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学习任务一 有理数的加减混合运算统一成加法运算
1.引入相反数后,有理数的加减混合运算可以统一为加法运算.例如:$a+b-c=a+b+\_\_\_\_\_\_$.
2.为书写简单,可省略算式中的括号和加号,如:算式$(-2)+(+4)-(-6)-(+5)$先把加减法转化为加法后得$(-2)+(+4)+(+6)+(-5)$,此时可省略括号和加号,得$-2+4\_\_\_\_\_\_$,上面的算式可以读作:负2、、、的和,或负2加4.
1.引入相反数后,有理数的加减混合运算可以统一为加法运算.例如:$a+b-c=a+b+\_\_\_\_\_\_$.
2.为书写简单,可省略算式中的括号和加号,如:算式$(-2)+(+4)-(-6)-(+5)$先把加减法转化为加法后得$(-2)+(+4)+(+6)+(-5)$,此时可省略括号和加号,得$-2+4\_\_\_\_\_\_$,上面的算式可以读作:负2、、、的和,或负2加4.
答案
1.$(-c)$
2.$+6-5$ 正4 正6 负5 加6减5
2.$+6-5$ 正4 正6 负5 加6减5
解析
【分析】
解题时先回忆有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，所有加减混合运算都可以依据这个法则统一为加法运算。第1题直接运用该法则将减c转化为加c的相反数即可；第2题先明确统一为加法后，省略括号和加号的规则：正号可直接保留书写，负号和数字一同保留，读法有两种，一种是读作各带符号数的和，另一种是按运算顺序读加减法即可。
【解析】
1. 根据有理数减法法则，$a+b-c$中减去$c$等价于加上$c$的相反数$(-c)$，因此横线处填$(-c)$。
2. 算式$(-2)+(+4)+(+6)+(-5)$省略括号和加号时，去掉每个加数的括号，正号直接保留、负号随数字保留，可写为$-2+4+6-5$，因此第一个横线填$+6-5$；按各数和的读法，该式读作负2、正4、正6、负5的和；按运算顺序读法，该式读作负2加4加6减5，因此后续横线依次填正4、正6、负5、加6减5。
【答案】
1.$(-c)$
2.$+6-5$；正4；正6；负5；加6减5
【知识点】
有理数减法法则；加减混合运算统一加法；省略式的读写
【点评】
本题是有理数加减混合运算的基础题型，核心考查减法转加法的转换规则，以及省略括号形式的书写和读法，是后续快速准确计算有理数加减混合运算的基础，需要熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，所有加减混合运算都可以依据这个法则统一为加法运算。第1题直接运用该法则将减c转化为加c的相反数即可；第2题先明确统一为加法后，省略括号和加号的规则：正号可直接保留书写，负号和数字一同保留，读法有两种，一种是读作各带符号数的和，另一种是按运算顺序读加减法即可。
【解析】
1. 根据有理数减法法则，$a+b-c$中减去$c$等价于加上$c$的相反数$(-c)$，因此横线处填$(-c)$。
2. 算式$(-2)+(+4)+(+6)+(-5)$省略括号和加号时，去掉每个加数的括号，正号直接保留、负号随数字保留，可写为$-2+4+6-5$，因此第一个横线填$+6-5$；按各数和的读法，该式读作负2、正4、正6、负5的和；按运算顺序读法，该式读作负2加4加6减5，因此后续横线依次填正4、正6、负5、加6减5。
【答案】
1.$(-c)$
2.$+6-5$；正4；正6；负5；加6减5
【知识点】
有理数减法法则；加减混合运算统一加法；省略式的读写
【点评】
本题是有理数加减混合运算的基础题型，核心考查减法转加法的转换规则，以及省略括号形式的书写和读法，是后续快速准确计算有理数加减混合运算的基础，需要熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.8
学习任务二 数轴上两点间的距离
在数轴上，点A，B分别表示数a，b.利用有理数的减法，可得A，B两点之间的距离为AB=
在数轴上，点A，B分别表示数a，b.利用有理数的减法，可得A，B两点之间的距离为AB=
|a-b|
或|b-a|
.答案
$|a-b|$ $|b-a|$
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上两点间的距离是非负数，不能为负。我们可以分情况讨论：如果点A在点B右侧，也就是a＞b时，两点距离是a减b；如果点A在点B左侧，也就是a＜b时，两点距离是b减a；如果两点重合，距离为0。为了统一这三种情况，我们可以用绝对值来保证计算结果非负，又因为互为相反数的两个数绝对值相等，所以a减b的绝对值和b减a的绝对值都可以表示两点距离。
【解析】
解：数轴上两点之间的距离为非负数：
① 当$a ≥ b$时，A、B两点距离$AB = a - b$；
② 当$a ＜ b$时，A、B两点距离$AB = b - a$；
结合绝对值的定义，上述两种情况可统一表示为$AB = |a - b|$。
又因为互为相反数的两个数绝对值相等，即$|a - b| = |b - a|$，因此A、B两点距离也可以表示为$|b - a|$。
【答案】
$|a-b|$；$|b-a|$
【知识点】
数轴两点间的距离、绝对值的意义
【点评】
本题是数轴距离公式的基础考查题，核心是理解距离的非负性，结合绝对值的性质掌握公式的两种等价表达，为后续数轴相关的综合计算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数轴上两点间的距离是非负数，不能为负。我们可以分情况讨论：如果点A在点B右侧，也就是a＞b时，两点距离是a减b；如果点A在点B左侧，也就是a＜b时，两点距离是b减a；如果两点重合，距离为0。为了统一这三种情况，我们可以用绝对值来保证计算结果非负，又因为互为相反数的两个数绝对值相等，所以a减b的绝对值和b减a的绝对值都可以表示两点距离。
【解析】
解：数轴上两点之间的距离为非负数：
① 当$a ≥ b$时，A、B两点距离$AB = a - b$；
② 当$a ＜ b$时，A、B两点距离$AB = b - a$；
结合绝对值的定义，上述两种情况可统一表示为$AB = |a - b|$。
又因为互为相反数的两个数绝对值相等，即$|a - b| = |b - a|$，因此A、B两点距离也可以表示为$|b - a|$。
【答案】
$|a-b|$；$|b-a|$
【知识点】
数轴两点间的距离、绝对值的意义
【点评】
本题是数轴距离公式的基础考查题，核心是理解距离的非负性，结合绝对值的性质掌握公式的两种等价表达，为后续数轴相关的综合计算打好基础。
【难度系数】
0.8
【例1】计算：
(1)$(+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})-(+\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{2}{3});$
(2)$(-0.5)-(-3\dfrac{1}{4})+2.75-(+7\dfrac{1}{2}).$
解:
(1)$(+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})-(+\dfrac{3}{4})-(-\dfrac{2}{3});$
(2)$(-0.5)-(-3\dfrac{1}{4})+2.75-(+7\dfrac{1}{2}).$
解:
答案
(1)$-\dfrac{1}{4}$. (2)$-2$.
解析
【分析】
对于有理数的加减混合运算，解题思路分为三步：第一步，根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法运算统一为加法运算，写成省略加号和括号的和的形式；第二步，观察数字特点，利用加法交换律、结合律分组简化计算，比如同分母分数优先计算、能凑整的数优先计算；第三步，按照有理数加法法则计算每组的结果，再求和得到最终答案。
【解析】
(1) 先将减法统一为加法：
原式$=(+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{4})+(+\dfrac{2}{3})$
利用加法交换律、结合律分组，将同分母分数合并：
$=(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})+[(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{4})]$
分别计算每组：
$=1+(-\dfrac{5}{4})$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 先将减法统一为加法，同时把分数化为小数方便凑整：
原式$=(-0.5)+3.25+2.75+(-7.5)$
利用加法交换律、结合律分组，将能凑整的数合并：
$=[(-0.5)+(-7.5)]+(3.25+2.75)$
分别计算每组：
$=-8+6$
$=-2$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{4}$；(2)$-2$
【知识点】
有理数减法法则；有理数加减混合运算；加法运算律应用
【点评】
这两道题是有理数加减混合运算的常规题型，核心是先统一运算形式，再根据数字特点灵活运用运算律简化计算，运算过程中要特别注意符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
对于有理数的加减混合运算，解题思路分为三步：第一步，根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法运算统一为加法运算，写成省略加号和括号的和的形式；第二步，观察数字特点，利用加法交换律、结合律分组简化计算，比如同分母分数优先计算、能凑整的数优先计算；第三步，按照有理数加法法则计算每组的结果，再求和得到最终答案。
【解析】
(1) 先将减法统一为加法：
原式$=(+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{4})+(+\dfrac{2}{3})$
利用加法交换律、结合律分组，将同分母分数合并：
$=(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})+[(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{4})]$
分别计算每组：
$=1+(-\dfrac{5}{4})$
$=-\dfrac{1}{4}$
(2) 先将减法统一为加法，同时把分数化为小数方便凑整：
原式$=(-0.5)+3.25+2.75+(-7.5)$
利用加法交换律、结合律分组，将能凑整的数合并：
$=[(-0.5)+(-7.5)]+(3.25+2.75)$
分别计算每组：
$=-8+6$
$=-2$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{4}$；(2)$-2$
【知识点】
有理数减法法则；有理数加减混合运算；加法运算律应用
【点评】
这两道题是有理数加减混合运算的常规题型，核心是先统一运算形式，再根据数字特点灵活运用运算律简化计算，运算过程中要特别注意符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
1.把$(+5)-(+3)-(-1)+(-5)$写成省略括号的和的形式是 (
A.$-5-3+1-5$
B.$5-3-1-5$
C.$5+3+1-5$
D.$5-3+1-5$
D
)A.$-5-3+1-5$
B.$5-3-1-5$
C.$5+3+1-5$
D.$5-3+1-5$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到去括号法则对原式进行化简，核心是记住去括号时的符号变化规律：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。我们只需要逐个对原式中的括号进行去括号操作，再把得到的结果写成省略加号的和的形式，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
对原式$(+5)-(+3)-(-1)+(-5)$逐个去括号：
1. 第一项$(+5)$，括号前无额外符号（默认带正号），去括号后为$5$；
2. 第二项$-(+3)$，括号前是负号，去括号后$+3$变为$-3$；
3. 第三项$-(-1)$，括号前是负号，去括号后$-1$变为$+1$；
4. 第四项$+(-5)$，括号前是正号，去括号后$-5$符号不变，为$-5$。
将化简后的各项组合，得到省略括号的和的形式为：$5-3+1-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考查去括号的符号变化规则，解题时只要仔细判断每个括号前的符号，避免符号出错即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到去括号法则对原式进行化简，核心是记住去括号时的符号变化规律：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。我们只需要逐个对原式中的括号进行去括号操作，再把得到的结果写成省略加号的和的形式，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
对原式$(+5)-(+3)-(-1)+(-5)$逐个去括号：
1. 第一项$(+5)$，括号前无额外符号（默认带正号），去括号后为$5$；
2. 第二项$-(+3)$，括号前是负号，去括号后$+3$变为$-3$；
3. 第三项$-(-1)$，括号前是负号，去括号后$-1$变为$+1$；
4. 第四项$+(-5)$，括号前是正号，去括号后$-5$符号不变，为$-5$。
将化简后的各项组合，得到省略括号的和的形式为：$5-3+1-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减运算的基础题型，重点考查去括号的符号变化规则，解题时只要仔细判断每个括号前的符号，避免符号出错即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.计算：$(+\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{4}{5})-(+\dfrac{1}{5})-(-\dfrac{1}{3})-(-1).$
答案
解:1.
解析
【分析】
解决本题首先要明确有理数加减混合运算的处理思路：第一步先根据有理数减法法则，把所有减法运算统一转化为加法运算，再观察式子中数的特征，发现有分母为3的两个分数、分母为5的两个分数，可利用加法交换律和结合律将同分母的数优先结合计算，能简化运算步骤，减少计算错误。
【解析】
解：先根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”将减法统一转化为加法：
$\begin{split}原式&=(+\frac{2}{3})+(-\frac{4}{5})+(-\frac{1}{5})+(+\frac{1}{3})+(+1)\\&=\frac{2}{3}-\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+1\end{split}$
利用加法交换律、结合律对同分母分数分组：
$=(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(-\frac{4}{5}-\frac{1}{5})+1$
分别计算每组结果后再求和：
$\begin{split}&=1 + (-1) + 1\\&=0+1\\&=1\end{split}$
【答案】
1
【知识点】
有理数减法法则，加法运算律，有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减混合运算的基础题型，解题时先将减法转化为加法，再观察数的特征利用运算律简便计算，能有效降低计算难度，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确有理数加减混合运算的处理思路：第一步先根据有理数减法法则，把所有减法运算统一转化为加法运算，再观察式子中数的特征，发现有分母为3的两个分数、分母为5的两个分数，可利用加法交换律和结合律将同分母的数优先结合计算，能简化运算步骤，减少计算错误。
【解析】
解：先根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”将减法统一转化为加法：
$\begin{split}原式&=(+\frac{2}{3})+(-\frac{4}{5})+(-\frac{1}{5})+(+\frac{1}{3})+(+1)\\&=\frac{2}{3}-\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+1\end{split}$
利用加法交换律、结合律对同分母分数分组：
$=(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(-\frac{4}{5}-\frac{1}{5})+1$
分别计算每组结果后再求和：
$\begin{split}&=1 + (-1) + 1\\&=0+1\\&=1\end{split}$
【答案】
1
【知识点】
有理数减法法则，加法运算律，有理数加减混合运算
【点评】
本题是有理数加减混合运算的基础题型，解题时先将减法转化为加法，再观察数的特征利用运算律简便计算，能有效降低计算难度，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，在数轴上有四个点A，B，C，D，请回答：
(1)A，C两点之间的距离是多少？
(2)B，D两点之间的距离是多少？
解：
(1)A，C两点之间的距离是多少？
(2)B，D两点之间的距离是多少？
解：
答案
(1)A,C两点之间的距离为7.
(2)B,D两点之间的距离为$\dfrac{5}{2}$.
(2)B,D两点之间的距离为$\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定A、B、C、D四个点分别对应的有理数，再根据数轴上两点距离的计算规则求解：数轴上两点之间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数（或两点所表示数的差的绝对值），最后将对应点的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
观察数轴可得：点A表示的数为-4，点B表示的数为$-\dfrac{3}{2}$，点C表示的数为3，点D表示的数为1。
(1) 计算A、C两点之间的距离：
$3 - (-4) = 3 + 4 = 7$
(2) 计算B、D两点之间的距离：
$1 - (-\dfrac{3}{2}) = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
【答案】
(1)7；(2)$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算、有理数的减法
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考察数轴的性质以及有理数减法的运算规则，计算时需注意减去负数时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴，确定A、B、C、D四个点分别对应的有理数，再根据数轴上两点距离的计算规则求解：数轴上两点之间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数（或两点所表示数的差的绝对值），最后将对应点的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
观察数轴可得：点A表示的数为-4，点B表示的数为$-\dfrac{3}{2}$，点C表示的数为3，点D表示的数为1。
(1) 计算A、C两点之间的距离：
$3 - (-4) = 3 + 4 = 7$
(2) 计算B、D两点之间的距离：
$1 - (-\dfrac{3}{2}) = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
【答案】
(1)7；(2)$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算、有理数的减法
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考察数轴的性质以及有理数减法的运算规则，计算时需注意减去负数时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
