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5. 下列四组数值中，是方程组$\begin{cases}x+2y+z=0, \\ 2x-y-z=1, \\ 3x-y-z=2\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=1, \\ z=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0, \\ y=0, \\ z=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=-1, \\ z=0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \\ z=3 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=1, \\ z=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0, \\ y=0, \\ z=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=-1, \\ z=0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=-2, \\ z=3 \end{cases}$
答案
5.D
解析
【分析】
这道题考查三元一次方程组解的判断，有两种常用解题思路：一是代入验证法，把每个选项的数值分别代入三个方程，只有同时满足所有方程的才是方程组的解；二是先消元求解再匹配选项，观察发现后两个方程中y、z的系数完全相同，可直接用加减消元法消去y和z，先求出x的值快速筛选选项，比逐个代入效率更高。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases}x+2y+z=0 \ \ \ \ ① \\2x-y-z=1 \ \ \ \ ② \\3x-y-z=2 \ \ \ \ ③\end{cases}$
方法一：消元快速筛选
观察②和③，y、z的系数对应相等，用③-②可得：
$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$
化简得：$x=1$
四个选项中只有D选项的$x=1$，初步锁定D。
验证：将D选项$\begin{cases}x=1 \\ y=-2 \\ z=3\end{cases}$代入三个方程：
代入①：左边$=1+2×(-2)+3=0=$右边，成立；
代入②：左边$=2×1 - (-2)-3=1=$右边，成立；
代入③：左边$=3×1 - (-2)-3=2=$右边，成立，因此D是方程组的解。
方法二：代入验证法
A选项：代入方程③，左边$=3×0 -1 - (-2)=1≠2$，排除；
B选项：代入方程①，左边$=0+0+1=1≠0$，排除；
C选项：代入方程①，左边$=0+2×(-1)+0=-2≠0$，排除；
D选项代入三个方程均成立，当选。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解、加减消元法、代入验证法
【点评】
本题属于方程组解判断的基础题型，解题时可结合题目特点灵活选择方法，本题通过观察后两个方程的结构特征，用加减消元法快速求出x的值，可直接锁定答案，大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
这道题考查三元一次方程组解的判断，有两种常用解题思路：一是代入验证法，把每个选项的数值分别代入三个方程，只有同时满足所有方程的才是方程组的解；二是先消元求解再匹配选项，观察发现后两个方程中y、z的系数完全相同，可直接用加减消元法消去y和z，先求出x的值快速筛选选项，比逐个代入效率更高。
【解析】
记方程组为：
$\begin{cases}x+2y+z=0 \ \ \ \ ① \\2x-y-z=1 \ \ \ \ ② \\3x-y-z=2 \ \ \ \ ③\end{cases}$
方法一：消元快速筛选
观察②和③，y、z的系数对应相等，用③-②可得：
$(3x-y-z)-(2x-y-z)=2-1$
化简得：$x=1$
四个选项中只有D选项的$x=1$，初步锁定D。
验证：将D选项$\begin{cases}x=1 \\ y=-2 \\ z=3\end{cases}$代入三个方程：
代入①：左边$=1+2×(-2)+3=0=$右边，成立；
代入②：左边$=2×1 - (-2)-3=1=$右边，成立；
代入③：左边$=3×1 - (-2)-3=2=$右边，成立，因此D是方程组的解。
方法二：代入验证法
A选项：代入方程③，左边$=3×0 -1 - (-2)=1≠2$，排除；
B选项：代入方程①，左边$=0+0+1=1≠0$，排除；
C选项：代入方程①，左边$=0+2×(-1)+0=-2≠0$，排除；
D选项代入三个方程均成立，当选。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解、加减消元法、代入验证法
【点评】
本题属于方程组解判断的基础题型，解题时可结合题目特点灵活选择方法，本题通过观察后两个方程的结构特征，用加减消元法快速求出x的值，可直接锁定答案，大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
6.若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的$\frac{1}{5}$，则三角形中最短的一条边的长度为
6
。答案
6.6
解析
【分析】
本题是利用方程求解三角形边长的应用题，解题思路如下：首先我们可以设三角形的三条边长分别为a、b、c（不妨设a≥b），从题目中提取三个等量关系：①三角形周长为24，即三边之和为24；②两条边的和比第三条边多4；③两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$。先将前两个等量关系结合求出第三条边c的长度，再将c代入另外两个关系式，转化为二元一次方程组求解剩下两条边的长度，最后比较三边大小得到最短边即可。
【解析】
设三角形的三条边长度分别为a、b、c，且a≥b，根据题意列等式：
1. 由周长为24得：$\boldsymbol{a+b+c=24}$
2. 由两条边的和比第三条边多4得：$\boldsymbol{a+b - c=4}$
3. 由两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$得：$\boldsymbol{a-b=\frac{1}{5}c}$
第一步：求c的长度
把$a+b=c+4$代入周长公式$a+b+c=24$，可得：
$c+4 + c = 24$
$2c=20$
解得$c=10$
第二步：求a、b的长度
把$c=10$代入$a-b=\frac{1}{5}c$，得：
$a-b=\frac{1}{5}×10=2$
又因为$a+b=c+4=14$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a+b=14\\a-b=2\end{cases}$
将两个等式左右两边相加，得$2a=16$，解得$a=8$
把$a=8$代入$a+b=14$，得$b=14-8=6$
第三步：比较三边大小
三条边长度分别为6、8、10，因此最短的边长度为6。
【答案】
6
【知识点】
列方程组解应用题，三角形周长计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查学生从题干中提取等量关系、建立方程求解的能力，解题时先利用周长的特殊关系先求出第三条边，可大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题是利用方程求解三角形边长的应用题，解题思路如下：首先我们可以设三角形的三条边长分别为a、b、c（不妨设a≥b），从题目中提取三个等量关系：①三角形周长为24，即三边之和为24；②两条边的和比第三条边多4；③两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$。先将前两个等量关系结合求出第三条边c的长度，再将c代入另外两个关系式，转化为二元一次方程组求解剩下两条边的长度，最后比较三边大小得到最短边即可。
【解析】
设三角形的三条边长度分别为a、b、c，且a≥b，根据题意列等式：
1. 由周长为24得：$\boldsymbol{a+b+c=24}$
2. 由两条边的和比第三条边多4得：$\boldsymbol{a+b - c=4}$
3. 由两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$得：$\boldsymbol{a-b=\frac{1}{5}c}$
第一步：求c的长度
把$a+b=c+4$代入周长公式$a+b+c=24$，可得：
$c+4 + c = 24$
$2c=20$
解得$c=10$
第二步：求a、b的长度
把$c=10$代入$a-b=\frac{1}{5}c$，得：
$a-b=\frac{1}{5}×10=2$
又因为$a+b=c+4=14$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a+b=14\\a-b=2\end{cases}$
将两个等式左右两边相加，得$2a=16$，解得$a=8$
把$a=8$代入$a+b=14$，得$b=14-8=6$
第三步：比较三边大小
三条边长度分别为6、8、10，因此最短的边长度为6。
【答案】
6
【知识点】
列方程组解应用题，三角形周长计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查学生从题干中提取等量关系、建立方程求解的能力，解题时先利用周长的特殊关系先求出第三条边，可大大简化计算过程。
【难度系数】
0.7
7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位数字与十位数字对调，得到的新数比原数大9.设原数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，可列方程组为。
答案
7.$\begin{cases} x-y=1, \\ 10y+x-(10x+y)=9 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的两个等量关系：第一，根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可直接得到十位数字与个位数字的差的关系；第二，回忆两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再结合“新数比原数大9”的条件得到第二个等量关系，将两个等量关系转化为方程后联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，已知十位数字为$x$，个位数字为$y$，可列第一个方程：$x-y=1$。
2. 表示原数和对调后的新数：原数的十位为$x$、个位为$y$，因此原数为$10x+y$；对调后新数的十位为$y$、个位为$x$，因此新数为$10y+x$。
3. 根据“新数比原数大9”，可列第二个方程：$10y+x-(10x+y)=9$。
4. 联立两个方程，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-y=1, \\ 10y+x-(10x+y)=9 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的代数式表示
【点评】
本题是列方程组的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，熟练掌握多位数的代数式表示方法，避免混淆对调前后两个数的表达式。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目中的两个等量关系：第一，根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可直接得到十位数字与个位数字的差的关系；第二，回忆两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再结合“新数比原数大9”的条件得到第二个等量关系，将两个等量关系转化为方程后联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，已知十位数字为$x$，个位数字为$y$，可列第一个方程：$x-y=1$。
2. 表示原数和对调后的新数：原数的十位为$x$、个位为$y$，因此原数为$10x+y$；对调后新数的十位为$y$、个位为$x$，因此新数为$10y+x$。
3. 根据“新数比原数大9”，可列第二个方程：$10y+x-(10x+y)=9$。
4. 联立两个方程，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-y=1, \\ 10y+x-(10x+y)=9 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的代数式表示
【点评】
本题是列方程组的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，熟练掌握多位数的代数式表示方法，避免混淆对调前后两个数的表达式。
【难度系数】
0.8
8.把一批图书分给某班学生阅读，若每人发3本，则剩余20本；若每人发4本，则缺25本.这个班有
45
名学生.答案
8.45
解析
【分析】
这是一道分配类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住图书总数量不变这个隐含的等量关系。我们可以先设这个班的学生人数为未知数，分别用两种分配方式表示出图书的总数量，再根据总数量相等列出方程，最后解方程即可求出学生人数。
【解析】
设这个班有$ x $名学生。
根据图书总数不变，可列方程：
$ 3x + 20 = 4x - 25 $
移项得：$ 4x - 3x = 20 + 25 $
合并同类项得：$ x = 45 $
【答案】
45
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系建立
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是找到不同分配方式下不变的总量，以此为依据建立方程求解，属于方程应用的基础题型，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道分配类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住图书总数量不变这个隐含的等量关系。我们可以先设这个班的学生人数为未知数，分别用两种分配方式表示出图书的总数量，再根据总数量相等列出方程，最后解方程即可求出学生人数。
【解析】
设这个班有$ x $名学生。
根据图书总数不变，可列方程：
$ 3x + 20 = 4x - 25 $
移项得：$ 4x - 3x = 20 + 25 $
合并同类项得：$ x = 45 $
【答案】
45
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系建立
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是找到不同分配方式下不变的总量，以此为依据建立方程求解，属于方程应用的基础题型，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 为了丰富同学们的课余生活，学校组织开展了篮球赛. 为此学校到篮球专卖店购买了A，B两种不同款式的篮球，其中A款每个180元，B款每个120元，学校用2 940元从这家专卖店购买了这两种篮球共17个. 学校购买A款、B款篮球各多少个？
答案
9.解:设学校购买 A 款篮球 x 个,B 款篮球 y 个,根据题意,得
$\begin{cases} x+y=17, \\ 180x+120y=2\ 940, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=2. \end{cases}$
答:学校购买 A 款篮球 15 个,B 款篮球 2 个.
$\begin{cases} x+y=17, \\ 180x+120y=2\ 940, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=2. \end{cases}$
答:学校购买 A 款篮球 15 个,B 款篮球 2 个.
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组应用题，解题时首先要从题干提取两个核心等量关系：①A款篮球个数+B款篮球个数=总购买数17个；②购买A款篮球的总费用+购买B款篮球的总费用=总花费2940元。我们可以设两个未知数分别代表A、B款篮球的购买数量，再根据等量关系列出方程组，求解后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设学校购买A款篮球x个，B款篮球y个，根据题意，得
$\begin{cases} x+y=17, \\ 180x+120y=2\ 940, \end{cases}$
用代入消元法求解：由第一个方程得$y=17-x$，代入第二个方程可得：
$180x+120(17-x)=2940$
展开计算得$180x+2040-120x=2940$，合并同类项得$60x=900$，解得$x=15$。
将$x=15$代入$y=17-x$，得$y=17-15=2$，经检验结果符合题意。
【答案】
学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于常规的实际应用类题目，侧重考察学生提取等量关系、列方程组解应用题的能力，计算量较小，只要找准数量关系、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的二元一次方程组应用题，解题时首先要从题干提取两个核心等量关系：①A款篮球个数+B款篮球个数=总购买数17个；②购买A款篮球的总费用+购买B款篮球的总费用=总花费2940元。我们可以设两个未知数分别代表A、B款篮球的购买数量，再根据等量关系列出方程组，求解后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设学校购买A款篮球x个，B款篮球y个，根据题意，得
$\begin{cases} x+y=17, \\ 180x+120y=2\ 940, \end{cases}$
用代入消元法求解：由第一个方程得$y=17-x$，代入第二个方程可得：
$180x+120(17-x)=2940$
展开计算得$180x+2040-120x=2940$，合并同类项得$60x=900$，解得$x=15$。
将$x=15$代入$y=17-x$，得$y=17-15=2$，经检验结果符合题意。
【答案】
学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于常规的实际应用类题目，侧重考察学生提取等量关系、列方程组解应用题的能力，计算量较小，只要找准数量关系、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
