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1. 如图,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE = 3,AB = 8,则BF =
6
.答案
1 6 由折叠的性质,得AD = AF,EF = DE = 8 - 3 = 5. 在Rt△CEF中,由勾股定理,得CF = 4. 设AD = AF = x,则BC = x,
∴ BF = x - 4. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得8² + (x - 4)² = x²,解得x = 10,故BF = x - 4 = 6.
∴ BF = x - 4. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得8² + (x - 4)² = x²,解得x = 10,故BF = x - 4 = 6.
解析
【分析】
解决这道题首先要利用折叠的性质得到相等的线段，再结合长方形的性质找到直角三角形，通过勾股定理逐步求解：第一步先根据已知的CE和CD的长度求出EF的长，在Rt△CEF中用勾股定理算出CF的长度；第二步设AD（即AF）的长为未知数，用含未知数的式子表示BF的长，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程，求出未知数后代入即可得到BF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD=8，AD=BC，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得：AD=AF，DE=EF，
∵ CE=3，
∴ DE=CD-CE=8-3=5，即EF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{EF^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
设AD=AF=BC=x，则BF=BC-CF=x-4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入得：$8^2+(x-4)^2=x^2$，
展开计算：$64+x^2-8x+16=x^2$，
化简得：$80-8x=0$，解得x=10，
∴ BF=x-4=10-4=6。
【答案】
6
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类问题结合勾股定理应用的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将已知线段转化到直角三角形中，再通过设未知数构造方程求解，能有效考察数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要利用折叠的性质得到相等的线段，再结合长方形的性质找到直角三角形，通过勾股定理逐步求解：第一步先根据已知的CE和CD的长度求出EF的长，在Rt△CEF中用勾股定理算出CF的长度；第二步设AD（即AF）的长为未知数，用含未知数的式子表示BF的长，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程，求出未知数后代入即可得到BF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD=8，AD=BC，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得：AD=AF，DE=EF，
∵ CE=3，
∴ DE=CD-CE=8-3=5，即EF=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{EF^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
设AD=AF=BC=x，则BF=BC-CF=x-4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入得：$8^2+(x-4)^2=x^2$，
展开计算：$64+x^2-8x+16=x^2$，
化简得：$80-8x=0$，解得x=10，
∴ BF=x-4=10-4=6。
【答案】
6
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类问题结合勾股定理应用的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将已知线段转化到直角三角形中，再通过设未知数构造方程求解，能有效考察数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
2.［2025苏州东沙湖学校月考］如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=6,AB=10,O$是$AB$边的中点,$P$是射线$AC$上的一个动点,$BQ// CA$交$PO$的延长线于点$Q,OM⊥ PQ$交$BC$边于点$M$.当$CP=1$时,$BM$的长为
2.5或1
.答案
2 2.5或1 在Rt△ABC中,AB = 10,AC = 6,
∴ BC² = AB² - AC² = 64,
∴ BC = 8.
∵ QB // AP,
∴ ∠A = ∠OBQ.
∵ O是AB的中点,
∴ OA = OB. 在△OAP和△OBQ中,
$\begin{cases}∠A = ∠OBQ,\\OA = OB,\\∠AOP = ∠BOQ,\end{cases}$
∴ △OAP≌△OBQ(ASA),
∴ BQ = PA,OQ = OP. 当点P在线段AC上时,BQ = AP = 6 - 1 = 5,
连接MQ,MP,设BM = x,则MC = 8 - x.∵ OM ⊥ PQ,OQ = OP,
∴ MQ = MP,
∴ 5² + x² = 1² + (8 - x)²,解得x = 2.5,
∴ BM = 2.5. 当点P在AC的延长线上时,同理可得BQ = AP = 6 + 1 = 7,MQ = MP,
∴ 7² + x² = 1² + (8 - x)²,解得x = 1,
∴ BM = 1. 综上所述,BM的长为2.5或1.
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形已知的边长，用勾股定理求出BC的长度；再结合BQ//AC、O是AB中点的条件，可证明△OAP与△OBQ全等，得到BQ=AP、OQ=OP的结论；结合OM⊥PQ，可知OM是PQ的垂直平分线，因此MQ=MP；由于P在射线AC上运动，CP=1需要分两种情况讨论：①P在线段AC上，②P在AC的延长线上，分别计算对应的BQ长度，设BM为x，用勾股定理分别表示MQ²和MP²，列方程求解即可得到BM的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
由勾股定理得$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$，因此$BC=8$。
∵$BQ// CA$，
∴$∠A=∠OBQ$，
∵O是AB的中点，
∴$OA=OB$。
在$△ OAP$和$△ OBQ$中：
$\begin{cases}∠A = ∠OBQ,\\OA = OB,\\∠AOP = ∠BOQ,\end{cases}$
∴$△ OAP≌△ OBQ(\mathrm{ASA})$，
∴$BQ=PA$，$OQ=OP$。
情况1：当点P在线段AC上时，$BQ=AP=AC-CP=6-1=5$，
连接$MQ$、$MP$，设$BM=x$，则$MC=8-x$。
∵$OM⊥PQ$且$OQ=OP$，
∴OM垂直平分PQ，因此$MQ=MP$。
在Rt△QBM和Rt△PCM中，由勾股定理得$MQ^2=BQ^2+BM^2$，$MP^2=CP^2+MC^2$，
因此$5^2 + x^2 = 1^2 + (8 - x)^2$，解得$x=2.5$，即$BM=2.5$。
情况2：当点P在AC的延长线上时，同理可得$BQ=AP=AC+CP=6+1=7$，$MQ=MP$，
因此$7^2 + x^2 = 1^2 + (8 - x)^2$，解得$x=1$，即$BM=1$。
综上所述，BM的长为2.5或1。
【答案】
2.5或1
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题时需要用到分类讨论思想，要注意动点在射线上存在两种位置情况，避免漏解；同时要灵活运用全等三角形性质、垂直平分线性质和勾股定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直角三角形已知的边长，用勾股定理求出BC的长度；再结合BQ//AC、O是AB中点的条件，可证明△OAP与△OBQ全等，得到BQ=AP、OQ=OP的结论；结合OM⊥PQ，可知OM是PQ的垂直平分线，因此MQ=MP；由于P在射线AC上运动，CP=1需要分两种情况讨论：①P在线段AC上，②P在AC的延长线上，分别计算对应的BQ长度，设BM为x，用勾股定理分别表示MQ²和MP²，列方程求解即可得到BM的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
由勾股定理得$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$，因此$BC=8$。
∵$BQ// CA$，
∴$∠A=∠OBQ$，
∵O是AB的中点，
∴$OA=OB$。
在$△ OAP$和$△ OBQ$中：
$\begin{cases}∠A = ∠OBQ,\\OA = OB,\\∠AOP = ∠BOQ,\end{cases}$
∴$△ OAP≌△ OBQ(\mathrm{ASA})$，
∴$BQ=PA$，$OQ=OP$。
情况1：当点P在线段AC上时，$BQ=AP=AC-CP=6-1=5$，
连接$MQ$、$MP$，设$BM=x$，则$MC=8-x$。∵$OM⊥PQ$且$OQ=OP$，
∴OM垂直平分PQ，因此$MQ=MP$。
在Rt△QBM和Rt△PCM中，由勾股定理得$MQ^2=BQ^2+BM^2$，$MP^2=CP^2+MC^2$，
因此$5^2 + x^2 = 1^2 + (8 - x)^2$，解得$x=2.5$，即$BM=2.5$。
情况2：当点P在AC的延长线上时，同理可得$BQ=AP=AC+CP=6+1=7$，$MQ=MP$，
因此$7^2 + x^2 = 1^2 + (8 - x)^2$，解得$x=1$，即$BM=1$。
综上所述，BM的长为2.5或1。
【答案】
2.5或1
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题解题时需要用到分类讨论思想，要注意动点在射线上存在两种位置情况，避免漏解；同时要灵活运用全等三角形性质、垂直平分线性质和勾股定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
3. [2025无锡江阴期中]已知在$△ ABC$中，$AB = 17$，$AC = 10$，$BC$边上的高$AD = 8$，则边$BC$的长为（
A.9
B.21
C.6或15
D.9或21
D
）A.9
B.21
C.6或15
D.9或21
答案
3 D 当高AD在△ABC内部时,
∵ AD是△ABC的高,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. 在Rt△ABD中,AB = 17,AD = 8,
∴ BD = $\sqrt{AB^2 - AD^2}$ = $\sqrt{17^2 - 8^2}$ = 15. 在Rt△ACD中,AC = 10,AD = 8,
∴ CD = $\sqrt{AC^2 - AD^2}$ = $\sqrt{10^2 - 8^2}$ = 6,
∴ BC = BD + CD = 15 + 6 = 21. 当高AD在△ABC外部时,
同理可得BD = 15,CD = 6,∴ BC = BD - CD = 15 - 6 = 9. 综上所述,BC的长是21或9.
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形的高的位置不确定，可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论，避免漏解。两种情况中，高AD都能和AB、AC分别构成直角三角形，我们可以利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再根据高的位置对BD和CD求和或者作差，即可得到BC的长度。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$。
在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
此时$BC=BD+CD=15+6=21$。
② 当高AD在△ABC外部时，
同理可求得BD=15，CD=6，
此时$BC=BD-CD=15-6=9$。
综上所述，BC的长为9或21。
【答案】D
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，三角形的高
【点评】
本题重点考查勾股定理的应用，解题时要注意三角形的高的位置有两种可能，切勿只考虑高在三角形内部的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确三角形的高的位置不确定，可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论，避免漏解。两种情况中，高AD都能和AB、AC分别构成直角三角形，我们可以利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再根据高的位置对BD和CD求和或者作差，即可得到BC的长度。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$。
在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
此时$BC=BD+CD=15+6=21$。
② 当高AD在△ABC外部时，
同理可求得BD=15，CD=6，
此时$BC=BD-CD=15-6=9$。
综上所述，BC的长为9或21。
【答案】D
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，三角形的高
【点评】
本题重点考查勾股定理的应用，解题时要注意三角形的高的位置有两种可能，切勿只考虑高在三角形内部的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
4. $△ ABC$ 的三边长分别是 $a,b,c$，且满足 $|a - 8| + (b - 6)^2 = 0$，则当 $c^2 = \_\_\_\_\_\_$ 时，$△ ABC$ 是直角三角形。
答案
4 100或28 根据题意,得a - 8 = 0,b - 6 = 0,解得a = 8,b = 6.
∵ △ABC是直角三角形,
∴ c² = a² + b² = 8² + 6² = 100或c² = a² - b² = 8² - 6² = 28. 综上,c² = 100或28.
∵ △ABC是直角三角形,
∴ c² = a² + b² = 8² + 6² = 100或c² = a² - b² = 8² - 6² = 28. 综上,c² = 100或28.
解析
【分析】
首先，根据非负数的性质，绝对值和平方数都是非负的，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可先求出a、b的值。其次，题干仅说明△ABC是直角三角形，未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：一是c为斜边，二是长度更长的a为斜边（b比a短，不可能作为斜边），再分别结合勾股定理计算c²的值即可。
【解析】
解：
∵ |a-8|≥0，(b-6)²≥0，且|a - 8| + (b - 6)² = 0
∴ a-8=0，b-6=0，解得a=8，b=6
∵ △ABC是直角三角形，分两种情况讨论：
① 当c为斜边长时，由勾股定理得：
c² = a² + b² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
② 当a为斜边长时，c为直角边长，由勾股定理得：
c² = a² - b² = 8² - 6² = 64 - 36 = 28
综上，c²的值为100或28。
【答案】
100或28
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是先根据非负数的性质求出两条已知边的长度，再应用勾股定理求解，需特别注意当题干未明确直角三角形的斜边时，要结合边长大小分情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先，根据非负数的性质，绝对值和平方数都是非负的，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可先求出a、b的值。其次，题干仅说明△ABC是直角三角形，未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：一是c为斜边，二是长度更长的a为斜边（b比a短，不可能作为斜边），再分别结合勾股定理计算c²的值即可。
【解析】
解：
∵ |a-8|≥0，(b-6)²≥0，且|a - 8| + (b - 6)² = 0
∴ a-8=0，b-6=0，解得a=8，b=6
∵ △ABC是直角三角形，分两种情况讨论：
① 当c为斜边长时，由勾股定理得：
c² = a² + b² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
② 当a为斜边长时，c为直角边长，由勾股定理得：
c² = a² - b² = 8² - 6² = 64 - 36 = 28
综上，c²的值为100或28。
【答案】
100或28
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是先根据非负数的性质求出两条已知边的长度，再应用勾股定理求解，需特别注意当题干未明确直角三角形的斜边时，要结合边长大小分情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
5. [2025常州溧阳期中]等腰三角形的两条边长分别为10和16,那么该等腰三角形底边上的高为
6或$\sqrt{231}$
.答案
5 6或$\sqrt{231}$ 当等腰三角形ABC的腰AB = AC = 10,底边BC = 16时,
过点A作AD ⊥ BC于点D,则∠ADB = 90°,BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×16 = 8. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{10^2 - 8^2}$ = 6,即底边上的高为6. 当等腰三角形ABC的腰AB = AC = 16,底边BC = 10时,
过点A作AD ⊥ BC于点D,则∠ADB = 90°,BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 5. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{16^2 - 5^2}$ = $\sqrt{231}$,即底边上的高为$\sqrt{231}$. 综上所述,该等腰三角形底边上的高为6或$\sqrt{231}$.解析
【分析】
解题时首先明确题目未指明10和16哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论：①腰长为10，底边长为16；②腰长为16，底边长为10。首先验证两种情况均满足三角形三边关系，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到底边上的高平分底边，最后在直角三角形中用勾股定理计算高的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长$AB=AC=10$，底边长$BC=16$时：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 16=8$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=6$，即此时底边上的高为6。
2. 当等腰三角形的腰长$AB=AC=16$，底边长$BC=10$时：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{16^2 - 5^2}=\sqrt{256-25}=\sqrt{231}$，即此时底边上的高为$\sqrt{231}$。
综上所述，该等腰三角形底边上的高为6或$\sqrt{231}$。
【答案】
6或$\sqrt{231}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略未明确腰和底边的等腰三角形需要分类讨论，解题时要先分情况确定边长，再结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解，同时要注意验证每种情况的边长是否能构成三角形，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目未指明10和16哪个是腰长、哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论：①腰长为10，底边长为16；②腰长为16，底边长为10。首先验证两种情况均满足三角形三边关系，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到底边上的高平分底边，最后在直角三角形中用勾股定理计算高的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长$AB=AC=10$，底边长$BC=16$时：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 16=8$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=6$，即此时底边上的高为6。
2. 当等腰三角形的腰长$AB=AC=16$，底边长$BC=10$时：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{16^2 - 5^2}=\sqrt{256-25}=\sqrt{231}$，即此时底边上的高为$\sqrt{231}$。
综上所述，该等腰三角形底边上的高为6或$\sqrt{231}$。
【答案】
6或$\sqrt{231}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略未明确腰和底边的等腰三角形需要分类讨论，解题时要先分情况确定边长，再结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解，同时要注意验证每种情况的边长是否能构成三角形，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7
拍批+错题本
6.一块直角三角形绿地ABC如图所示，∠C=90°，两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m。现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为6 m的直角边，求扩充后等腰三角形绿地的面积。
6.一块直角三角形绿地ABC如图所示，∠C=90°，两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m。现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为6 m的直角边，求扩充后等腰三角形绿地的面积。
答案
6 解:
∵ AC = 8 m,BC = 6 m,∠C = 90°,
∴ AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$ = 10 m.
①
延长CB到点D,使CD = AC = 8 m,连接AD.∵ ∠C = 90°,
∴ 此时等腰三角形绿地的面积为$\frac{1}{2}$×8×8 = 32(m²).
②
延长BC到点D,使CD = BC = 6 m,连接AD. 易证AD = AB,此时等腰三角形绿地的面积为$\frac{1}{2}$×12×8 = 48(m²).
③
延长BC到点D,使BD = BA = 10 m,连接AD,此时等腰三角形绿地的面积为$\frac{1}{2}$×10×8 = 40(m²).
④
延长BC到点D,使AD = BD,连接AD.设CD = x m,则AD = BD = (x + 6)m.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得x² + 8² = (x + 6)²,解得x = $\frac{7}{3}$,则BD = x + 6 = $\frac{25}{3}$,
此时等腰三角形绿地的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×8 = $\frac{100}{3}$(m²).
综上所述,扩充后等腰三角形绿地的面积为32 m²或48 m²或40 m²或$\frac{100}{3}$ m².
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出原直角三角形斜边AB的长度。题目要求仅延长长度为6m的直角边BC，将三角形扩充为等腰三角形，需根据等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论：①以AC为腰，取CD=AC；②以AB为腰，取AD=AB（此时CD=BC）；③以AB为腰，取BD=AB；④以AD、BD为腰，取AD=BD。每种情况先求出扩充后三角形底边的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{m}$，$BC=6\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{m}$。
分以下四种情况讨论：
①延长$CB$到点$D$，使$CD=AC=8\ \mathrm{m}$，连接$AD$。
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{m}^2)$。
②延长$BC$到点$D$，使$CD=BC=6\ \mathrm{m}$，连接$AD$，易证$AD=AB$。
此时$BD=6+6=12\ \mathrm{m}$，等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×12×8=48(\mathrm{m}^2)$。
③延长$BC$到点$D$，使$BD=BA=10\ \mathrm{m}$，连接$AD$。
此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×10×8=40(\mathrm{m}^2)$。
④延长$BC$到点$D$，使$AD=BD$，连接$AD$。
设$CD=x\ \mathrm{m}$，则$AD=BD=(x+6)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得$x^2+8^2=(x+6)^2$，
解得$x=\frac{7}{3}$，则$BD=x+6=\frac{25}{3}\ \mathrm{m}$，
此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
扩充后等腰三角形绿地的面积为$32\ \mathrm{m}^2$或$48\ \mathrm{m}^2$或$40\ \mathrm{m}^2$或$\frac{100}{3}\ \mathrm{m}^2$。
对应情况配图：①②③④
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于几何分类讨论类题型，解题关键是结合等腰三角形的边的特征梳理所有可能的扩充情况，避免漏解，计算过程中结合勾股定理求解未知边长即可得到对应面积。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出原直角三角形斜边AB的长度。题目要求仅延长长度为6m的直角边BC，将三角形扩充为等腰三角形，需根据等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论：①以AC为腰，取CD=AC；②以AB为腰，取AD=AB（此时CD=BC）；③以AB为腰，取BD=AB；④以AD、BD为腰，取AD=BD。每种情况先求出扩充后三角形底边的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{m}$，$BC=6\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{m}$。
分以下四种情况讨论：
①
延长$CB$到点$D$，使$CD=AC=8\ \mathrm{m}$，连接$AD$。$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{m}^2)$。
②
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC=6\ \mathrm{m}$，连接$AD$，易证$AD=AB$。此时$BD=6+6=12\ \mathrm{m}$，等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×12×8=48(\mathrm{m}^2)$。
③
延长$BC$到点$D$，使$BD=BA=10\ \mathrm{m}$，连接$AD$。此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×10×8=40(\mathrm{m}^2)$。
④
延长$BC$到点$D$，使$AD=BD$，连接$AD$。设$CD=x\ \mathrm{m}$，则$AD=BD=(x+6)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得$x^2+8^2=(x+6)^2$，
解得$x=\frac{7}{3}$，则$BD=x+6=\frac{25}{3}\ \mathrm{m}$，
此时等腰三角形绿地的面积为 $\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
扩充后等腰三角形绿地的面积为$32\ \mathrm{m}^2$或$48\ \mathrm{m}^2$或$40\ \mathrm{m}^2$或$\frac{100}{3}\ \mathrm{m}^2$。
对应情况配图：①
②③④【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于几何分类讨论类题型，解题关键是结合等腰三角形的边的特征梳理所有可能的扩充情况，避免漏解，计算过程中结合勾股定理求解未知边长即可得到对应面积。
【难度系数】
0.6
7. [2026 扬州邗江区期中] 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AB=5 cm, AC=3 cm, 动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度运动,设运动时间为 t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
答案
7 解:(1)
∵ ∠ACB = 90°,AB = 5 cm,AC = 3 cm,
∴ BC = $\sqrt{AB^2 - AC^2}$ = 4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,此时BP = BC = 4 cm,
∴ t = 4.
②当∠BAP为直角时,BP = t cm,CP = (t - 4)cm,AC = 3 cm.
在Rt△ACP中,AP² = AC² + CP² = 3² + (t - 4)²,
在Rt△BAP中,AB² + AP² = BP²,
∴ 5² + [3² + (t - 4)²] = t²,解得t = $\frac{25}{4}$.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t的值为4或$\frac{25}{4}$.
(2)①当BP = BA = 5 cm时,t = 5.
②当AB = AP时,BP = 2BC = 8 cm,
∴ t = 8.
③当PB = PA时,PB = PA = t cm,CP = (4 - t)cm,
在Rt△ACP中,AP² = AC² + CP²,
∴ t² = 3² + (4 - t)²,解得t = $\frac{25}{8}$.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t的值为5或8或$\frac{25}{8}$.
∵ ∠ACB = 90°,AB = 5 cm,AC = 3 cm,
∴ BC = $\sqrt{AB^2 - AC^2}$ = 4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,此时BP = BC = 4 cm,
∴ t = 4.
②当∠BAP为直角时,BP = t cm,CP = (t - 4)cm,AC = 3 cm.
在Rt△ACP中,AP² = AC² + CP² = 3² + (t - 4)²,
在Rt△BAP中,AB² + AP² = BP²,
∴ 5² + [3² + (t - 4)²] = t²,解得t = $\frac{25}{4}$.
综上所述,当△ABP为直角三角形时,t的值为4或$\frac{25}{4}$.
(2)①当BP = BA = 5 cm时,t = 5.
②当AB = AP时,BP = 2BC = 8 cm,
∴ t = 8.
③当PB = PA时,PB = PA = t cm,CP = (4 - t)cm,
在Rt△ACP中,AP² = AC² + CP²,
∴ t² = 3² + (4 - t)²,解得t = $\frac{25}{8}$.
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t的值为5或8或$\frac{25}{8}$.
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出BC的长度，作为后续计算的基础。
(1) 当△ABP为直角三角形时，需分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时P与C重合，可直接得到BP长度；②直角顶点为A，分别在Rt△ACP和Rt△BAP中用勾股定理表示AP²，再结合直角三角形三边关系列方程求解t。
(2) 当△ABP为等腰三角形时，需分三种情况讨论三边相等的情况：①BP=BA，直接得到t值；②AB=AP，此时AC垂直平分BP，可得BP=2BC；③PB=PA，用含t的式子表示CP，在Rt△ACP中用勾股定理列方程求解t，所有情况均要结合P在射线BC上的运动范围判断合理性。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
(1) 分两种情况讨论：
① 当∠APB为直角时，点P与点C重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
∵ 点P运动速度为1cm/s，
∴ $t=4÷1=4$。
② 当∠BAP为直角时，设$BP=t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2=3^2+(t-4)^2$，
在Rt△BAP中，由勾股定理得：$AB^2+AP^2=BP^2$，
代入得：$5^2+[3^2+(t-4)^2]=t^2$，
展开化简得：$50-8t=0$，解得$t=\frac{25}{4}$。
综上，t的值为4或$\frac{25}{4}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$BP=BA=5\ \mathrm{cm}$时，$t=5÷1=5$。
② 当$AB=AP$时，
∵ $AC⊥ BC$，
∴ AC是等腰△ABP底边BP的高，即$BC=CP$，
∴ $BP=2BC=8\ \mathrm{cm}$，$t=8÷1=8$。
③ 当$PB=PA$时，设$PB=PA=t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(4-t)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2$，
代入得：$t^2=3^2+(4-t)^2$，
展开化简得：$8t=25$，解得$t=\frac{25}{8}$。
综上，t的值为5或8或$\frac{25}{8}$。
【答案】
(1) $t=4$或$t=\frac{25}{4}$；
(2) $t=5$或$t=8$或$t=\frac{25}{8}$。
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合动点问题的典型题型，核心是根据直角、等腰三角形的顶点特征分类讨论，避免漏解，同时考查运用勾股定理建立方程求解的能力，对逻辑严谨性要求较高。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出BC的长度，作为后续计算的基础。
(1) 当△ABP为直角三角形时，需分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时P与C重合，可直接得到BP长度；②直角顶点为A，分别在Rt△ACP和Rt△BAP中用勾股定理表示AP²，再结合直角三角形三边关系列方程求解t。
(2) 当△ABP为等腰三角形时，需分三种情况讨论三边相等的情况：①BP=BA，直接得到t值；②AB=AP，此时AC垂直平分BP，可得BP=2BC；③PB=PA，用含t的式子表示CP，在Rt△ACP中用勾股定理列方程求解t，所有情况均要结合P在射线BC上的运动范围判断合理性。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
(1) 分两种情况讨论：
① 当∠APB为直角时，点P与点C重合，此时$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$，
∵ 点P运动速度为1cm/s，
∴ $t=4÷1=4$。
② 当∠BAP为直角时，设$BP=t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(t-4)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2=3^2+(t-4)^2$，
在Rt△BAP中，由勾股定理得：$AB^2+AP^2=BP^2$，
代入得：$5^2+[3^2+(t-4)^2]=t^2$，
展开化简得：$50-8t=0$，解得$t=\frac{25}{4}$。
综上，t的值为4或$\frac{25}{4}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$BP=BA=5\ \mathrm{cm}$时，$t=5÷1=5$。
② 当$AB=AP$时，
∵ $AC⊥ BC$，
∴ AC是等腰△ABP底边BP的高，即$BC=CP$，
∴ $BP=2BC=8\ \mathrm{cm}$，$t=8÷1=8$。
③ 当$PB=PA$时，设$PB=PA=t\ \mathrm{cm}$，则$CP=(4-t)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：$AP^2=AC^2+CP^2$，
代入得：$t^2=3^2+(4-t)^2$，
展开化简得：$8t=25$，解得$t=\frac{25}{8}$。
综上，t的值为5或8或$\frac{25}{8}$。
【答案】
(1) $t=4$或$t=\frac{25}{4}$；
(2) $t=5$或$t=8$或$t=\frac{25}{8}$。
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合动点问题的典型题型，核心是根据直角、等腰三角形的顶点特征分类讨论，避免漏解，同时考查运用勾股定理建立方程求解的能力，对逻辑严谨性要求较高。
【难度系数】
0.6
