7. 已知抛物线 $ L: y=x^2+bx+c $ 经过点 $ (1,15) $ 和 $ (0,8) $，顶点为 $ M $，抛物线 $ L $ 关于原点 $ O $ 对称的抛物线为 $ L' $，点 $ M $ 的对应点为 $ N $，点 $ P $ 在抛物线 $ L' $ 上，点 $ Q $ 在抛物线 $ L $ 上，且四边形 $ PMQN $ 为周长最小的菱形，求点 $ P $ 的坐标.

; 解：因为抛物线​$y = x^2+bx + c_{经过点}(1，15)$​和​$(0，8)，$​​$ $​所以​$\begin {cases}1 + b + c = 15\\c = 8\end {cases}，$​​$ $​解得​$\begin {cases}b = 6\\c = 8\end {cases}，$​​$ $​所以抛物线​$L $​的函数表达式为​$y = x^2+6x + 8。$​​$ $​因为抛物线​$L：y = x^2+6x + 8=(x + 3)^2-1，$​​$ $​所以顶点​$M$​的坐标为​$(-3，-1)。$​​$ $​因为抛物线​$L'$​与抛物线​$L $​关于原点对称，​$ $​所以抛物线​$L'$​的顶点​$N$​的坐标为​$(3，1)，$​函数表达式为​$y=-(x - 3)^2+1=-x^2+6x - 8。$​​$ $​因为四边形​$PMQN$​是菱形，所以​$PQ\perp MN。$​​$ $​因为直线​$MN$​的函数表达式为​$y=\frac {1}{3}x，$​所以直线​$PQ $​的函数表达式为​$y = - 3x，$​​$ $​联立​$\begin {cases}y = - 3x\\y =-x^2+6x - 8\end {cases}，$​​$ $​将​$y = - 3x$​代入​$y=-x^2+6x - 8$​得：​$ -3x=-x^2+6x - 8，$​​$ $​即​$x^2-9x + 8 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x - 1)(x - 8)=0，$​​$ $​解得​$x = 1$​或​$x = 8，$​​$ $​当​$x = 1$​时，​$y=-3；$​当​$x = 8$​时，​$y=-24，$​​$ $​所以点​$P $​的坐标为​$(1，-3)$​或​$(8，-24)。$​​$ $​因为菱形​$PMQN$​的周长最小，所以点​$P $​的坐标为​$(1，-3)。$​

8. 如图,二次函数 $ y=-x^2-2x+3 $ 的图像与 $ x $ 轴相交于点 $ A(-3,0),B(1,0) $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C,G $ 是二次函数图像的顶点,直线 $ GC $ 交 $ x $ 轴于点 $ H,AD // GC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $.求证:四边形 $ ACHD $ 是正方形.

证明：因为二次函数的表达式为​$y=-x^2-2x + 3，$​​$ $​令​$x = 0，$​则​$y = 3，$​所以点​$C$​的坐标为​$(0，3)。$​​$ $​因为​$y=-x^2-2x + 3=-(x + 1)^2+4，$​​$ $​所以点​$G $​的坐标是​$(-1，4)。$​​$ $​设直线​$CG $​的函数表达式是​$y = mx + 3，$​将​$G(-1，4)$​代入，得​$-m + 3 = 4，$​所以​$m=-1，$​​$ $​所以直线​$CG $​的函数表达式是​$y=-x + 3，$​​$ $​令​$y = 0，$​则​$-x + 3 = 0，$​解得​$x = 3，$​所以点​$H$​的坐标是​$(3，0)。$​​$ $​设点​$D$​的坐标是​$(0，p)，$​则​$\frac {p - 0}{0-(-3)}=\frac {3 - 0}{0 - 3}=-1，$​​$ $​所以​$p=-3。$​​$ $​因为​$AO = CO = DO = HO = 3，$​​$AH\perp CD，$​​$ $​所以四边形​$ACHD$​是正方形。