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10.已知等式$y=ax^2+bx+c$，当$x=1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=3$；当$x=-3$时，$y=28$。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值是多少？
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值是多少？
答案
10.解:(1)由已知,得$\begin{cases} a+b+c=0, \\ 4a+2b+c=3, \\ 9a-3b+c=28, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-3, \\ c=1. \end{cases}$
即$a=2,b=-3,c=1.$
(2)由(1),得$y=2x^2-3x+1.$
当$x=-2$时,$y=8+6+1=15.$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-3, \\ c=1. \end{cases}$
即$a=2,b=-3,c=1.$
(2)由(1),得$y=2x^2-3x+1.$
当$x=-2$时,$y=8+6+1=15.$
解析
【分析】
（1）要求a、b、c三个未知数的值，题目给出了三组x和y的对应取值，我们可以将三组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到含有三个未知数的三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消去未知数，先把三元方程组转化为二元方程组求解，求出两个未知数后再代入求第三个未知数即可。
（2）求出a、b、c的值后，就能确定y关于x的表达式，将$x=-2$代入表达式，按照有理数运算规则计算就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 把$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得三元一次方程组：
$\begin{cases} a+b+c=0 \quad \mathrm{①} \\ 4a+2b+c=3 \quad \mathrm{②} \\ 9a-3b+c=28 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
用②-①，消去c，得：$3a + b = 3$ ④
用③-②，消去c，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5$ ⑤
④+⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得：$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得：$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
所以$\begin{cases} a=2 \\ b=-3 \\ c=1 \end{cases}$
(2) 把$a=2$，$b=-3$，$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=2x^2 - 3x + 1$
将$x=-2$代入上式，得：
$y=2× (-2)^2 - 3× (-2) + 1 = 2× 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；
(2) $y$的值是$15$。
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用已知条件建立方程组求解未知系数，解题时要注意消元法的正确运用，代入计算时要注意符号，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
（1）要求a、b、c三个未知数的值，题目给出了三组x和y的对应取值，我们可以将三组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到含有三个未知数的三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消去未知数，先把三元方程组转化为二元方程组求解，求出两个未知数后再代入求第三个未知数即可。
（2）求出a、b、c的值后，就能确定y关于x的表达式，将$x=-2$代入表达式，按照有理数运算规则计算就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 把$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得三元一次方程组：
$\begin{cases} a+b+c=0 \quad \mathrm{①} \\ 4a+2b+c=3 \quad \mathrm{②} \\ 9a-3b+c=28 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
用②-①，消去c，得：$3a + b = 3$ ④
用③-②，消去c，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5$ ⑤
④+⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得：$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得：$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
所以$\begin{cases} a=2 \\ b=-3 \\ c=1 \end{cases}$
(2) 把$a=2$，$b=-3$，$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=2x^2 - 3x + 1$
将$x=-2$代入上式，得：
$y=2× (-2)^2 - 3× (-2) + 1 = 2× 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；
(2) $y$的值是$15$。
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用已知条件建立方程组求解未知系数，解题时要注意消元法的正确运用，代入计算时要注意符号，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
11. 五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）中性笔作为奖品。已知甲种笔每支6元，乙种笔每支4元，则老师购买两种笔的方案共有 （
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
B
）A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
11.B
解析
【分析】
本题属于方案选择类应用题，解题思路如下：首先根据题目中的总费用等量关系，设出两种笔的购买数量为未知量，列出二元一次方程；再结合“两种都买”的实际条件，明确未知量均为正整数，通过化简方程，找出所有符合条件的正整数解，解的个数就是购买方案的数量。
【解析】
设购买甲种中性笔$x$支，乙种中性笔$y$支，其中$x$、$y$均为正整数（两种都买，故$x≥1$，$y≥1$）。
根据总花费为48元，可列方程：
$6x + 4y = 48$
化简方程得：$3x + 2y = 24$，变形为$y=\frac{24-3x}{2}$。
因为$y$是正整数，所以$24-3x$必须是大于0的偶数：
1. $24-3x＞0$，解得$x＜8$；
2. 24是偶数，故$3x$为偶数，因为3是奇数，所以$x$必须是偶数。
结合$x≥1$且$x＜8$，$x$可取的正偶数值为2、4、6：
当$x=2$时，$y=\frac{24-3×2}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{24-3×4}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=\frac{24-3×6}{2}=3$，符合要求。
综上共有3种符合条件的购买方案。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 方程正整数解求解
【点评】
本题是生活中常见的方案类应用题，核心是找准等量关系列方程，解题时要特别注意未知数的实际取值限制（正整数、两种都买），避免多算不符合条件的解。
【难度系数】
0.7
本题属于方案选择类应用题，解题思路如下：首先根据题目中的总费用等量关系，设出两种笔的购买数量为未知量，列出二元一次方程；再结合“两种都买”的实际条件，明确未知量均为正整数，通过化简方程，找出所有符合条件的正整数解，解的个数就是购买方案的数量。
【解析】
设购买甲种中性笔$x$支，乙种中性笔$y$支，其中$x$、$y$均为正整数（两种都买，故$x≥1$，$y≥1$）。
根据总花费为48元，可列方程：
$6x + 4y = 48$
化简方程得：$3x + 2y = 24$，变形为$y=\frac{24-3x}{2}$。
因为$y$是正整数，所以$24-3x$必须是大于0的偶数：
1. $24-3x＞0$，解得$x＜8$；
2. 24是偶数，故$3x$为偶数，因为3是奇数，所以$x$必须是偶数。
结合$x≥1$且$x＜8$，$x$可取的正偶数值为2、4、6：
当$x=2$时，$y=\frac{24-3×2}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{24-3×4}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=\frac{24-3×6}{2}=3$，符合要求。
综上共有3种符合条件的购买方案。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 方程正整数解求解
【点评】
本题是生活中常见的方案类应用题，核心是找准等量关系列方程，解题时要特别注意未知数的实际取值限制（正整数、两种都买），避免多算不符合条件的解。
【难度系数】
0.7
12. 甲、乙两人分别从相距40 km的A,B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发1 h，那么乙出发后2 h，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5 h后，两人相距5 km，则甲由A地到B地需要（
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或10 h
D
）A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或10 h
答案
12.D
解析
【分析】
这是一道行程类的相向而行问题，解题思路如下：第一步，先设甲、乙的速度分别为未知数，根据“甲早出发1h，乙出发2h后相遇”的条件列出第一个方程；第二步，注意“同时出发2.5h后相距5km”存在两种情况：两人还未相遇、两人相遇后又错开，针对两种情况分别列出第二个方程；第三步，联立方程组求解甲的速度，再用总路程除以甲的速度得到甲走完全程的时间，最后对应选项即可。
【解析】
设甲的速度为$x$ km/h，乙的速度为$y$ km/h。
根据“甲比乙早出发1h，乙出发后2h相遇”，可知甲一共走了$1+2=3$h，两人路程和为40km，列方程：
$3x + 2y = 40$ ①
根据“同时出发2.5h后相距5km”，分两种情况讨论：
情况1：两人还未相遇，此时两人总路程为$40-5=35$km，列方程：
$2.5(x+y)=35$，化简得$x+y=14$ ②
联立①②，将$y=14-x$代入①：
$3x + 2(14-x)=40$
$3x +28 -2x=40$
解得$x=12$
则甲走完全程的时间为$40÷12=\frac{10}{3}$ h。
情况2：两人相遇后又错开，此时两人总路程为$40+5=45$km，列方程：
$2.5(x+y)=45$，化简得$x+y=18$ ③
联立①③，将$y=18-x$代入①：
$3x + 2(18-x)=40$
$3x +36 -2x=40$
解得$x=4$
则甲走完全程的时间为$40÷4=10$ h。
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}$ h或10 h。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论
【点评】
本题核心考察相向而行的行程问题，解题关键是明确“相距5km”包含未相遇和相遇后错开两种情况，避免因漏看情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的相向而行问题，解题思路如下：第一步，先设甲、乙的速度分别为未知数，根据“甲早出发1h，乙出发2h后相遇”的条件列出第一个方程；第二步，注意“同时出发2.5h后相距5km”存在两种情况：两人还未相遇、两人相遇后又错开，针对两种情况分别列出第二个方程；第三步，联立方程组求解甲的速度，再用总路程除以甲的速度得到甲走完全程的时间，最后对应选项即可。
【解析】
设甲的速度为$x$ km/h，乙的速度为$y$ km/h。
根据“甲比乙早出发1h，乙出发后2h相遇”，可知甲一共走了$1+2=3$h，两人路程和为40km，列方程：
$3x + 2y = 40$ ①
根据“同时出发2.5h后相距5km”，分两种情况讨论：
情况1：两人还未相遇，此时两人总路程为$40-5=35$km，列方程：
$2.5(x+y)=35$，化简得$x+y=14$ ②
联立①②，将$y=14-x$代入①：
$3x + 2(14-x)=40$
$3x +28 -2x=40$
解得$x=12$
则甲走完全程的时间为$40÷12=\frac{10}{3}$ h。
情况2：两人相遇后又错开，此时两人总路程为$40+5=45$km，列方程：
$2.5(x+y)=45$，化简得$x+y=18$ ③
联立①③，将$y=18-x$代入①：
$3x + 2(18-x)=40$
$3x +36 -2x=40$
解得$x=4$
则甲走完全程的时间为$40÷4=10$ h。
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}$ h或10 h。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论
【点评】
本题核心考察相向而行的行程问题，解题关键是明确“相距5km”包含未相遇和相遇后错开两种情况，避免因漏看情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
13.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示(火车、汽车都满载)：
批次 所用火车车皮数量/节 所用汽车数量/辆 运输物资总量/t
第一批 2
5 130
第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别装载物资的吨数是（
A.40,5
B.50,6
C.50,4
D.45,7
批次 所用火车车皮数量/节 所用汽车数量/辆 运输物资总量/t
第一批 2
5 130第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别装载物资的吨数是（
B
）A.40,5
B.50,6
C.50,4
D.45,7
答案
13.B
解析
【分析】
这是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示每节火车车皮、每辆汽车的装载吨数；再从表格中提取两批运输的总量信息，找到两个等量关系：①2节火车车皮装载量+5辆汽车装载量=130t，②4节火车车皮装载量+3辆汽车装载量=218t；根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
设每节火车车皮装载物资$x$吨，每辆汽车装载物资$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 130&①\\4x + 3y = 218&②\end{cases}$
将①式左右两边同时乘2，得：$4x + 10y = 260$ ③
用③式减去②式消去$x$：
$(4x+10y)-(4x+3y)=260-218$
化简得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入①式：
$2x + 5×6=130$
$2x=100$，解得$x=50$。
因此每节火车车皮装50t，每辆汽车装6t，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确从表格中提取等量关系建立方程组，掌握消元法解方程组的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示每节火车车皮、每辆汽车的装载吨数；再从表格中提取两批运输的总量信息，找到两个等量关系：①2节火车车皮装载量+5辆汽车装载量=130t，②4节火车车皮装载量+3辆汽车装载量=218t；根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
设每节火车车皮装载物资$x$吨，每辆汽车装载物资$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 130&①\\4x + 3y = 218&②\end{cases}$
将①式左右两边同时乘2，得：$4x + 10y = 260$ ③
用③式减去②式消去$x$：
$(4x+10y)-(4x+3y)=260-218$
化简得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入①式：
$2x + 5×6=130$
$2x=100$，解得$x=50$。
因此每节火车车皮装50t，每辆汽车装6t，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确从表格中提取等量关系建立方程组，掌握消元法解方程组的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
