变，不符合要求；
D选项：替换后得$\dfrac{10n-10m}{(10m)^2}=\dfrac{10(n-m)}{100m^2}=\dfrac{n-m}{10m^2}$，是原分式的$\dfrac{1}{10}$，分式值改变，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题时需注意所有变量都要替换为扩大后的数值，化简时要正确约分，同时注意区分整式和分式，避免错选。
【难度系数】
0.8
10. (★★)已知x为整数，且$\frac{2}{x+4}+\frac{2}{4-x}+\frac{2x+24}{x^2-16}$为整数，则所有符合条件的x的值的积为。
答案
$\boldsymbol{180}$
解析
【分析】
要解决这道题，解题思路如下：1. 先利用平方差公式对分母$x^2-16$因式分解，将分母为$4-x$的分式变形，统一公分母为$(x+4)(x-4)$；2. 通分后合并分子，约分得到最简分式；3. 结合分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的x值；4. 根据化简后的结果为整数，可知最简分式的分母是分子的约数，列举出所有符合条件的整数x，最后计算它们的乘积即可。
【解析】
首先对原式化简：
注意到$x^2-16=(x+4)(x-4)$，且$\frac{2}{4-x}=-\frac{2}{x-4}$，同时分式有意义的条件为：$x+4≠0$且$x-4≠0$，即$x≠±4$。
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+4}-\frac{2}{x-4}+\frac{2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x-4)-2(x+4)+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x-8-2x-8+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x+8}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2}{x-4}\end{aligned}$
已知x为整数，且原式结果为整数，因此$x-4$是2的整数约数，即$x-4=±1$或$x-4=±2$：
① 当$x-4=1$时，$x=5$，符合要求；
② 当$x-4=-1$时，$x=3$，符合要求；
③ 当$x-4=2$时，$x=6$，符合要求；
④ 当$x-4=-2$时，$x=2$，符合要求。
所有符合条件的x的值为2、3、5、6，它们的积为$2×3×5×6=180$。
【答案】
$\boldsymbol{180}$
【知识点】
分式的加减运算；分式有意义的条件；因数的应用
【点评】
本题解题核心是先正确化简分式，化简过程中要注意分母变号的规则，同时不能忽略分式有意义的条件，避免出现增根，再结合整数的性质找出所有符合条件的x值，最后计算乘积即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，解题思路如下：1. 先利用平方差公式对分母$x^2-16$因式分解，将分母为$4-x$的分式变形，统一公分母为$(x+4)(x-4)$；2. 通分后合并分子，约分得到最简分式；3. 结合分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的x值；4. 根据化简后的结果为整数，可知最简分式的分母是分子的约数，列举出所有符合条件的整数x，最后计算它们的乘积即可。
【解析】
首先对原式化简：
注意到$x^2-16=(x+4)(x-4)$，且$\frac{2}{4-x}=-\frac{2}{x-4}$，同时分式有意义的条件为：$x+4≠0$且$x-4≠0$，即$x≠±4$。
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+4}-\frac{2}{x-4}+\frac{2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x-4)-2(x+4)+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x-8-2x-8+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x+8}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2}{x-4}\end{aligned}$
已知x为整数，且原式结果为整数，因此$x-4$是2的整数约数，即$x-4=±1$或$x-4=±2$：
① 当$x-4=1$时，$x=5$，符合要求；
② 当$x-4=-1$时，$x=3$，符合要求；
③ 当$x-4=2$时，$x=6$，符合要求；
④ 当$x-4=-2$时，$x=2$，符合要求。
所有符合条件的x的值为2、3、5、6，它们的积为$2×3×5×6=180$。
【答案】
$\boldsymbol{180}$
【知识点】
分式的加减运算；分式有意义的条件；因数的应用
【点评】
本题解题核心是先正确化简分式，化简过程中要注意分母变号的规则，同时不能忽略分式有意义的条件，避免出现增根，再结合整数的性质找出所有符合条件的x值，最后计算乘积即可。
【难度系数】
0.7
11. ( ★ ★ ) 先化简，再求值：
$( \dfrac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \dfrac{a}{a-2} ) ÷ \dfrac{a^2 +2a}{a-2}$，且$a$的值满足$a^2 +2a -8=0.$
$( \dfrac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \dfrac{a}{a-2} ) ÷ \dfrac{a^2 +2a}{a-2}$，且$a$的值满足$a^2 +2a -8=0.$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \frac{a}{a-2} ) ÷ \frac{a^2 +2a}{a-2}\\=&[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{a+2 -a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由$a^2 + 2a -8=0$，移项得$a^2 + 2a =8$。
根据分式有意义的条件，$a≠2$、$a≠0$、$a≠-2$，解方程$a^2+2a-8=0$得根为$a=2$和$a=-4$，舍去使分母为0的$a=2$，$a=-4$符合要求。
将$a^2+2a=8$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
先化简原式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \frac{a}{a-2} ) ÷ \frac{a^2 +2a}{a-2}\\=&[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{a+2 -a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由$a^2 + 2a -8=0$，移项得$a^2 + 2a =8$。
根据分式有意义的条件，$a≠2$、$a≠0$、$a≠-2$，解方程$a^2+2a-8=0$得根为$a=2$和$a=-4$，舍去使分母为0的$a=2$，$a=-4$符合要求。
将$a^2+2a=8$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题为分式化简求值类题目，解题思路如下：首先处理分式运算：先对括号内各分式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再计算括号内的同分母分式减法，后续通过约分化简为最简形式；其次观察已知方程$a^2 +2a -8=0$，发现化简后的式子含$a^2+2a$，可采用整体代入法求值，无需单独求解$a$；最后要注意分式有意义的前提，排除使所有分母为0的$a$的取值，保证运算合法。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \frac{a}{a-2} ) ÷ \frac{a^2 +2a}{a-2}\\=&[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{a+2 -a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{2}{a^2 + 2a} \end{aligned}$
由$a^2 + 2a -8=0$，移项得$a^2 + 2a =8$。
根据分式有意义的条件：分母不为0，得$a≠2$、$a≠0$、$a≠-2$；解方程$a^2+2a-8=0$得根为$a=2$和$a=-4$，舍去使分母为0的$a=2$，$a=-4$符合要求，$a^2+2a=8$成立。
将$a^2+2a=8$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，既考查了分式混合运算的运算顺序、因式分解等基础技能，也渗透了整体代入的数学思想，解题时需注意不要盲目求解$a$的数值，优先观察化简结果和已知条件的关联，同时要牢记分式有意义的要求，避免代入使分母为0的无效数值。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值类题目，解题思路如下：首先处理分式运算：先对括号内各分式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再计算括号内的同分母分式减法，后续通过约分化简为最简形式；其次观察已知方程$a^2 +2a -8=0$，发现化简后的式子含$a^2+2a$，可采用整体代入法求值，无需单独求解$a$；最后要注意分式有意义的前提，排除使所有分母为0的$a$的取值，保证运算合法。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \frac{a}{a-2} ) ÷ \frac{a^2 +2a}{a-2}\\=&[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{a+2 -a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)} \\=&\frac{2}{a^2 + 2a} \end{aligned}$
由$a^2 + 2a -8=0$，移项得$a^2 + 2a =8$。
根据分式有意义的条件：分母不为0，得$a≠2$、$a≠0$、$a≠-2$；解方程$a^2+2a-8=0$得根为$a=2$和$a=-4$，舍去使分母为0的$a=2$，$a=-4$符合要求，$a^2+2a=8$成立。
将$a^2+2a=8$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，既考查了分式混合运算的运算顺序、因式分解等基础技能，也渗透了整体代入的数学思想，解题时需注意不要盲目求解$a$的数值，优先观察化简结果和已知条件的关联，同时要牢记分式有意义的要求，避免代入使分母为0的无效数值。
【难度系数】
0.7
