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10. [2025南京鼓楼区期中]如图,在5×5的正方形网格中,已知线段a,b和点P,且线段的端点和点P都在格点上,在网格中找一格点Q,使线段a,b,PQ恰好能构成直角三角形,则满足条件的格点Q有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
设小正方形的边长为 1, 由勾股定理, 得 $a^2 = 2^2 + 4^2 = 20$,$b^2 = 1^2 + 2^2 = 5$,$\therefore a ＞ b$. 当 $a$ 为直角三角形的斜边时,由勾股定理,得 $PQ^2 = a^2 - b^2 = 20 - 5 = 15$. $\because 1^2 + 2^2 ＜ 15$,$1^2 + 3^2 ＜ 15$,$1^2 + 4^2 ＞ 15$,$2^2 + 2^2 ＜ 15$,$2^2 + 3^2 ＜ 15$,$2^2 + 4^2 ＞ 15$,$3^2 + 3^2 ＞ 15$,$\therefore$ 此时不存在格点 $Q$. 当 $a$ 为直角三角形的直角边时,由勾股定理,得 $PQ^2 = a^2 + b^2 = 20 + 5 = 25$,$\therefore PQ = 5$, 据此可确定格点 $Q$ 的位置有 4 个(如图,其中 $Q_3,Q_4$ 是两直角边长分别为 3,4 的直角三角形的顶点).
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先利用勾股定理计算出线段a、b的长度的平方，再结合直角三角形斜边最长的性质，分两种情况讨论：①a为斜边；②a为直角边（因为a＞b，所以b不可能作为斜边）。分别计算两种情况下PQ需要满足的长度平方，再结合网格特点，判断是否存在对应的格点Q，最后统计符合条件的Q的个数即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
$a^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，$b^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，因此$a＞b$，故b不可能为直角三角形的斜边。
分两种情况讨论：
1. 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理得：$PQ^2 = a^2 - b^2 = 20 - 5 = 15$。
由于格点之间的横、纵坐标差均为整数，验证可知任意两个整数的平方和均不等于15，因此这种情况不存在符合条件的格点Q。
2. 当a为直角三角形的直角边时，此时PQ为斜边，根据勾股定理得：$PQ^2 = a^2 + b^2 = 20 + 5 = 25$，即$PQ=5$。
在网格中，到点P的距离为5的格点Q共有4个，如图所示。
综上，满足条件的格点Q有4个。
【答案】C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；网格线段计算
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是结合直角三角形的性质分类讨论斜边的情况，再结合网格特征判断符合条件的点的个数，注意不要漏算或多算符合条件的格点。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们首先利用勾股定理计算出线段a、b的长度的平方，再结合直角三角形斜边最长的性质，分两种情况讨论：①a为斜边；②a为直角边（因为a＞b，所以b不可能作为斜边）。分别计算两种情况下PQ需要满足的长度平方，再结合网格特点，判断是否存在对应的格点Q，最后统计符合条件的Q的个数即可。
【解析】
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
$a^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，$b^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，因此$a＞b$，故b不可能为直角三角形的斜边。
分两种情况讨论：
1. 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理得：$PQ^2 = a^2 - b^2 = 20 - 5 = 15$。
由于格点之间的横、纵坐标差均为整数，验证可知任意两个整数的平方和均不等于15，因此这种情况不存在符合条件的格点Q。
2. 当a为直角三角形的直角边时，此时PQ为斜边，根据勾股定理得：$PQ^2 = a^2 + b^2 = 20 + 5 = 25$，即$PQ=5$。
在网格中，到点P的距离为5的格点Q共有4个，如图所示。
综上，满足条件的格点Q有4个。
【答案】C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；网格线段计算
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是结合直角三角形的性质分类讨论斜边的情况，再结合网格特征判断符合条件的点的个数，注意不要漏算或多算符合条件的格点。
【难度系数】
0.6
11. 新情境 [2026连云港东海期中] 小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第
18
个结，拉紧绳子后才会得到一个以第6个结为直角顶点的直角三角形。答案
$\because$ 小淇拉住第 6 个结,$\therefore$ 小淇和小惠之间有 5 个单位的长度,有勾股数 5,12,13,且恰好满足 $5 + 12 + 13 = 30$,$\therefore$ 小婷与小淇之间有 12 个单位的长度或 13 个单位的长度.$\because$ 是以第 6 个结为直角顶点的直角三角形,$\therefore 6 + 12 = 18$, 即小婷同学再拉住第 18 个结,才会得到一个以第 6 个结为直角顶点的直角三角形.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：31个等距结将绳子分为30等份，总绳长对应30个单位长度，要求围成以第6个结为直角顶点的直角三角形，直角顶点相邻的两条边为直角边。第一步先计算已知直角边的长度：第1个结和第31个结重合，第1到第6个结之间共5段，长度为5个单位；第二步设另一条直角边长度为a，斜边长度为总长度减去两条直角边的和，即25-a；第三步根据勾股定理逆定理列方程求解a，再结合a的长度计算对应结点位置即可，也可直接利用和为30的勾股数简化计算。
【解析】
解：
∵31个等距离的结把绳子分成等长的30段，
∴绳子总长度对应30个单位长度，每段长为1个单位。
∵小惠同时握住第1个结和第31个结（二者重合），小淇拉住第6个结，且第6个结为直角顶点，
∴第1个结到第6个结的长度为$6-1=5$个单位，是其中一条直角边。
设另一条直角边长为$a$个单位，则斜边长为$30-5-a=25-a$个单位，
根据勾股定理的逆定理，直角边平方和等于斜边平方，可得：
$5^2+a^2=(25-a)^2$
展开得：$25+a^2=625-50a+a^2$
化简得：$50a=600$，解得$a=12$
∴小婷拉住的结点位置为$6+12=18$
（若$a=13$，则13为斜边，不符合第6个结为直角顶点的要求，故舍去）
【答案】
$18$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数的应用
【点评】
本题结合生活操作情境考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是明确直角顶点相邻的两条边为直角边，再结合总周长通过列方程或勾股数快速求解，能锻炼学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：31个等距结将绳子分为30等份，总绳长对应30个单位长度，要求围成以第6个结为直角顶点的直角三角形，直角顶点相邻的两条边为直角边。第一步先计算已知直角边的长度：第1个结和第31个结重合，第1到第6个结之间共5段，长度为5个单位；第二步设另一条直角边长度为a，斜边长度为总长度减去两条直角边的和，即25-a；第三步根据勾股定理逆定理列方程求解a，再结合a的长度计算对应结点位置即可，也可直接利用和为30的勾股数简化计算。
【解析】
解：
∵31个等距离的结把绳子分成等长的30段，
∴绳子总长度对应30个单位长度，每段长为1个单位。
∵小惠同时握住第1个结和第31个结（二者重合），小淇拉住第6个结，且第6个结为直角顶点，
∴第1个结到第6个结的长度为$6-1=5$个单位，是其中一条直角边。
设另一条直角边长为$a$个单位，则斜边长为$30-5-a=25-a$个单位，
根据勾股定理的逆定理，直角边平方和等于斜边平方，可得：
$5^2+a^2=(25-a)^2$
展开得：$25+a^2=625-50a+a^2$
化简得：$50a=600$，解得$a=12$
∴小婷拉住的结点位置为$6+12=18$
（若$a=13$，则13为斜边，不符合第6个结为直角顶点的要求，故舍去）
【答案】
$18$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数的应用
【点评】
本题结合生活操作情境考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是明确直角顶点相邻的两条边为直角边，再结合总周长通过列方程或勾股数快速求解，能锻炼学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
12. [2026南京金陵中学仙林分校月考]如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD + ∠CBE的度数为
45°
。答案
如图,作 $∠ EBF = ∠ ABD$, 交格点于点 $F$, 连接 $CF$.
设小正方形的边长为 1. $\because BC^2 = CF^2 = 2^2 + 1^2 = 5$,$BF^2 = 3^2 + 1^2 = 10$,$\therefore BC^2 + CF^2 = BF^2$,$\therefore △ BCF$ 是等腰直角三角形,且 $∠ BCF = 90°$,$\therefore ∠ CBF = 45°$, 即 $∠ EBF + ∠ CBE = 45°$,$\therefore ∠ ABD + ∠ CBE = 45°$.
解析
【分析】
要计算∠ABD与∠CBE的和，直接分别求两个角的度数难度较大，因此可以通过构造等角的方法，将两个角的和转化为单个可求的角。我们先作∠EBF=∠ABD，把两角和转化为∠CBF，再利用勾股定理计算△BCF各边的长度，借助勾股定理的逆定理判断△BCF的形状，即可得到∠CBF的度数，也就是两个角的和。
【解析】
如图,作 $∠ EBF = ∠ ABD$, 交格点于点 $F$, 连接 $CF$.
设小正方形的边长为 1。
由勾股定理得：$BC^2 = CF^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，$BF^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
$\therefore BC^2 + CF^2 = 5+5=10=BF^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCF$ 是直角三角形，且 $∠ BCF = 90°$，
又$\because BC=CF$，
$\therefore △ BCF$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CBF = 45°$, 即 $∠ EBF + ∠ CBE = 45°$，
$\because ∠EBF=∠ABD$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ CBE = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，角度等量代换
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，解题关键是通过构造等角将分散的角度和转化为单个角，再结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状求解，很好地考查了数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算∠ABD与∠CBE的和，直接分别求两个角的度数难度较大，因此可以通过构造等角的方法，将两个角的和转化为单个可求的角。我们先作∠EBF=∠ABD，把两角和转化为∠CBF，再利用勾股定理计算△BCF各边的长度，借助勾股定理的逆定理判断△BCF的形状，即可得到∠CBF的度数，也就是两个角的和。
【解析】
如图,作 $∠ EBF = ∠ ABD$, 交格点于点 $F$, 连接 $CF$.
设小正方形的边长为 1。
由勾股定理得：$BC^2 = CF^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，$BF^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
$\therefore BC^2 + CF^2 = 5+5=10=BF^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCF$ 是直角三角形，且 $∠ BCF = 90°$，
又$\because BC=CF$，
$\therefore △ BCF$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CBF = 45°$, 即 $∠ EBF + ∠ CBE = 45°$，
$\because ∠EBF=∠ABD$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ CBE = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，角度等量代换
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，解题关键是通过构造等角将分散的角度和转化为单个角，再结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状求解，很好地考查了数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
13. [2026南京鼓楼区期末]已知直角三角形的三边长分别是$a,b,c$,其中$c$为斜边.
(1)判断长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能否组成一个直角三角形,并说明理由;
(2)小明为了证明“长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.”是真命题,给出了部分证明过程如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$,即….
(1)判断长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能否组成一个直角三角形,并说明理由;
(2)小明为了证明“长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成一个直角三角形.”是真命题,给出了部分证明过程如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形,则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$,即….
答案
解:$\because a,b,c$ 分别是直角三角形的三边长,且 $c$ 是斜边,$\therefore a^2 + b^2 = c^2$.
(1)能. 理由如下:
$\because a^2 + b^2 = c^2$,$\therefore 9a^2 + 9b^2 = 9c^2$,
即 $(3a)^2 + (3b)^2 = (3c)^2$,
$\therefore$ 长分别为 $3a,3b,3c$ 的三条线段能组成一个直角三角形.
(2)假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$, 即 $a^4 + b^4 = c^4$.
又$\because a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^4$.
$\because a ＞ 0,b ＞ 0$,$\therefore 2a^2b^2 ＞ 0$,
$\therefore a^4 + b^4 ＜ a^4 + 2a^2b^2 + b^4$, 即 $a^4 + b^4 ＜ c^4$,
这与假设的 $a^4 + b^4 = c^4$ 矛盾,
$\therefore$ 长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形.
(1)能. 理由如下:
$\because a^2 + b^2 = c^2$,$\therefore 9a^2 + 9b^2 = 9c^2$,
即 $(3a)^2 + (3b)^2 = (3c)^2$,
$\therefore$ 长分别为 $3a,3b,3c$ 的三条线段能组成一个直角三角形.
(2)假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$, 即 $a^4 + b^4 = c^4$.
又$\because a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^4$.
$\because a ＞ 0,b ＞ 0$,$\therefore 2a^2b^2 ＞ 0$,
$\therefore a^4 + b^4 ＜ a^4 + 2a^2b^2 + b^4$, 即 $a^4 + b^4 ＜ c^4$,
这与假设的 $a^4 + b^4 = c^4$ 矛盾,
$\therefore$ 长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形.
解析
【分析】
本题需结合勾股定理、勾股定理的逆定理以及反证法的思路求解。第(1)问判断三条线段能否构成直角三角形，核心是验证三条线段是否满足“两条较短线段的平方和等于最长线段的平方”，可结合原直角三角形的勾股定理关系变形推导。第(2)问是反证法的应用，先假设命题结论不成立，再结合原勾股定理等式变形，推导出与假设矛盾的结果，即可证明原命题成立。
【解析】
已知$a,b,c$是直角三角形的三边长，$c$为斜边，由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1)能组成直角三角形，理由如下：
$\because a^2 + b^2 = c^2$，
等式两边同时乘9，得$9a^2 + 9b^2 = 9c^2$，
即$(3a)^2 + (3b)^2 = (3c)^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能组成直角三角形。
(2)假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形，且$c^2$为最长边，则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$，即$a^4 + b^4 = c^4$。
又$\because a^2 + b^2 = c^2$，将等式两边同时平方得：
$(a^2 + b^2)^2 = c^4$，
展开左边得$a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^4$。
$\because a＞0,b＞0$，$\therefore 2a^2b^2＞0$，
$\therefore a^4 + b^4 ＜ a^4 + 2a^2b^2 + b^4$，即$a^4 + b^4 ＜ c^4$，
这与假设的$a^4 + b^4 = c^4$矛盾，因此假设不成立，
故长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成直角三角形。
【答案】
(1)能组成直角三角形；(2)长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，反证法
【点评】
本题侧重考查勾股定理及其逆定理的灵活运用，同时渗透反证法的证明逻辑，解题时需注意结合已知等式合理变形推导，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题需结合勾股定理、勾股定理的逆定理以及反证法的思路求解。第(1)问判断三条线段能否构成直角三角形，核心是验证三条线段是否满足“两条较短线段的平方和等于最长线段的平方”，可结合原直角三角形的勾股定理关系变形推导。第(2)问是反证法的应用，先假设命题结论不成立，再结合原勾股定理等式变形，推导出与假设矛盾的结果，即可证明原命题成立。
【解析】
已知$a,b,c$是直角三角形的三边长，$c$为斜边，由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1)能组成直角三角形，理由如下：
$\because a^2 + b^2 = c^2$，
等式两边同时乘9，得$9a^2 + 9b^2 = 9c^2$，
即$(3a)^2 + (3b)^2 = (3c)^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知长分别为$3a,3b,3c$的三条线段能组成直角三角形。
(2)假设长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段能组成直角三角形，且$c^2$为最长边，则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = (c^2)^2$，即$a^4 + b^4 = c^4$。
又$\because a^2 + b^2 = c^2$，将等式两边同时平方得：
$(a^2 + b^2)^2 = c^4$，
展开左边得$a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^4$。
$\because a＞0,b＞0$，$\therefore 2a^2b^2＞0$，
$\therefore a^4 + b^4 ＜ a^4 + 2a^2b^2 + b^4$，即$a^4 + b^4 ＜ c^4$，
这与假设的$a^4 + b^4 = c^4$矛盾，因此假设不成立，
故长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成直角三角形。
【答案】
(1)能组成直角三角形；(2)长分别为$a^2,b^2,c^2$的三条线段不能组成直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，反证法
【点评】
本题侧重考查勾股定理及其逆定理的灵活运用，同时渗透反证法的证明逻辑，解题时需注意结合已知等式合理变形推导，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
14. 应用意识【概念认识】
定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形,那么称这个点为另外两个点的“勾股点”.当这个点是直角的顶点时,这个点又称为“强勾股点”.
如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,A是B,C两点的“勾股点”,B是A,C两点的“勾股点”,C是A,B两点的“勾股点”,也是“强勾股点”.
【概念运用】
(1)如图2,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,A,B两点均在格点上,线段CD上的8个格点中,是A,B两点的“勾股点”的有
(2)如图3,在$△ ABC$中,$CD⊥ AB$,垂足为D.若$AD=1$,$BD=4$,$CD=2$,求证:C是A,B两点的“强勾股点”.
【拓展提升】
(3)如图4,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=4$,D是AC的中点,P是射线BD上一个动点,当P是$Rt△ ABC$其中两个顶点的“强勾股点”时,直接写出BP的长.
定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形,那么称这个点为另外两个点的“勾股点”.当这个点是直角的顶点时,这个点又称为“强勾股点”.
如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,A是B,C两点的“勾股点”,B是A,C两点的“勾股点”,C是A,B两点的“勾股点”,也是“强勾股点”.
【概念运用】
(1)如图2,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,A,B两点均在格点上,线段CD上的8个格点中,是A,B两点的“勾股点”的有
4
个.(2)如图3,在$△ ABC$中,$CD⊥ AB$,垂足为D.若$AD=1$,$BD=4$,$CD=2$,求证:C是A,B两点的“强勾股点”.
【拓展提升】
(3)如图4,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=4$,D是AC的中点,P是射线BD上一个动点,当P是$Rt△ ABC$其中两个顶点的“强勾股点”时,直接写出BP的长.
答案
(1)解:4
如图,G,H,T,R 四点分别与 A,B 两点能构成四个直角三角形,$\therefore$ 线段 CD 上的格点中是 A,B 两点的“勾股点”的有 4 个.
(2)证明:$\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ CDA = ∠ CDB = 90°$.
在 $Rt△ ACD$ 中,由勾股定理,得 $AD^2 + DC^2 = AC^2$,$\therefore AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.
在 $Rt△ BCD$ 中,由勾股定理,得 $CD^2 + BD^2 = BC^2$,$\therefore BC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
在 $△ ACB$ 中,$AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$.
又$\because AB = AD + BD = 5$,$\therefore AB^2 = 5^2 = 25$,$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,$\therefore △ ACB$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore C$ 是 A,B 两点的“强勾股点”.
(3)解:$BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore PD = CD = \frac{1}{2}AC = 3$.
$\because BC = 4$,$\therefore BD^2 = BC^2 + CD^2 = 25$,$\therefore BD = 5$,$\therefore BP = BD - PD = 5 - 3 = 2$.
若 $P$ 是 $B,C$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ BPC = 90°$.
$\because S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2}BD · CP$,$\therefore CP = \frac{BC · CD}{BD} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5}$,$\therefore BP^2 = BC^2 - CP^2 = 4^2 - (\frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25}$,$\therefore BP = \frac{16}{5}$.
若 $P$ 是 $A,B$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ APB = 90°$.
$\because BC = 4,AC = 6$,$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2 = 52$.
设 $DP = x$, 则 $BP = 5 + x$.
$\because ∠ APB = 90°$,$\therefore AD^2 - DP^2 = AB^2 - BP^2$, 即 $3^2 - x^2 = 52 - (5 + x)^2$,$\therefore x = \frac{9}{5}$, 即 $DP = \frac{9}{5}$,$\therefore BP = 5 + \frac{9}{5} = \frac{34}{5}$.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的外部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore DP = AD = CD = 3$,$\therefore BP = BD + DP = 5 + 3 = 8$.
综上所述,$BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确“勾股点”的定义：若某点与A、B两点可构成直角三角形，则该点为A、B的勾股点。我们可以逐一计算CD上各格点与A、B连线构成三角形的三边长，借助勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，统计符合条件的点的个数即可。
(2) 第二问要证明C是A、B的“强勾股点”，根据定义需证明C为△ABC的直角顶点，即∠ACB=90°。我们可以先通过勾股定理分别求出AC²、BC²、AB²，再验证AC²+BC²是否等于AB²，若相等则可由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，得到结论。
(3) 第三问中“强勾股点”说明P为直角顶点，因此分三类情况讨论：①P是A、C两点的强勾股点（含P在△ABC内部、外部两种子情况）；②P是B、C两点的强勾股点；③P是A、B两点的强勾股点。每种情况结合直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等面积法计算BP长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对CD上的格点逐一验证，结合勾股定理逆定理判断，可得G、H、T、R四个点均能与A、B构成直角三角形，因此符合条件的勾股点共4个。
(2) 证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2=1^2+2^2=5$
在Rt△BCD中，由勾股定理得$BC^2=CD^2+BD^2=2^2+4^2=20$
∵ $AB=AD+BD=1+4=5$，
∴ $AB^2=5^2=25$
∴ $AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°，即C是A、B两点的强勾股点。
(3) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC中点，AC=6，
∴ $AD=CD=3$
在Rt△BCD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，分情况讨论：
① 若P是A、C两点的强勾股点，且P在△ABC内部，此时∠APC=90°。
∵ D是AC中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $PD=CD=3$
∴ $BP=BD-PD=5-3=2$
② 若P是B、C两点的强勾股点，此时∠BPC=90°。
由△BCD面积相等得：$S_{△BCD}=\frac{1}{2}·BC·CD=\frac{1}{2}·BD·CP$，代入数据得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CP$，解得$CP=\frac{12}{5}$
在Rt△BCP中，由勾股定理得$BP=\sqrt{BC^2-CP^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$
③ 若P是A、B两点的强勾股点，此时∠APB=90°。
设$DP=x$，则$BP=5+x$，在Rt△APD中$AP^2=AD^2-DP^2=9-x^2$；在Rt△ABP中$AB^2=6^2+4^2=52$，$AP^2=AB^2-BP^2=52-(5+x)^2$
∴ $9-x^2=52-(5+x)^2$，解得$x=\frac{9}{5}$，
∴ $BP=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$
④ 若P是A、C两点的强勾股点，且P在△ABC外部，此时∠APC=90°。
同理可得$PD=CD=3$，
∴ $BP=BD+PD=5+3=8$
综上，BP的长为2或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或8。
【答案】
(1) 4
如图,G,H,T,R 四点分别与 A,B 两点能构成四个直角三角形,$\therefore$ 线段 CD 上的格点中是 A,B 两点的“勾股点”的有 4 个.
(2) 证明:$\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ CDA = ∠ CDB = 90°$.
在 $Rt△ ACD$ 中,由勾股定理,得 $AD^2 + DC^2 = AC^2$,$\therefore AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.
在 $Rt△ BCD$ 中,由勾股定理,得 $CD^2 + BD^2 = BC^2$,$\therefore BC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
在 $△ ACB$ 中,$AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$.
又$\because AB = AD + BD = 5$,$\therefore AB^2 = 5^2 = 25$,$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,$\therefore △ ACB$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore C$ 是 A,B 两点的“强勾股点”.
(3) $BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore PD = CD = \frac{1}{2}AC = 3$.
$\because BC = 4$,$\therefore BD^2 = BC^2 + CD^2 = 25$,$\therefore BD = 5$,$\therefore BP = BD - PD = 5 - 3 = 2$.
若 $P$ 是 $B,C$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ BPC = 90°$.
$\because S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2}BD · CP$,$\therefore CP = \frac{BC · CD}{BD} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5}$,$\therefore BP^2 = BC^2 - CP^2 = 4^2 - (\frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25}$,$\therefore BP = \frac{16}{5}$.
若 $P$ 是 $A,B$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ APB = 90°$.
$\because BC = 4,AC = 6$,$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2 = 52$.
设 $DP = x$, 则 $BP = 5 + x$.
$\because ∠ APB = 90°$,$\therefore AD^2 - DP^2 = AB^2 - BP^2$, 即 $3^2 - x^2 = 52 - (5 + x)^2$,$\therefore x = \frac{9}{5}$, 即 $DP = \frac{9}{5}$,$\therefore BP = 5 + \frac{9}{5} = \frac{34}{5}$.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的外部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore DP = AD = CD = 3$,$\therefore BP = BD + DP = 5 + 3 = 8$.
综上所述,$BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
【知识点】
1. 勾股定理
2. 勾股定理的逆定理
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，将新定义与勾股定理相关知识结合，既考查对新概念的理解和迁移运用能力，又考查勾股定理、逆定理及直角三角形性质的综合应用，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问首先要明确“勾股点”的定义：若某点与A、B两点可构成直角三角形，则该点为A、B的勾股点。我们可以逐一计算CD上各格点与A、B连线构成三角形的三边长，借助勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，统计符合条件的点的个数即可。
(2) 第二问要证明C是A、B的“强勾股点”，根据定义需证明C为△ABC的直角顶点，即∠ACB=90°。我们可以先通过勾股定理分别求出AC²、BC²、AB²，再验证AC²+BC²是否等于AB²，若相等则可由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，得到结论。
(3) 第三问中“强勾股点”说明P为直角顶点，因此分三类情况讨论：①P是A、C两点的强勾股点（含P在△ABC内部、外部两种子情况）；②P是B、C两点的强勾股点；③P是A、B两点的强勾股点。每种情况结合直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等面积法计算BP长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对CD上的格点逐一验证，结合勾股定理逆定理判断，可得G、H、T、R四个点均能与A、B构成直角三角形，因此符合条件的勾股点共4个。
(2) 证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2=1^2+2^2=5$
在Rt△BCD中，由勾股定理得$BC^2=CD^2+BD^2=2^2+4^2=20$
∵ $AB=AD+BD=1+4=5$，
∴ $AB^2=5^2=25$
∴ $AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°，即C是A、B两点的强勾股点。
(3) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC中点，AC=6，
∴ $AD=CD=3$
在Rt△BCD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，分情况讨论：
① 若P是A、C两点的强勾股点，且P在△ABC内部，此时∠APC=90°。
∵ D是AC中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $PD=CD=3$
∴ $BP=BD-PD=5-3=2$
② 若P是B、C两点的强勾股点，此时∠BPC=90°。
由△BCD面积相等得：$S_{△BCD}=\frac{1}{2}·BC·CD=\frac{1}{2}·BD·CP$，代入数据得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CP$，解得$CP=\frac{12}{5}$
在Rt△BCP中，由勾股定理得$BP=\sqrt{BC^2-CP^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$
③ 若P是A、B两点的强勾股点，此时∠APB=90°。
设$DP=x$，则$BP=5+x$，在Rt△APD中$AP^2=AD^2-DP^2=9-x^2$；在Rt△ABP中$AB^2=6^2+4^2=52$，$AP^2=AB^2-BP^2=52-(5+x)^2$
∴ $9-x^2=52-(5+x)^2$，解得$x=\frac{9}{5}$，
∴ $BP=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$
④ 若P是A、C两点的强勾股点，且P在△ABC外部，此时∠APC=90°。
同理可得$PD=CD=3$，
∴ $BP=BD+PD=5+3=8$
综上，BP的长为2或$\frac{16}{5}$或$\frac{34}{5}$或8。
【答案】
(1) 4
如图,G,H,T,R 四点分别与 A,B 两点能构成四个直角三角形,$\therefore$ 线段 CD 上的格点中是 A,B 两点的“勾股点”的有 4 个.
(2) 证明:$\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ CDA = ∠ CDB = 90°$.
在 $Rt△ ACD$ 中,由勾股定理,得 $AD^2 + DC^2 = AC^2$,$\therefore AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.
在 $Rt△ BCD$ 中,由勾股定理,得 $CD^2 + BD^2 = BC^2$,$\therefore BC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
在 $△ ACB$ 中,$AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$.
又$\because AB = AD + BD = 5$,$\therefore AB^2 = 5^2 = 25$,$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,$\therefore △ ACB$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore C$ 是 A,B 两点的“强勾股点”.
(3) $BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore PD = CD = \frac{1}{2}AC = 3$.
$\because BC = 4$,$\therefore BD^2 = BC^2 + CD^2 = 25$,$\therefore BD = 5$,$\therefore BP = BD - PD = 5 - 3 = 2$.
若 $P$ 是 $B,C$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ BPC = 90°$.
$\because S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2}BD · CP$,$\therefore CP = \frac{BC · CD}{BD} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5}$,$\therefore BP^2 = BC^2 - CP^2 = 4^2 - (\frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25}$,$\therefore BP = \frac{16}{5}$.
若 $P$ 是 $A,B$ 两个顶点的“强勾股点”,则 $∠ APB = 90°$.
$\because BC = 4,AC = 6$,$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2 = 52$.
设 $DP = x$, 则 $BP = 5 + x$.
$\because ∠ APB = 90°$,$\therefore AD^2 - DP^2 = AB^2 - BP^2$, 即 $3^2 - x^2 = 52 - (5 + x)^2$,$\therefore x = \frac{9}{5}$, 即 $DP = \frac{9}{5}$,$\therefore BP = 5 + \frac{9}{5} = \frac{34}{5}$.
若 $P$ 是 $A,C$ 两个顶点的“强勾股点”,且点 $P$ 在 $△ ABC$ 的外部,则 $∠ APC = 90°$.
$\because D$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore DP = AD = CD = 3$,$\therefore BP = BD + DP = 5 + 3 = 8$.
综上所述,$BP$ 的长为 2 或 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{34}{5}$ 或 8.
【知识点】
1. 勾股定理
2. 勾股定理的逆定理
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，将新定义与勾股定理相关知识结合，既考查对新概念的理解和迁移运用能力，又考查勾股定理、逆定理及直角三角形性质的综合应用，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
