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1. (★)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=40°$，则$∠ A$的度数为。
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C=40°，
又∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C=40°，
又∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。
2. (★)有两个角相等的三角形是（简写成“”）。
答案
解：等腰三角形
等角对等边
等角对等边
3. (★)在$△ ABC$中,已知$∠ B=∠ C$,则
【 】
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
【 】
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
答案
B
解析
根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，在△ABC中，∠B=∠C，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此AB=AC。
4. (★)下列条件可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是 【 】
A.$2∠ A=∠ B+∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.三角形的一个角为$60°$
D.$∠ B=40°,∠ C=70°$
A.$2∠ A=∠ B+∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.三角形的一个角为$60°$
D.$∠ B=40°,∠ C=70°$
答案
D
解析
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
1. 选项A：由$2∠A=∠B+∠C$，结合$∠A+∠B+∠C=180°$，可得$3∠A=180°$，$∠A=60°$，无法推出另外两个内角相等，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
2. 选项B：设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，三个内角为$30°、60°、90°$，不存在相等内角，不是等腰三角形。
3. 选项C：仅已知三角形一个角为$60°$，无法保证存在两个相等的内角，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
4. 选项D：计算得$∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°$，即$∠A=∠C$，根据等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
1. 选项A：由$2∠A=∠B+∠C$，结合$∠A+∠B+∠C=180°$，可得$3∠A=180°$，$∠A=60°$，无法推出另外两个内角相等，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
2. 选项B：设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，三个内角为$30°、60°、90°$，不存在相等内角，不是等腰三角形。
3. 选项C：仅已知三角形一个角为$60°$，无法保证存在两个相等的内角，不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
4. 选项D：计算得$∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°$，即$∠A=∠C$，根据等角对等边，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
5. (★)根据下列尺规作图的痕迹,不能判断△ABC是等腰三角形的是 【 】
答案
解：
A. 由作图痕迹可得∠B=∠C，根据“等角对等边”，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可得所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可得BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，因此∠ACB=∠CBE（E为水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，进而可得∠BAC=∠ABC，根据等角对等边得AC=BC，因此△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可得仅是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，只能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】D
A. 由作图痕迹可得∠B=∠C，根据“等角对等边”，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
B. 由作图痕迹可得所作直线是线段BC的垂直平分线，点A在该垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
C. 由作图痕迹可得BC平分∠ABC，且AC平行于点B处的水平射线，因此∠ACB=∠CBE（E为水平射线上的点），结合角平分线性质得∠EBC=∠ABE，进而可得∠BAC=∠ABC，根据等角对等边得AC=BC，因此△ABC是等腰三角形；
D. 由作图痕迹可得仅是以点C为圆心、BC长为半径作弧，交AB于一点，只能得到BC等于该交点到点C的线段长度，无法推出△ABC存在两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形。
【答案】D
6. (★) 下列能判定△ABC为等腰三角形
的是
【 】
A.∠A=30°, ∠B=60°
B.AB=AC=2, BC=4
C.∠A=50°, ∠B=80°
D.AB=3, BC=7, 周长为15
的是
【 】
A.∠A=30°, ∠B=60°
B.AB=AC=2, BC=4
C.∠A=50°, ∠B=80°
D.AB=3, BC=7, 周长为15
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，不是等腰三角形；
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠C，根据等角对等边可得AB=BC，△ABC是等腰三角形；
4. 选项D：AC=15-3-7=5，三边长为3、5、7，没有相等的边，不是等腰三角形。
综上，能判定△ABC为等腰三角形的是选项C。
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，不是等腰三角形；
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠C，根据等角对等边可得AB=BC，△ABC是等腰三角形；
4. 选项D：AC=15-3-7=5，三边长为3、5、7，没有相等的边，不是等腰三角形。
综上，能判定△ABC为等腰三角形的是选项C。
7. (★★)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是
【】
A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
【】
A.3 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3.5 cm
答案
A
解析
过点P作PD⊥OB于点D，
∵两把直尺完全相同，
∴点P到OA的距离与点P到OB的距离相等，
∴OP平分∠AOB，即∠AOP=∠BOP。
由刻度读数得CP=5-2=3cm，
又∵直尺的两边互相平行，即CP//OB，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠CPO=∠COP，
∴△OCP为等腰三角形，OC=CP=3cm。
∵两把直尺完全相同，
∴点P到OA的距离与点P到OB的距离相等，
∴OP平分∠AOB，即∠AOP=∠BOP。
由刻度读数得CP=5-2=3cm，
又∵直尺的两边互相平行，即CP//OB，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠CPO=∠COP，
∴△OCP为等腰三角形，OC=CP=3cm。
8. (★★)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$BD ⊥ AD$于点D,过点D作$DE// AC$,交AB于点E,若$AB=6$,则DE的长为 【 】
A.2.5
B.3
C.3.5
D.4
A.2.5
B.3
C.3.5
D.4
答案
B
解析
1. 由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠CAD。
2. 因为DE//AC，根据平行线内错角相等，得∠CAD=∠EDA，因此∠BAD=∠EDA，推出AE=DE。
3. 由BD⊥AD，得∠ADB=90°，因此∠EAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠EDB=90°。
4. 结合∠EAD=∠EDA，可推出∠ABD=∠EDB，因此BE=DE。
5. 综上得AE=BE=DE，即DE=1/2 AB，代入AB=6，得DE=3。
2. 因为DE//AC，根据平行线内错角相等，得∠CAD=∠EDA，因此∠BAD=∠EDA，推出AE=DE。
3. 由BD⊥AD，得∠ADB=90°，因此∠EAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠EDB=90°。
4. 结合∠EAD=∠EDA，可推出∠ABD=∠EDB，因此BE=DE。
5. 综上得AE=BE=DE，即DE=1/2 AB，代入AB=6，得DE=3。
9. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线交于点 $O$,过点 $O$ 作 $DE// BC$,分别交 $AB,AC$ 于点 $D,E$.若 $AB=9,AC=6$,则 $△ ADE$ 的周长为 .
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
解：
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠DBO = ∠OBC。
∵ DE//BC，
∴ ∠DOB = ∠OBC，
∴ ∠DBO = ∠DOB，
∴ DB = DO。
同理可得：EO = EC。
△ADE的周长 = AD + DE + AE
= AD + DO + OE + AE
= AD + DB + EC + AE
= (AD + DB) + (AE + EC)
= AB + AC
= 9 + 6 = 15。
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠DBO = ∠OBC。
∵ DE//BC，
∴ ∠DOB = ∠OBC，
∴ ∠DBO = ∠DOB，
∴ DB = DO。
同理可得：EO = EC。
△ADE的周长 = AD + DE + AE
= AD + DO + OE + AE
= AD + DB + EC + AE
= (AD + DB) + (AE + EC)
= AB + AC
= 9 + 6 = 15。
