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3.如图,月历中“田”字形和倒“Z”字形的4个数之间有什么规律?请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
一 二 三 四 五 六 日
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
一 二 三 四 五 六 日
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5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
答案
3.解：
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7（每周共7天）。探究“田”字形规律时，先设左上角的数为a，根据月历排列规则表示出其余3个数，再通过计算不同组合的和找出等量关系；探究倒“Z”字形规律时，先确定标准量a的位置，同理表示出其余3个数，计算和的关系即可总结规律。
【解析】
1、“田”字形4个数的规律
设“田”字形左上角的数为$a$，根据月历排列特点：$a$右侧相邻数为$a+1$，$a$下方相邻数为$a+7$，$a+7$右侧相邻数为$a+8$，四个数排列如下：
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
分别计算两组数的和：$a+(a+8)=2a+8$，$(a+1)+(a+7)=2a+8$，因此可得等式$a+(a+8)=(a+1)+(a+7)$。
2、倒“Z”字形4个数的规律
设倒“Z”字形第一行中间的数为$a$，根据月历排列特点：$a$右侧相邻数为$a+1$，$a$下方相邻数为$a+7$，$a+7$左侧相邻数为$a+6$，四个数排列如下：
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
分别计算两组数的和：$a+(a+7)=2a+7$，$(a+1)+(a+6)=2a+7$，因此可得等式$a+(a+7)=(a+1)+(a+6)$。
【答案】
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 列代数式
3. 整式加减运算
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查数字规律的探究能力，解题的关键是掌握月历的数字排列特征，通过设字母表示各数，再经计算验证得出规律，有助于提升归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7（每周共7天）。探究“田”字形规律时，先设左上角的数为a，根据月历排列规则表示出其余3个数，再通过计算不同组合的和找出等量关系；探究倒“Z”字形规律时，先确定标准量a的位置，同理表示出其余3个数，计算和的关系即可总结规律。
【解析】
1、“田”字形4个数的规律
设“田”字形左上角的数为$a$，根据月历排列特点：$a$右侧相邻数为$a+1$，$a$下方相邻数为$a+7$，$a+7$右侧相邻数为$a+8$，四个数排列如下：
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
分别计算两组数的和：$a+(a+8)=2a+8$，$(a+1)+(a+7)=2a+8$，因此可得等式$a+(a+8)=(a+1)+(a+7)$。
2、倒“Z”字形4个数的规律
设倒“Z”字形第一行中间的数为$a$，根据月历排列特点：$a$右侧相邻数为$a+1$，$a$下方相邻数为$a+7$，$a+7$左侧相邻数为$a+6$，四个数排列如下：
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
分别计算两组数的和：$a+(a+7)=2a+7$，$(a+1)+(a+6)=2a+7$，因此可得等式$a+(a+7)=(a+1)+(a+6)$。
【答案】
$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & a & a+1 \\ \hline a+6 & a+7 & \\ \hline \end{array}$
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 列代数式
3. 整式加减运算
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查数字规律的探究能力，解题的关键是掌握月历的数字排列特征，通过设字母表示各数，再经计算验证得出规律，有助于提升归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,月历中“X”字形的5个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
4.解：
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时首先回忆月历的数字排列规则：月历中每行有7个数，同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。我们可以设“X”字形正中间的数为a，根据排列规则分别表示出其余4个位置的数，再将5个数相加，通过整式的加减运算化简，即可得出数字规律。
【解析】
设“X”字形正中间的数为a，根据月历的数字排列特点：
左上的数比a小8（上一行减7、左一列减1，共减8），即$a-8$；
右上的数比a小6（上一行减7、右一列加1，共减6），即$a-6$；
左下的数比a大6（下一行加7、左一列减1，共加6），即$a+6$；
右下的数比a大8（下一行加7、右一列加1，共加8），即$a+8$。
计算5个数的和：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-6)+a+(a+6)+(a+8)\\=&a-8+a-6+a+a+6+a+8\\=&5a\end{aligned}$
【答案】
“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍，用含a的式子表示为5个数的和为$5a$（a为正中间的数，答案不唯一）。
【知识点】
1. 列代数式
2. 整式的加减运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，解题的关键是先明确月历的数字排列特征，再通过设元表示各数、化简运算得到通用规律，能够有效锻炼观察分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆月历的数字排列规则：月历中每行有7个数，同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。我们可以设“X”字形正中间的数为a，根据排列规则分别表示出其余4个位置的数，再将5个数相加，通过整式的加减运算化简，即可得出数字规律。
【解析】
设“X”字形正中间的数为a，根据月历的数字排列特点：
左上的数比a小8（上一行减7、左一列减1，共减8），即$a-8$；
右上的数比a小6（上一行减7、右一列加1，共减6），即$a-6$；
左下的数比a大6（下一行加7、左一列减1，共加6），即$a+6$；
右下的数比a大8（下一行加7、右一列加1，共加8），即$a+8$。
计算5个数的和：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-6)+a+(a+6)+(a+8)\\=&a-8+a-6+a+a+6+a+8\\=&5a\end{aligned}$
【答案】
“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍，用含a的式子表示为5个数的和为$5a$（a为正中间的数，答案不唯一）。
【知识点】
1. 列代数式
2. 整式的加减运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，解题的关键是先明确月历的数字排列特征，再通过设元表示各数、化简运算得到通用规律，能够有效锻炼观察分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,月历中“工”字形的7个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
5.解：
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & a-7 & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)=7a.$
规律:“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & a-7 & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)=7a.$
规律:“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍(答案不唯一).
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列基本规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。我们可以设“工”字形正中间的数为a，利用上述规律将其余6个数都用含a的式子表示，再将7个数字相加，通过整式的加减运算化简求和结果，即可总结出通用规律。
【解析】
设“工”字形正中间的数为a，根据月历的数字排列规律，其余6个数字分别为：
第一行三个数：$\boldsymbol{a-8}$，$\boldsymbol{a-7}$，$\boldsymbol{a-6}$；
第三行三个数：$\boldsymbol{a+6}$，$\boldsymbol{a+7}$，$\boldsymbol{a+8}$。
将7个数相加求和：
$\begin{split}&(a-8)+(a-7)+(a-6)+a+(a+6)+(a+7)+(a+8)\\=&a-8+a-7+a-6+a+a+6+a+7+a+8\\=&7a+(-8+8)+(-7+7)+(-6+6)\\=&7a\end{split}$
【答案】
“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍，即7个数的和为$7a$（$a$为正中间的数）（答案不唯一）。
【知识点】
用字母表示数；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题以生活中常见的月历为背景考查规律探究问题，解题核心是抓住月历的数字排列特征，通过设未知数列式、化简代数式得到通用规律，能够锻炼观察归纳能力和代数表达能力。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排列基本规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。我们可以设“工”字形正中间的数为a，利用上述规律将其余6个数都用含a的式子表示，再将7个数字相加，通过整式的加减运算化简求和结果，即可总结出通用规律。
【解析】
设“工”字形正中间的数为a，根据月历的数字排列规律，其余6个数字分别为：
第一行三个数：$\boldsymbol{a-8}$，$\boldsymbol{a-7}$，$\boldsymbol{a-6}$；
第三行三个数：$\boldsymbol{a+6}$，$\boldsymbol{a+7}$，$\boldsymbol{a+8}$。
将7个数相加求和：
$\begin{split}&(a-8)+(a-7)+(a-6)+a+(a+6)+(a+7)+(a+8)\\=&a-8+a-7+a-6+a+a+6+a+7+a+8\\=&7a+(-8+8)+(-7+7)+(-6+6)\\=&7a\end{split}$
【答案】
“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍，即7个数的和为$7a$（$a$为正中间的数）（答案不唯一）。
【知识点】
用字母表示数；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题以生活中常见的月历为背景考查规律探究问题，解题核心是抓住月历的数字排列特征，通过设未知数列式、化简代数式得到通用规律，能够锻炼观察归纳能力和代数表达能力。
【难度系数】
0.7
6.如图，月历中阴影里的15个数之间有什么规律？请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
6.解：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a.$
规律:题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a.$
规律:题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一).
解析
【分析】
首先回忆月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。观察阴影部分的15个数是三行五列的对称结构，正中间的数是对称中心，我们可以设正中间的数为a，利用月历的数字规律将其余14个数都用含a的式子表示，再将15个数相加，通过整式的加减运算化简，即可得到15个数的和与中间数a的关系，总结出规律。
【解析】
设阴影部分正中间的数为$a$，根据月历的数字规律，可将15个数表示为下表：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline \end{array}$
将15个数相加：
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a$
由此可总结对应的规律。
【答案】
题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一)
【知识点】
用字母表示数、整式的加减运算、月历数字规律
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究，解题的核心是抓住月历的数字排列特点，通过设中间数为参数，利用对称关系表示其余数字，再通过整式化简得到规律，能有效锻炼规律探究能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。观察阴影部分的15个数是三行五列的对称结构，正中间的数是对称中心，我们可以设正中间的数为a，利用月历的数字规律将其余14个数都用含a的式子表示，再将15个数相加，通过整式的加减运算化简，即可得到15个数的和与中间数a的关系，总结出规律。
【解析】
设阴影部分正中间的数为$a$，根据月历的数字规律，可将15个数表示为下表：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline \end{array}$
将15个数相加：
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a$
由此可总结对应的规律。
【答案】
题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一)
【知识点】
用字母表示数、整式的加减运算、月历数字规律
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究，解题的核心是抓住月历的数字排列特点，通过设中间数为参数，利用对称关系表示其余数字，再通过整式化简得到规律，能有效锻炼规律探究能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
