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11. 如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ CD$于点$E$，$∠ B = 65°$，则$∠ DAE$的度数为
25°
。答案
11.25°
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，题目给出平行四边形ABCD和垂直关系，要求角的度数。第一步我们可以利用平行四边形对角相等的性质，得到∠D的度数等于已知的∠B的度数；第二步根据AE⊥CD可知△AED是直角三角形，直角三角形的两个锐角和为90°，用90°减去∠D的度数即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D = ∠B = 65°（平行四边形对角相等），
∵AE⊥CD，
∴∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，直角三角形两锐角互余，因此：
∠DAE = 90° - ∠D = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行四边形的基本性质和直角三角形的内角特征，牢记相关性质即可快速解题，是几何部分的常规基础考法。
【难度系数】
0.8
首先观察图形和已知条件，题目给出平行四边形ABCD和垂直关系，要求角的度数。第一步我们可以利用平行四边形对角相等的性质，得到∠D的度数等于已知的∠B的度数；第二步根据AE⊥CD可知△AED是直角三角形，直角三角形的两个锐角和为90°，用90°减去∠D的度数即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D = ∠B = 65°（平行四边形对角相等），
∵AE⊥CD，
∴∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，直角三角形两锐角互余，因此：
∠DAE = 90° - ∠D = 90° - 65° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查平行四边形的基本性质和直角三角形的内角特征，牢记相关性质即可快速解题，是几何部分的常规基础考法。
【难度系数】
0.8
12. 如图是两个重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF。若AB=8 cm，BE=4 cm，DH=3 cm，则图中阴影部分的面积为
26
cm²。答案
12.26
解析
【分析】
首先利用平移的性质：平移前后的两个图形全等，对应边相等、面积相等。观察图形可得△ABC和△DEF面积相等，两个三角形同时减去公共部分△HEC的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分面积和梯形ABEH的面积相等，将求阴影面积转化为求梯形ABEH的面积，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可得△ABC≌△DEF，
∴ DE=AB=8cm，$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，
∵ $S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$。
已知DH=3cm，因此$HE=DE-DH=8-3=5$cm，
梯形ABEH的上底HE=5cm，下底AB=8cm，高BE=4cm，
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
代入得：$S_{梯形ABEH}=\frac{(5+8)×4}{2}=26$（cm²），
即阴影部分面积为26cm²。
【答案】
26
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的常见题型，核心是利用转化思想，将难以直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，解题关键是熟练掌握平移的性质，找到面积相等的替代图形，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先利用平移的性质：平移前后的两个图形全等，对应边相等、面积相等。观察图形可得△ABC和△DEF面积相等，两个三角形同时减去公共部分△HEC的面积后，剩余部分面积仍然相等，即阴影部分面积和梯形ABEH的面积相等，将求阴影面积转化为求梯形ABEH的面积，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可得△ABC≌△DEF，
∴ DE=AB=8cm，$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，
∵ $S_{△ ABC}-S_{△ HEC}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$。
已知DH=3cm，因此$HE=DE-DH=8-3=5$cm，
梯形ABEH的上底HE=5cm，下底AB=8cm，高BE=4cm，
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
代入得：$S_{梯形ABEH}=\frac{(5+8)×4}{2}=26$（cm²），
即阴影部分面积为26cm²。
【答案】
26
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的常见题型，核心是利用转化思想，将难以直接计算的阴影部分面积转化为规则的梯形面积求解，解题关键是熟练掌握平移的性质，找到面积相等的替代图形，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
答案
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF,
∴S△ABE=S△AEF=2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO.
∴S△CFO=1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF,
∴S△ABE=S△AEF=2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO.
∴S△CFO=1.
解析
【分析】
(1)要证明四边形AECF是平行四边形，可优先考虑对角线相关的判定定理：首先从已知的平行四边形ABCD入手，可得其对角线互相平分，即AO=CO、BO=DO，再结合BE=FD的条件，通过线段差的运算可推出EO=FO，即可满足“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定要求。
(2)求△CFO的面积时，先利用BE=EF的条件，△ABE和△AEF同高，底相等则面积相等，得到S△AEF=2；再借助平行四边形AECF的性质，可知对角线分平行四边形为两个面积相等的三角形，因此S△CEF=2；最后根据平行四边形对角线平分的性质得EO=FO，△CFO和△CEO等底同高，面积为△CEF的一半，即可得出结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF，△ABE和△AEF同高，底相等，
∴S△ABE=S△AEF=2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO.
∵△CFO和△CEO同高，底FO=EO，
∴S△CFO=½S△CEF=1.
【答案】
(1)已证四边形AECF是平行四边形；
(2)△CFO的面积为1.
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是平行四边形章节的典型基础题，重点考察平行四边形对角线相关的性质、判定，以及等积变换的应用，解题时结合已知的线段相等条件选择合适的判定方法，可快速推导出结论。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形AECF是平行四边形，可优先考虑对角线相关的判定定理：首先从已知的平行四边形ABCD入手，可得其对角线互相平分，即AO=CO、BO=DO，再结合BE=FD的条件，通过线段差的运算可推出EO=FO，即可满足“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定要求。
(2)求△CFO的面积时，先利用BE=EF的条件，△ABE和△AEF同高，底相等则面积相等，得到S△AEF=2；再借助平行四边形AECF的性质，可知对角线分平行四边形为两个面积相等的三角形，因此S△CEF=2；最后根据平行四边形对角线平分的性质得EO=FO，△CFO和△CEO等底同高，面积为△CEF的一半，即可得出结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵BE=EF，△ABE和△AEF同高，底相等，
∴S△ABE=S△AEF=2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO.
∵△CFO和△CEO同高，底FO=EO，
∴S△CFO=½S△CEF=1.
【答案】
(1)已证四边形AECF是平行四边形；
(2)△CFO的面积为1.
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是平行四边形章节的典型基础题，重点考察平行四边形对角线相关的性质、判定，以及等积变换的应用，解题时结合已知的线段相等条件选择合适的判定方法，可快速推导出结论。
【难度系数】
0.7
14.甲、乙两人制作广式月饼，甲每天比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.
(1)甲每天做多少个广式月饼？
(2)中秋节前，有600个广式月饼需要制作.若甲的工价是每天300元，乙的工价是每天250元，总预算不超过9200元，则最多可安排乙做多少天？
(1)甲每天做多少个广式月饼？
(2)中秋节前，有600个广式月饼需要制作.若甲的工价是每天300元，乙的工价是每天250元，总预算不超过9200元，则最多可安排乙做多少天？
答案
解:(1)甲每天做20个广式月饼.
(2)最多可安排乙做8天.
(2)最多可安排乙做8天.
解析
【分析】
(1) 本题属于分式方程的工程类应用题，首先抓住两个核心关系：①甲每天制作数量比乙多5个；②甲做80个的时间=乙做60个的时间。我们可以设甲每天做x个，对应表示出乙每天的制作量，再根据“时间=工作总量÷工作效率”列分式方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用题，核心不等关系是：总用工费用≤9200元。设安排乙做a天，先算出乙a天的完成量，剩余工作量由甲完成，对应算出甲的工作天数，再结合两人的工价列出不等式，取符合实际的最大正整数解即可。
【解析】
(1) 设甲每天做x个广式月饼，则乙每天做$(x-5)$个。
根据题意列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{60}{x-5}$
交叉相乘得：$80(x-5)=60x$
去括号：$80x-400=60x$
移项合并同类项：$20x=400$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x-5)=20×15=300≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 由(1)可知乙每天做$20-5=15$个，设安排乙做a天。
乙a天完成的数量为$15a$个，剩余由甲完成的数量为$(600-15a)$个，甲需要工作的天数为$\frac{600-15a}{20}$天。
根据总预算不超过9200元列不等式：
$250a + 300×\frac{600-15a}{20} ≤9200$
化简得：$250a + 15(600-15a) ≤9200$
$250a + 9000 -225a ≤9200$
$25a ≤200$
解得：$a ≤8$
a为正整数，故a的最大值为8。
【答案】
(1)甲每天做20个广式月饼；(2)最多可安排乙做8天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规应用题，解题核心是准确抓住等量关系和不等关系列式，注意分式方程必须验根，不等式的解要符合实际场景的要求，侧重考查基础的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于分式方程的工程类应用题，首先抓住两个核心关系：①甲每天制作数量比乙多5个；②甲做80个的时间=乙做60个的时间。我们可以设甲每天做x个，对应表示出乙每天的制作量，再根据“时间=工作总量÷工作效率”列分式方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用题，核心不等关系是：总用工费用≤9200元。设安排乙做a天，先算出乙a天的完成量，剩余工作量由甲完成，对应算出甲的工作天数，再结合两人的工价列出不等式，取符合实际的最大正整数解即可。
【解析】
(1) 设甲每天做x个广式月饼，则乙每天做$(x-5)$个。
根据题意列方程：
$\frac{80}{x}=\frac{60}{x-5}$
交叉相乘得：$80(x-5)=60x$
去括号：$80x-400=60x$
移项合并同类项：$20x=400$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x-5)=20×15=300≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 由(1)可知乙每天做$20-5=15$个，设安排乙做a天。
乙a天完成的数量为$15a$个，剩余由甲完成的数量为$(600-15a)$个，甲需要工作的天数为$\frac{600-15a}{20}$天。
根据总预算不超过9200元列不等式：
$250a + 300×\frac{600-15a}{20} ≤9200$
化简得：$250a + 15(600-15a) ≤9200$
$250a + 9000 -225a ≤9200$
$25a ≤200$
解得：$a ≤8$
a为正整数，故a的最大值为8。
【答案】
(1)甲每天做20个广式月饼；(2)最多可安排乙做8天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规应用题，解题核心是准确抓住等量关系和不等关系列式，注意分式方程必须验根，不等式的解要符合实际场景的要求，侧重考查基础的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
