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1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=x^2-2x-3$与直线$y=x-3$交于$A,B$两点,该抛物线的顶点为$C$.设直线$AB$与该抛物线的对称轴交于点$E$,在射线$EB$上存在一点$M$,过点$M$作$x$轴的垂线交抛物线于点$N$,使$M,N,C,E$是平行四边形的四个顶点,则点$M$的坐标为______.
第1题图
第2题图
第3题图
第1题图
第2题图
第3题图
答案
$(2,-1)$或$(\frac{3 + \sqrt{17}}{2},\frac{-3 + \sqrt{17}}{2})$
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+2x$ 经过 $x$ 轴上的点 $A$,直线 $AB$ 与抛物线在第一象限交于点 $B(2,6)$.若以 $A,O,B,N$ 为顶点的四边形是平行四边形,则点 $N$ 的坐标是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$(6,6)$或$(-2,6)$或$(-6,-6)$
3. 如图，二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$的图像经过$B(0,4),C(4,0)$两点，顶点为$D$. 在直线$CD$上有点$E$，作$EF ⊥ x$轴于点$F$，当以$O,B,E,F$为顶点的四边形是矩形时，点$E$的坐标为$\underline{\hspace{6cm}}$.
答案
$(\frac{4}{3},4)$
4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+2x+c(a≠0)$与$x$轴交于点$A,B$,与$y$轴交于点$C$,连接$BC$,$OA=1$,对称轴为直线$x=2$,$D$为此抛物线的顶点.点$P$在抛物线对称轴上,平面内存在点$Q$,使以点$B,C,P,Q$为顶点的四边形为矩形,则点$Q$的坐标为______.
第4题图
第5题图
第6题图
第4题图
第5题图
第6题图
答案
$(3,-\frac{3}{2})$或$(3,4)$或$(7,4)$或$(-3,-\frac{7}{2})$
5. 如图,抛物线$ y = ax^2 + bx + 3 $与 x 轴交于 A(-3,0), B(1,0) 两点,与 y 轴交于点 C ,顶点为 D \. P 为抛物线上一个动点,直线 AC 上有一动点 F , M 为坐标平面上一个动点,当 A,P,F,M 四点构成的四边形为正方形时,点 P 的坐标为$\underline{\hspace{8cm}}.$
答案
$(1,0)$或$(2,-5)$
6. 如图,抛物线$y=-x^2+6x-5$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$,直线$y=x-5$经过点$B,C$.过点$A$的直线交直线$BC$于点$M$.当$AM⊥ BC$时,过抛物线上一动点$P$(不与点$B,C$重合),作直线$AM$的平行线交直线$BC$于点$Q$,若以点$A,M,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形,则点$P$的横坐标为______.
答案
$4$或$\frac{5 + \sqrt{41}}{2}$或$\frac{5 - \sqrt{41}}{2}$
