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12. (★★)如图,刘老师在黑板上写了一个等式,随后用手遮住了其中一部分,并提出了如下问题:
(1)求被手遮住部分的代数式.
(2)这个等式左边代数式的值可能等于0吗?如果有可能,请求出x的值;如果不可能,请说明理由.
(1)求被手遮住部分的代数式.
(2)这个等式左边代数式的值可能等于0吗?如果有可能,请求出x的值;如果不可能,请说明理由.
答案
解：(1) 设被手遮住部分的代数式为A，
则
$\begin{aligned}A&=\frac{x+3}{x-3} ÷ ( \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} ÷ \frac{2x+1}{x+3} )\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ [ \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \frac{x+3}{2x+1} ]\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{(x+3)^2}{(x-3)(2x+1)}\\&=\frac{x+3}{x-3} · \frac{(x-3)(2x+1)}{(x+3)^2}\\&=\frac{2x+1}{x+3}\end{aligned}$
即被手遮住部分的代数式为$\frac{2x+1}{x+3}$。
(2) 不可能，理由如下：
若等式左边代数式的值等于0，则分子$x+3=0$，解得$x=-3$。
当$x=-3$时，分式$\frac{2x+1}{x+3}$的分母$x+3=0$，该分式无意义，原等式左边的运算式不成立。
因此这个等式左边代数式的值不可能等于0。
则
$\begin{aligned}A&=\frac{x+3}{x-3} ÷ ( \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} ÷ \frac{2x+1}{x+3} )\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ [ \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \frac{x+3}{2x+1} ]\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{(x+3)^2}{(x-3)(2x+1)}\\&=\frac{x+3}{x-3} · \frac{(x-3)(2x+1)}{(x+3)^2}\\&=\frac{2x+1}{x+3}\end{aligned}$
即被手遮住部分的代数式为$\frac{2x+1}{x+3}$。
(2) 不可能，理由如下：
若等式左边代数式的值等于0，则分子$x+3=0$，解得$x=-3$。
当$x=-3$时，分式$\frac{2x+1}{x+3}$的分母$x+3=0$，该分式无意义，原等式左边的运算式不成立。
因此这个等式左边代数式的值不可能等于0。
解析
【分析】
(1) 求被遮住的代数式时，先设被遮部分为A，根据等式的运算关系，可知A等于等式右侧的代数式除以后面的分式运算部分。计算时先利用公式对分式中的多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
(2) 判断分式的值能否为0，需结合分式值为0的条件：分子为0且所有分母均不为0。先假设代数式值为0，解出x的取值，再代入检验分母是否有意义，即可得出结论。
【解析】
(1) 设被手遮住部分的代数式为A，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=\frac{x+3}{x-3} ÷ ( \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} ÷ \frac{2x+1}{x+3} )\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ [ \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \frac{x+3}{2x+1} ]\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{(x+3)^2}{(x-3)(2x+1)}\\&=\frac{x+3}{x-3} · \frac{(x-3)(2x+1)}{(x+3)^2}\\&=\frac{2x+1}{x+3}\end{aligned}$
(2) 不可能，理由如下：
若等式左边代数式的值等于0，则分子$x+3=0$，解得$x=-3$。
当$x=-3$时，分式$\frac{2x+1}{x+3}$的分母$x+3=0$，该分式无意义，原等式左边的运算式不成立。
【答案】
(1) 被手遮住部分的代数式为$\boxed{\frac{2x+1}{x+3}}$；
(2) 不可能，理由见解析。
【知识点】
分式的乘除运算；分式值为0的条件；因式分解
【点评】
本题围绕分式的运算和性质展开考查，解题时要注意分式乘除运算中先因式分解再约分的常规步骤，判断分式值为0时必须同时验证分子为0、分母不为0两个条件，避免忽略分母的限制条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求被遮住的代数式时，先设被遮部分为A，根据等式的运算关系，可知A等于等式右侧的代数式除以后面的分式运算部分。计算时先利用公式对分式中的多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。
(2) 判断分式的值能否为0，需结合分式值为0的条件：分子为0且所有分母均不为0。先假设代数式值为0，解出x的取值，再代入检验分母是否有意义，即可得出结论。
【解析】
(1) 设被手遮住部分的代数式为A，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=\frac{x+3}{x-3} ÷ ( \frac{x^2-9}{x^2-6x+9} ÷ \frac{2x+1}{x+3} )\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ [ \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} · \frac{x+3}{2x+1} ]\\&=\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{(x+3)^2}{(x-3)(2x+1)}\\&=\frac{x+3}{x-3} · \frac{(x-3)(2x+1)}{(x+3)^2}\\&=\frac{2x+1}{x+3}\end{aligned}$
(2) 不可能，理由如下：
若等式左边代数式的值等于0，则分子$x+3=0$，解得$x=-3$。
当$x=-3$时，分式$\frac{2x+1}{x+3}$的分母$x+3=0$，该分式无意义，原等式左边的运算式不成立。
【答案】
(1) 被手遮住部分的代数式为$\boxed{\frac{2x+1}{x+3}}$；
(2) 不可能，理由见解析。
【知识点】
分式的乘除运算；分式值为0的条件；因式分解
【点评】
本题围绕分式的运算和性质展开考查，解题时要注意分式乘除运算中先因式分解再约分的常规步骤，判断分式值为0时必须同时验证分子为0、分母不为0两个条件，避免忽略分母的限制条件出错。
【难度系数】
0.7
13. (★★)若关于$y$的分式方程$\frac{y}{y-2}+\frac{a}{2-y}=-1$有非负数解，则$a$的取值范围为。
答案
$\boldsymbol{a≥-2且a≠2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含a的代数式表示出y；再根据“方程有非负数解”可知y≥0，同时要注意分式方程的分母不能为0（否则会产生增根，此时对应的解无效），据此列出关于a的不等式，求解后合并范围即可得到a的取值。
【解析】
首先对原分式方程变形，注意到$2-y=-(y-2)$，原方程可写为：
$\frac{y}{y-2}-\frac{a}{y-2}=-1$
方程两边同时乘以最简公分母$(y-2)$（此时需满足$y≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$y - a = -(y - 2)$
解这个整式方程：
去括号：$y - a = -y + 2$
移项合并同类项：$2y = a + 2$
系数化为1：$y=\frac{a+2}{2}$
根据题意，方程有非负数解，因此：
1. 解为非负数：$\frac{a+2}{2}≥0$，解得$a≥-2$
2. 解不能为增根，即$y≠2$：$\frac{a+2}{2}≠2$，解得$a≠2$
综上，a的取值范围是$a≥-2$且$a≠2$。
【答案】
$a≥-2且a≠2$
【知识点】
分式方程的解、解一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程结合解的限制条件的常规题型，解题的关键是不要遗漏分式方程分母不为0的要求，很多同学容易只考虑解非负，忽略增根的情况导致结果错误，做完后要记得检验所求参数对应的解是否使原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含a的代数式表示出y；再根据“方程有非负数解”可知y≥0，同时要注意分式方程的分母不能为0（否则会产生增根，此时对应的解无效），据此列出关于a的不等式，求解后合并范围即可得到a的取值。
【解析】
首先对原分式方程变形，注意到$2-y=-(y-2)$，原方程可写为：
$\frac{y}{y-2}-\frac{a}{y-2}=-1$
方程两边同时乘以最简公分母$(y-2)$（此时需满足$y≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$y - a = -(y - 2)$
解这个整式方程：
去括号：$y - a = -y + 2$
移项合并同类项：$2y = a + 2$
系数化为1：$y=\frac{a+2}{2}$
根据题意，方程有非负数解，因此：
1. 解为非负数：$\frac{a+2}{2}≥0$，解得$a≥-2$
2. 解不能为增根，即$y≠2$：$\frac{a+2}{2}≠2$，解得$a≠2$
综上，a的取值范围是$a≥-2$且$a≠2$。
【答案】
$a≥-2且a≠2$
【知识点】
分式方程的解、解一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程结合解的限制条件的常规题型，解题的关键是不要遗漏分式方程分母不为0的要求，很多同学容易只考虑解非负，忽略增根的情况导致结果错误，做完后要记得检验所求参数对应的解是否使原分式方程有意义。
【难度系数】
0.7
14. (★★)解方程：
(1)$\frac{x}{x-2} - \frac{x-3}{2-x} = 1$；
(2)$\frac{2y}{y^2 -9} + \frac{2}{y+3} = \frac{1}{y-3}$。
(1)$\frac{x}{x-2} - \frac{x-3}{2-x} = 1$；
(2)$\frac{2y}{y^2 -9} + \frac{2}{y+3} = \frac{1}{y-3}$。
答案
解：
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{x-2} + \frac{x-3}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$x + x - 3 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(y+3)(y-3)$，得：
$2y + 2(y-3) = y + 3$
去括号，得：
$2y + 2y - 6 = y + 3$
移项、合并同类项，得：
$3y = 9$
解得：
$y = 3$
检验：当$y=3$时，$(y+3)(y-3)=0$，因此$y=3$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{x-2} + \frac{x-3}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$x + x - 3 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(y+3)(y-3)$，得：
$2y + 2(y-3) = y + 3$
去括号，得：
$2y + 2y - 6 = y + 3$
移项、合并同类项，得：
$3y = 9$
解得：
$y = 3$
检验：当$y=3$时，$(y+3)(y-3)=0$，因此$y=3$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：①先观察方程中各分母的特征，若存在互为相反数的分母，先统一分母符号，再确定所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘以最简公分母，去掉分母转化为整式方程；③求解整式方程得到未知数的候选解；④必须将候选解代入最简公分母检验：若最简公分母不为0，该解是原方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{x-2} + \frac{x-3}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$x + x - 3 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(y+3)(y-3)$，得：
$2y + 2(y-3) = y + 3$
去括号，得：
$2y + 2y - 6 = y + 3$
移项、合并同类项，得：
$3y = 9$
解得：
$y = 3$
检验：当$y=3$时，$(y+3)(y-3)=0$，因此$y=3$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=1$；(2) 无解
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的检验
3. 最简公分母的确定
【点评】
这两道题是分式方程求解的典型基础题，重点考察分式方程的求解流程，需要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，牢记解分式方程最后必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：①先观察方程中各分母的特征，若存在互为相反数的分母，先统一分母符号，再确定所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘以最简公分母，去掉分母转化为整式方程；③求解整式方程得到未知数的候选解；④必须将候选解代入最简公分母检验：若最简公分母不为0，该解是原方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{x}{x-2} + \frac{x-3}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$x + x - 3 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x-2=-1≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(y+3)(y-3)$，得：
$2y + 2(y-3) = y + 3$
去括号，得：
$2y + 2y - 6 = y + 3$
移项、合并同类项，得：
$3y = 9$
解得：
$y = 3$
检验：当$y=3$时，$(y+3)(y-3)=0$，因此$y=3$是原方程的增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=1$；(2) 无解
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的检验
3. 最简公分母的确定
【点评】
这两道题是分式方程求解的典型基础题，重点考察分式方程的求解流程，需要注意处理互为相反数的分母时的符号变化，牢记解分式方程最后必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
15. (★★)某施工队计划修建一条长为1280 m的隧道，第一周按原计划速度修建，一周后以原来速度的1.4倍修建，结果比原计划提前两周完成任务.若设原计划一周修建隧道x m，则可列方程为
【 】
A.$\frac{1280}{x} = \frac{1280}{1.4x} + 2$
B.$\frac{1280}{x} = \frac{1280}{1.4x} - 2$
C.$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} - 2$
D.$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} + 2$
【 】
A.$\frac{1280}{x} = \frac{1280}{1.4x} + 2$
B.$\frac{1280}{x} = \frac{1280}{1.4x} - 2$
C.$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} - 2$
D.$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} + 2$
答案
D
解析
【分析】
本题属于工程类分式方程应用问题，解题核心是找准时间的等量关系。首先明确工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目中提前2周完成的时间差，是第一周施工结束后，剩余工作量按原速度施工的时间与按提速后速度施工的时间的差值，即原速度修剩余部分的时间比提速后修剩余部分的时间多2周。第一步先计算剩余工作量：总长度1280m，第一周按原速度修了x m，所以剩余工作量为(1280 - x)m；第二步分别表示剩余工作量的两种施工时间：按原速度修的时间为$\frac{1280 - x}{x}$，按1.4倍原速度修的时间为$\frac{1280 - x}{1.4x}$；第三步根据时间差列方程即可。
【解析】
已知原计划一周修建隧道x m，第一周按原速度修建了x m，因此剩余工作量为$(1280 - x)\ \mathrm{m}$。
剩余工作量按原计划速度修建所需时间为：$\frac{1280 - x}{x}$周；
一周后施工速度变为$1.4x\ \mathrm{m/周}$，剩余工作量按提速后速度修建所需时间为：$\frac{1280 - x}{1.4x}$周；
由“结果比原计划提前两周完成任务”可知，原计划修剩余部分的时间比提速后修剩余部分的时间多2周，因此列方程：
$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} + 2$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 工程问题公式 2. 分式方程的实际应用
【点评】
本题是工程类列分式方程的典型基础题，解题的关键是明确提前的2周是剩余工作量的施工时间差，不要误将总工作量代入计算错选A选项，做题时需先厘清不同阶段的工作量再找等量关系。
【难度系数】
0.6
本题属于工程类分式方程应用问题，解题核心是找准时间的等量关系。首先明确工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目中提前2周完成的时间差，是第一周施工结束后，剩余工作量按原速度施工的时间与按提速后速度施工的时间的差值，即原速度修剩余部分的时间比提速后修剩余部分的时间多2周。第一步先计算剩余工作量：总长度1280m，第一周按原速度修了x m，所以剩余工作量为(1280 - x)m；第二步分别表示剩余工作量的两种施工时间：按原速度修的时间为$\frac{1280 - x}{x}$，按1.4倍原速度修的时间为$\frac{1280 - x}{1.4x}$；第三步根据时间差列方程即可。
【解析】
已知原计划一周修建隧道x m，第一周按原速度修建了x m，因此剩余工作量为$(1280 - x)\ \mathrm{m}$。
剩余工作量按原计划速度修建所需时间为：$\frac{1280 - x}{x}$周；
一周后施工速度变为$1.4x\ \mathrm{m/周}$，剩余工作量按提速后速度修建所需时间为：$\frac{1280 - x}{1.4x}$周；
由“结果比原计划提前两周完成任务”可知，原计划修剩余部分的时间比提速后修剩余部分的时间多2周，因此列方程：
$\frac{1280 - x}{x} = \frac{1280 - x}{1.4x} + 2$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 工程问题公式 2. 分式方程的实际应用
【点评】
本题是工程类列分式方程的典型基础题，解题的关键是明确提前的2周是剩余工作量的施工时间差，不要误将总工作量代入计算错选A选项，做题时需先厘清不同阶段的工作量再找等量关系。
【难度系数】
0.6
16. (★★)2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动.
刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，请根据以上信息解决下列问题：
(1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用.
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 250元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其他费用)
刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，请根据以上信息解决下列问题：
(1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用.
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 250元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其他费用)
答案
解：(1) 燃油车平均每千米的行驶费用为 $\frac{50×7.5}{a}=\frac{375}{a}$ 元，
新能源车平均每千米的行驶费用为 $\frac{100×0.6}{0.8a}=\frac{75}{a}$ 元。
根据题意列方程：
$\frac{375}{a} - \frac{75}{a} = 0.5$
解得 $a=600$。
经检验，$a=600$ 是原分式方程的解，且符合题意。
则燃油车平均每千米行驶费用为 $\frac{375}{600}=0.625$ 元，
新能源车平均每千米行驶费用为 $\frac{75}{600}=0.125$ 元。
(2) 设每年行驶里程为 $x$ 千米，根据题意得：
$0.125x + 7250 ＜ 0.625x + 4800$
移项合并得：$0.5x ＞ 2450$
解得：$x ＞ 4900$
答：(1) 燃油车平均每千米行驶费用为0.625元，新能源车平均每千米行驶费用为0.125元；(2) 当每年行驶里程大于4900千米时，买新能源车的年费用更低。
新能源车平均每千米的行驶费用为 $\frac{100×0.6}{0.8a}=\frac{75}{a}$ 元。
根据题意列方程：
$\frac{375}{a} - \frac{75}{a} = 0.5$
解得 $a=600$。
经检验，$a=600$ 是原分式方程的解，且符合题意。
则燃油车平均每千米行驶费用为 $\frac{375}{600}=0.625$ 元，
新能源车平均每千米行驶费用为 $\frac{75}{600}=0.125$ 元。
(2) 设每年行驶里程为 $x$ 千米，根据题意得：
$0.125x + 7250 ＜ 0.625x + 4800$
移项合并得：$0.5x ＞ 2450$
解得：$x ＞ 4900$
答：(1) 燃油车平均每千米行驶费用为0.625元，新能源车平均每千米行驶费用为0.125元；(2) 当每年行驶里程大于4900千米时，买新能源车的年费用更低。
解析
【分析】
(1) 首先根据表格信息，分别计算燃油车加满油的总费用、新能源车充满电的总费用，结合各自续航里程用含a的代数式表示两款车每千米行驶费用；再利用“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元”的等量关系列分式方程，求解a后检验是否符合题意，最后代入代数式得到两款车每千米的具体行驶费用。
(2) 设每年行驶里程为x千米，根据“年费用=年行驶费用+年其他费用”分别表示两款车的年费用，结合“新能源车年费用更低”的不等关系列一元一次不等式，求解不等式即可得到对应行驶里程范围。
【解析】
(1) 先推导两款车每千米行驶费用的含参表达式：
燃油车加满油总费用为$50 × 7.5 = 375$元，续航为a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{375}{a}$元；
新能源车充满电总费用为$100 × 0.6 = 60$元，续航为0.8a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{60}{0.8a}=\frac{75}{a}$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{375}{a} - \frac{75}{a} = 0.5$
合并得$\frac{300}{a}=0.5$，解得$a=600$。
检验：当$a=600$时，分母$a ≠ 0$，$0.8a ≠ 0$，因此$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：
燃油车每千米行驶费用：$\frac{375}{600}=0.625$元；
新能源车每千米行驶费用：$\frac{75}{600}=0.125$元。
(2) 设每年行驶里程为x千米，根据年费用计算公式：
燃油车年费用为$(0.625x + 4800)$元，新能源车年费用为$(0.125x + 7250)$元。
要求新能源车年费用更低，列不等式：
$0.125x + 7250 ＜ 0.625x + 4800$
移项得：$7250 - 4800 ＜ 0.625x - 0.125x$
合并同类项得：$2450 ＜ 0.5x$
系数化为1得：$x ＞ 4900$
【答案】
(1) 燃油车平均每千米行驶费用为0.625元，新能源车平均每千米行驶费用为0.125元；
(2) 当每年行驶里程大于4900千米时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；列代数式
【点评】
本题结合汽车以旧换新的热点场景设置问题，贴近生活实际，主要考查学生从表格提取信息、建立数学模型解决实际问题的能力。解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式，同时要注意分式方程解完后必须检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据表格信息，分别计算燃油车加满油的总费用、新能源车充满电的总费用，结合各自续航里程用含a的代数式表示两款车每千米行驶费用；再利用“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元”的等量关系列分式方程，求解a后检验是否符合题意，最后代入代数式得到两款车每千米的具体行驶费用。
(2) 设每年行驶里程为x千米，根据“年费用=年行驶费用+年其他费用”分别表示两款车的年费用，结合“新能源车年费用更低”的不等关系列一元一次不等式，求解不等式即可得到对应行驶里程范围。
【解析】
(1) 先推导两款车每千米行驶费用的含参表达式：
燃油车加满油总费用为$50 × 7.5 = 375$元，续航为a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{375}{a}$元；
新能源车充满电总费用为$100 × 0.6 = 60$元，续航为0.8a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{60}{0.8a}=\frac{75}{a}$元。
根据题意列分式方程：
$\frac{375}{a} - \frac{75}{a} = 0.5$
合并得$\frac{300}{a}=0.5$，解得$a=600$。
检验：当$a=600$时，分母$a ≠ 0$，$0.8a ≠ 0$，因此$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：
燃油车每千米行驶费用：$\frac{375}{600}=0.625$元；
新能源车每千米行驶费用：$\frac{75}{600}=0.125$元。
(2) 设每年行驶里程为x千米，根据年费用计算公式：
燃油车年费用为$(0.625x + 4800)$元，新能源车年费用为$(0.125x + 7250)$元。
要求新能源车年费用更低，列不等式：
$0.125x + 7250 ＜ 0.625x + 4800$
移项得：$7250 - 4800 ＜ 0.625x - 0.125x$
合并同类项得：$2450 ＜ 0.5x$
系数化为1得：$x ＞ 4900$
【答案】
(1) 燃油车平均每千米行驶费用为0.625元，新能源车平均每千米行驶费用为0.125元；
(2) 当每年行驶里程大于4900千米时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；列代数式
【点评】
本题结合汽车以旧换新的热点场景设置问题，贴近生活实际，主要考查学生从表格提取信息、建立数学模型解决实际问题的能力。解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式，同时要注意分式方程解完后必须检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
