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1. [2024·安徽第18题节选]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能否表示为$x^2 - y^2$（$x$，$y$均为自然数）”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（$n$为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)$24=(\underline{\hspace{1cm}})^2 - (\underline{\hspace{1cm}})^2$；
(ⅱ)$4n=\underline{\hspace{3cm}}$.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（$n$为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)$24=(\underline{\hspace{1cm}})^2 - (\underline{\hspace{1cm}})^2$；
(ⅱ)$4n=\underline{\hspace{3cm}}$.
答案
1.(ⅰ)7 5 (ⅱ)$(n+1)^2-(n-1)^2$
解析
【分析】
解决本题需要先观察表格中“4的倍数”一列的式子规律：先看给出的例子：$4=2^2-0^2$、$8=3^2-1^2$、$12=4^2-2^2$…，可发现式子中第一个底数比4对应的乘数大1，第二个底数比4对应的乘数小1。对于（ⅰ），先计算24是4的多少倍，再对应规律写出两个底数；对于（ⅱ），将发现的规律用含n的式子表示，再通过计算验证式子正确性即可。
【解析】
(ⅰ) 先判断24是4的倍数：$24÷4=6$，对应表格规律，4×k对应的式子为$(k+1)^2-(k-1)^2$，代入$k=6$得：$(6+1)^2-(6-1)^2=7^2-5^2$，计算验证：$7^2-5^2=49-25=24$，符合要求。
(ⅱ) 结合上述规律，4乘n时，第一个底数为$n+1$，第二个底数为$n-1$，即$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$，展开验证：
$(n+1)^2-(n-1)^2=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n$，等式成立。
【答案】
(ⅰ)7，5；(ⅱ)$(n+1)^2-(n-1)^2$
【知识点】
数字规律探究，整式运算
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要从具体示例中提炼出通用规律，再将规律应用到具体数值和一般表达式的推导中，推导后可通过代入计算验证结论是否正确，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先观察表格中“4的倍数”一列的式子规律：先看给出的例子：$4=2^2-0^2$、$8=3^2-1^2$、$12=4^2-2^2$…，可发现式子中第一个底数比4对应的乘数大1，第二个底数比4对应的乘数小1。对于（ⅰ），先计算24是4的多少倍，再对应规律写出两个底数；对于（ⅱ），将发现的规律用含n的式子表示，再通过计算验证式子正确性即可。
【解析】
(ⅰ) 先判断24是4的倍数：$24÷4=6$，对应表格规律，4×k对应的式子为$(k+1)^2-(k-1)^2$，代入$k=6$得：$(6+1)^2-(6-1)^2=7^2-5^2$，计算验证：$7^2-5^2=49-25=24$，符合要求。
(ⅱ) 结合上述规律，4乘n时，第一个底数为$n+1$，第二个底数为$n-1$，即$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$，展开验证：
$(n+1)^2-(n-1)^2=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n$，等式成立。
【答案】
(ⅰ)7，5；(ⅱ)$(n+1)^2-(n-1)^2$
【知识点】
数字规律探究，整式运算
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要从具体示例中提炼出通用规律，再将规律应用到具体数值和一般表达式的推导中，推导后可通过代入计算验证结论是否正确，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. [2025·安徽第21题节选][新课标—综合与实践题]
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
(1)密铺知识学习:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片,叫作图形的密铺.
(2)密铺方式构建:运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式,其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm.
(3)密铺规律探究:为方便研究,称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现:自左向右拼接图1时,每增加一个图3所示的拼接单元,则增加1个正六边形和2个正三角形,长度增加40 cm,从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为$(40x + 10)$ cm.
自左向右拼接图2时,每增加一个图4所示的拼接单元,则增加
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
(1)密铺知识学习:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片,叫作图形的密铺.
(2)密铺方式构建:运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式,其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm.
(3)密铺规律探究:为方便研究,称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现:自左向右拼接图1时,每增加一个图3所示的拼接单元,则增加1个正六边形和2个正三角形,长度增加40 cm,从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为$(40x + 10)$ cm.
自左向右拼接图2时,每增加一个图4所示的拼接单元,则增加
1
个正六边形和6
个正三角形,长度增加60
cm,从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为$60y+10$
cm.答案
2. 1 6 60 $(60y+10)$
解析
【分析】
解题时可通过对比图1、图2的拼接单元变化规律逐步推导：①先观察每新增1个图4拼接单元时正六边形、正三角形的数量变化，数出增量；②结合正三角形、正六边形的边长为20cm，计算新增1个单元时的长度增量；③参考图1的长度表达式推导逻辑，结合初始长度10cm，写出y个拼接单元的总长度代数式。
【解析】
1. 正六边形增量：对比新增1个图4拼接单元前后的图形，可知正六边形数量增加1个；
2. 正三角形增量：数新增拼接单元的正三角形个数，可知每增加1个图4单元，正三角形增加6个；
3. 长度增量：已知组件边长为20cm，新增1个图4单元时，横向长度增加3个边长，即增量为$3×20=60\mathrm{cm}$；
4. 总长度：由图3可知拼接初始长度为10cm，每增加1个单元长度增加60cm，因此y个拼接单元拼成一行的长度为$(60y+10)\mathrm{cm}$。
【答案】
1；6；60；$(60y+10)$
【知识点】
图形密铺；规律探究；列代数式
【点评】
本题结合生活中的密铺场景，考查学生的观察归纳能力，需要学生通过对比拼接单元的变化，总结数量、长度的变化规律，再列出对应的代数式，贴合综合实践类题目的考查要求。
【难度系数】
0.7
解题时可通过对比图1、图2的拼接单元变化规律逐步推导：①先观察每新增1个图4拼接单元时正六边形、正三角形的数量变化，数出增量；②结合正三角形、正六边形的边长为20cm，计算新增1个单元时的长度增量；③参考图1的长度表达式推导逻辑，结合初始长度10cm，写出y个拼接单元的总长度代数式。
【解析】
1. 正六边形增量：对比新增1个图4拼接单元前后的图形，可知正六边形数量增加1个；
2. 正三角形增量：数新增拼接单元的正三角形个数，可知每增加1个图4单元，正三角形增加6个；
3. 长度增量：已知组件边长为20cm，新增1个图4单元时，横向长度增加3个边长，即增量为$3×20=60\mathrm{cm}$；
4. 总长度：由图3可知拼接初始长度为10cm，每增加1个单元长度增加60cm，因此y个拼接单元拼成一行的长度为$(60y+10)\mathrm{cm}$。
【答案】
1；6；60；$(60y+10)$
【知识点】
图形密铺；规律探究；列代数式
【点评】
本题结合生活中的密铺场景，考查学生的观察归纳能力，需要学生通过对比拼接单元的变化，总结数量、长度的变化规律，再列出对应的代数式，贴合综合实践类题目的考查要求。
【难度系数】
0.7
3. [2023·安徽第18题节选]【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“◎”的个数为
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$，
第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$，第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$，第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$，……，第n个图案中“★”的个数可表示为
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“◎”的个数为
$3n$
；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$，
第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$，第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$，第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$，……，第n个图案中“★”的个数可表示为
$\frac{n(n+1)}{2}$
。答案
3.(1)$3n$ (2)$\frac{n(n+1)}{2}$
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时可以先统计前几个图案中对应元素的数量，再寻找数量与图案序号n的对应关系：
(1) 先统计第1到第4个图案中“◎”的个数，分别为3、6、9、12，发现数量都是图案序号的3倍，由此可推导第n个图案中“◎”的个数；
(2) 观察题目给出的前4个图案中“★”个数的表达式，可发现表达式的分子为图案序号与比序号大1的数的乘积，分母恒为2，按此规律即可写出第n个的表达式。
【解析】
(1) 统计各图案“◎”的个数：
第1个图案：$3=3×1$
第2个图案：$6=3×2$
第3个图案：$9=3×3$
第4个图案：$12=3×4$
以此类推，第n个图案中“◎”的个数为$3n$。
(2) 观察给出的“★”个数的表达式：
第1个：$\frac{1×2}{2}$，第2个：$\frac{2×3}{2}$，第3个：$\frac{3×4}{2}$，第4个：$\frac{4×5}{2}$
可发现规律：第k个图案中“★”的个数为$\frac{k(k+1)}{2}$，因此第n个图案中“★”的个数为$\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
(1)$3n$；(2)$\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；归纳推理
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心考查观察能力与归纳总结能力，解题时从已知的前几个案例出发，寻找元素数量和序号的对应关系即可快速求解，是规律类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
这是一道图形规律探究题，解题时可以先统计前几个图案中对应元素的数量，再寻找数量与图案序号n的对应关系：
(1) 先统计第1到第4个图案中“◎”的个数，分别为3、6、9、12，发现数量都是图案序号的3倍，由此可推导第n个图案中“◎”的个数；
(2) 观察题目给出的前4个图案中“★”个数的表达式，可发现表达式的分子为图案序号与比序号大1的数的乘积，分母恒为2，按此规律即可写出第n个的表达式。
【解析】
(1) 统计各图案“◎”的个数：
第1个图案：$3=3×1$
第2个图案：$6=3×2$
第3个图案：$9=3×3$
第4个图案：$12=3×4$
以此类推，第n个图案中“◎”的个数为$3n$。
(2) 观察给出的“★”个数的表达式：
第1个：$\frac{1×2}{2}$，第2个：$\frac{2×3}{2}$，第3个：$\frac{3×4}{2}$，第4个：$\frac{4×5}{2}$
可发现规律：第k个图案中“★”的个数为$\frac{k(k+1)}{2}$，因此第n个图案中“★”的个数为$\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
(1)$3n$；(2)$\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；归纳推理
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心考查观察能力与归纳总结能力，解题时从已知的前几个案例出发，寻找元素数量和序号的对应关系即可快速求解，是规律类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
