6.(2024·牡丹江)如图,二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图像与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$C$的坐标为$(0,-3)$,连接$BC$.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)$P$是抛物线在第四象限图像上的任意一点,当$△ BCP$的面积最大时,$BC$边上的高$PN$的值为______.

解​$：(1)$​由题意可得​$：$​​$\begin {cases}{\frac {1}{2}-b+c=0.}\\{c=-3}\end {cases}$​解得​$b=-\frac {5}{3}，c=-3$​∴二次函数的表达式为​$y=\frac {1}{2}x²-\frac {5}{3}x-3$​ ; $\frac{9}{5}\sqrt{5}$

7. 如图①,已知二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{2}x+4$的图像与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B,C$,连接$AB,AC$.
(1)判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(2)如图②,过点$B$作$BN// AC$交抛物线于点$N$,$M$为抛物线上位于$AC$上方一点,求四边形$AMCN$面积的最大值及此时点$M$的坐标.

第7题图

; 解：​$(1)\triangle ABC$​是直角三角形。理由如下：​$ $​令​$x = 0，$​则​$y = 4，$​∴点​$A$​的坐标为​$(0，4)。$​​$ $​令​$y = 0，$​则​$-\frac {1}{4}x^2+\frac {3}{2}x + 4 = 0，$​解得​$x_{1}=-2，$​​$x_{2} = 8，$​ ∴点​$B$​的坐标为​$(-2，0)，$​点​$C$​的坐标为​$(8，0)。$​ ∵​$A(0，4)，$​​$B(-2，0)，$​​$C(8，0)，$​ ∴​$AO = 4，$​​$BO = 2，$​​$CO = 8，$​​$BC = 10。$​​$ $​在​$Rt\triangle AOB$​中，​$AB^2=AO^2+BO^2=4^2+2^2=20，$​​$ $​在​$Rt\triangle AOC$​中，​$AC^2=AO^2+CO^2=4^2+8^2=80，$​ ∵​$BC^2=100，$​∴​$AB^2+AC^2=BC^2，$​ ∴​$\triangle ABC$​是直角三角形。​$ (2)$​设直线​$AC$​的函数表达式为​$y=kx + b，$​​$ $​将​$A(0，4)，$​​$C(8，0)$​代入，得​$\begin {cases}b = 4\\8k + b = 0\end {cases}，$​​$ $​解得​$\begin {cases}k=-\frac {1}{2}\\b = 4\end {cases}，$​ ∴直线​$AC$​的函数表达式为​$y=-\frac {1}{2}x + 4。$​​$ $​设点​$M$​的坐标为​$(m，-\frac {1}{4}\mathrm {m^2}+\frac {3}{2}m + 4)，$​​$ $​过点​$M$​作​$ME\perp x$​轴于点​$E，$​交​$AC$​于点​$F，$​则点​$F $​的坐标为​$(m，-\frac {1}{2}m + 4)，$​ ∴​$MF=-\frac {1}{4}\mathrm {m^2}+\frac {3}{2}m + 4-(-\frac {1}{2}m + 4)=-\frac {1}{4}\mathrm {m^2}+2m，$​∴​$S_{\triangle ACM}=S_{\triangle AFM}+S_{\triangle CFM}=\frac {1}{2}MF·OE+\frac {1}{2}MF·CE$​​$=\frac {1}{2}MF·CO=\frac {1}{2}(-\frac {1}{4}\mathrm {m^2}+2m)·8=-\mathrm {m^2}+8m。$​ ∵​$BN// AC，$​​$BA\perp AC，$​∴​$S_{\triangle ACN}=S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}BC·OA=\frac {1}{2}×10×4 = 20，$​∴​$S_{四边形AMCN}=S_{\triangle ACM}+S_{\triangle ACN}=-\mathrm {m^2}+8m + 20=-(m - 4)^2+36，$​∴当​$m = 4$​时，​$S_{四边形AMCN}$​有最大值，为​$36，$​此时​$-\frac {1}{4}\mathrm {m^2}+\frac {3}{2}m + 4=-\frac {1}{4}×4^2+\frac {3}{2}×4 + 4=6，$​即点​$M$​的坐标为​$(4，6)。$​