9. 如图,抛物线$L:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$与$x$轴交于点$A,B$,与$y$轴交于点$C$.将抛物线$L$绕平面内一点旋转$180°$,得到抛物线$L'$,点$B$的对应点为$E$,点$C$的对应点为$F$,是否存在抛物线$L'$,使得以$B,C,E,F$为顶点的四边形为矩形,且矩形的面积为$△ ABC$面积的$4$倍? 若存在,求出抛物线$L'$的函数表达式;若不存在,请说明理由.

解：存在。 令$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2 = 0，$ 即$x^{2}-3x - 4 = 0，$ 因式分解得$(x + 1)(x - 4)=0，$ 解得$x_1=-1，$$x_2 = 4，$ 所以$A(-1,0)，$$B(4,0)。$ 令$x = 0，$则$y=-2，$所以$C(0,-2)，$ 所以$AB = 5，$$OC = 2。$ 因为以$B，$$C，$$E，$$F$为顶点的四边形是矩形，且矩形的面积是$\triangle ABC$面积的$4$倍， 所以$S_{矩形BCEF}=4S_{\triangle ABC}=4×\frac{1}{2}×5×2 = 20。$ 在$Rt\triangle OCB$中，$OC = 2，$$OB = 4，$ 根据勾股定理$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}，$ 所以矩形的另一边长为$20\div2\sqrt{5}=2\sqrt{5}。$ 因为矩形的邻边相等，所以该矩形为正方形。 根据旋转$180°，$点$B$的对应点为$E，$点$C$的对应点为$F，$ 过点$E$作$EH\perp y$轴于点$H，$过点$F$作$FG\perp x$轴于点$G，$
则$\triangle FGB\cong\triangle BOC\cong\triangle CHE。$ 因为旋转$180°$不改变抛物线的开口大小，但改变了开口方向，所以$a=-\frac{1}{2}，$ 设抛物线$L'$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx + c。$ 分两种情况讨论： 第一种情况：可求出点$E$的坐标为$(-2,2)，$点$F$的坐标为$(2,4)，$ 将点$E，$$F$的坐标代入表达式中， 得$\begin{cases}2=-\frac{1}{2}×4-2b + c\\4=-\frac{1}{2}×4+2b + c\end{cases}，$ 即$\begin{cases}2=-2-2b + c\\4=-2+2b + c\end{cases}，$ 两式相减得：$2 = 4b，$解得$b=\frac{1}{2}，$ 把$b=\frac{1}{2}$代入$2=-2-2b + c$得：$2=-2-2×\frac{1}{2}+c，$解得$c = 5，$ 所以$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x + 5。$ 第二种情况：可求出点$E$的坐标为$(2,-6)，$点$F$的坐标为$(6,-4)，$ 将点$E，$$F$的坐标代入表达式中， 得$\begin{cases}-6=-\frac{1}{2}×4+2b + c\\-4=-\frac{1}{2}×36+6b + c\end{cases}，$ 即$\begin{cases}-6=-2+2b + c\\-4=-18+6b + c\end{cases}，$ 两式相减得：$2=-16 + 4b，$解得$b=\frac{9}{2}，$ 把$b=\frac{9}{2}$代入$-6=-2+2b + c$得：$-6=-2+2×\frac{9}{2}+c，$解得$c=-13，$ 所以$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x - 13。$ 综上所述，抛物线$L'$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x + 5$或$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x - 13。$