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7. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AC$上,将$△ BCD$沿着$BD$翻折,使点$C$落在$BA$的延长线上的点$E$处.若$∠ ADE=38°$,则$∠ ADB$的度数是 （ ）
A. $68°$
B. $69°$
C. $71°$
D. $72°$
A. $68°$
B. $69°$
C. $71°$
D. $72°$
答案
C
8. 如图,已知$CB ⊥ AD$,$AE ⊥ CD$,垂足分别为$B$、$E$,$AE$、$BC$相交于点$F$,$AB = BC$.若$AB = 8$,$CF = 2$,则$BD =$______.
答案
6
9. 如图,已知$△ ACD ≌ △ ABE$,BE 交 AD 于点 F,交 CD 于点 H,AE 交 DC 于点 G.求证:
$△ ACG ≌ △ ABF$.
$△ ACG ≌ △ ABF$.
答案
证明：
因为$\triangle ACD\cong\triangle ABE，$所以$AB = AC，$$\angle B = \angle C，$$\angle EAB = \angle DAC。$ 所以$\angle EAB - \angle DAE = \angle DAC - \angle DAE，$即$\angle BAF = \angle CAG。$ 在$\triangle ACG$和$\triangle ABF$中， $\begin{cases}\angle C = \angle B \\AC = AB \\\angle CAG = \angle BAF\end{cases}$ 所以$\triangle ACG\cong\triangle ABF$（ASA）。
因为$\triangle ACD\cong\triangle ABE，$所以$AB = AC，$$\angle B = \angle C，$$\angle EAB = \angle DAC。$ 所以$\angle EAB - \angle DAE = \angle DAC - \angle DAE，$即$\angle BAF = \angle CAG。$ 在$\triangle ACG$和$\triangle ABF$中， $\begin{cases}\angle C = \angle B \\AC = AB \\\angle CAG = \angle BAF\end{cases}$ 所以$\triangle ACG\cong\triangle ABF$（ASA）。
10. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC、BD$ 交于点 $O, AB = AC, E$ 是 $BD$ 上一点, 且 $∠ ABD = ∠ ACD, ∠ EAD = ∠ BAC$.
(1) 求证: $AE = AD$.
(2) 若 $∠ ACB = ∠ ABC = 65°$, 求 $∠ BDC$ 的度数.
(1) 求证: $AE = AD$.
(2) 若 $∠ ACB = ∠ ABC = 65°$, 求 $∠ BDC$ 的度数.
答案
(1)证明：
因为$\angle BAC = \angle EAD，$所以$\angle BAC - \angle EAC = \angle EAD - \angle EAC，$即$\angle BAE = \angle CAD。$ 在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中， $\begin{cases}\angle ABE = \angle ACD \\AB = AC \\\angle BAE = \angle CAD\end{cases}$ 所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD$（ASA），所以 $AE = AD。$ (2)因为$\angle ACB = \angle ABC = 65^{\circ}，$所以$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ}。$ 因为$\angle ACD + \angle BDC + \angle DOC = \angle ABD + \angle BAC + \angle AOB = 180^{\circ}，$$\angle ACD = \angle ABD，$$\angle DOC = \angle AOB，$所以$\angle BDC = \angle BAC = 50^{\circ}。$
因为$\angle BAC = \angle EAD，$所以$\angle BAC - \angle EAC = \angle EAD - \angle EAC，$即$\angle BAE = \angle CAD。$ 在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中， $\begin{cases}\angle ABE = \angle ACD \\AB = AC \\\angle BAE = \angle CAD\end{cases}$ 所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD$（ASA），所以 $AE = AD。$ (2)因为$\angle ACB = \angle ABC = 65^{\circ}，$所以$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ}。$ 因为$\angle ACD + \angle BDC + \angle DOC = \angle ABD + \angle BAC + \angle AOB = 180^{\circ}，$$\angle ACD = \angle ABD，$$\angle DOC = \angle AOB，$所以$\angle BDC = \angle BAC = 50^{\circ}。$
11. 如图，AD、BF 相交于点 O，AB // DF，AC // DE，点 E、C 在 BF 上，且 BE = CF.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ DFE$.
(2)求证：O 为 BF 的中点.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ DFE$.
(2)求证：O 为 BF 的中点.
答案
(1)证明：
因为 $AB// DF，$所以 $\angle B = \angle F。$ 因为 $AC// DE，$所以 $\angle ACB = \angle DEF。$ 因为 $BE = CF，$所以 $BE + EC = CF + EC，$即 $BC = EF。$ 在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中， $\begin{cases}\angle ACB = \angle DEF \\BC = FE \\\angle B = \angle F\end{cases}$ 所以$\triangle ABC\cong\triangle DFE$（ASA）。 (2)因为$\triangle ABC\cong\triangle DFE，$所以 $AC = DE。$ 因为 $AC// DE，$所以$\angle ACO = \angle DEO，$$\angle CAO = \angle EDO。$ 在$\triangle ACO$和$\triangle DEO$中， $\begin{cases}\angle ACO = \angle DEO \\AC = DE \\\angle CAO = \angle EDO\end{cases}$ 所以$\triangle ACO\cong\triangle DEO$（ASA），所以 $EO = CO。$ 又因为 $BE = CF，$所以 $BE + EO = CF + CO，$即 $BO = FO，$所以 $O$为 $BF$的中点。
因为 $AB// DF，$所以 $\angle B = \angle F。$ 因为 $AC// DE，$所以 $\angle ACB = \angle DEF。$ 因为 $BE = CF，$所以 $BE + EC = CF + EC，$即 $BC = EF。$ 在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中， $\begin{cases}\angle ACB = \angle DEF \\BC = FE \\\angle B = \angle F\end{cases}$ 所以$\triangle ABC\cong\triangle DFE$（ASA）。 (2)因为$\triangle ABC\cong\triangle DFE，$所以 $AC = DE。$ 因为 $AC// DE，$所以$\angle ACO = \angle DEO，$$\angle CAO = \angle EDO。$ 在$\triangle ACO$和$\triangle DEO$中， $\begin{cases}\angle ACO = \angle DEO \\AC = DE \\\angle CAO = \angle EDO\end{cases}$ 所以$\triangle ACO\cong\triangle DEO$（ASA），所以 $EO = CO。$ 又因为 $BE = CF，$所以 $BE + EO = CF + CO，$即 $BO = FO，$所以 $O$为 $BF$的中点。
