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1. [2025苏州高新区一中月考]如图,一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后两轮船相距 (
A.13海里
B.16海里
C.20海里
D.26海里
D
)A.13海里
B.16海里
C.20海里
D.26海里
答案
∵两轮船行驶的方向分别是东北方向和东南方向,
∴∠BAC=90°.2小时后,两艘轮船分别行驶了12×2=24(海里),5×2=10(海里).根据勾股定理,得2小时后两艘轮船之间的距离为√(24²+10²)=26(海里).
解析
【分析】
解题时首先判断两艘轮船的航行方向夹角：东北方向为北偏东45°，东南方向为南偏东45°，因此两个航行方向的夹角为90°，说明两艘轮船的航行路径与两船的距离可构成直角三角形，两条直角边为两艘轮船各自行驶的路程，斜边为两船的距离。接下来根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船2小时行驶的路程，再代入勾股定理求出斜边长度，即为两船的距离。
【解析】
解：
∵两轮船行驶的方向分别是东北方向和东南方向，
∴两船航行路线的夹角$∠ BAC=90°$。
2小时后，向东北方向航行的轮船行驶路程：$12×2=24$（海里），
向东南方向航行的轮船行驶路程：$5×2=10$（海里），
根据勾股定理，两船相距的距离为$\sqrt{24^2 + 10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$（海里）。
【答案】D
【知识点】
方向角，勾股定理，行程公式
【点评】
本题结合航行场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是先通过方向角判断出直角，再结合行程公式得到直角三角形的边长，最后利用勾股定理求解，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先判断两艘轮船的航行方向夹角：东北方向为北偏东45°，东南方向为南偏东45°，因此两个航行方向的夹角为90°，说明两艘轮船的航行路径与两船的距离可构成直角三角形，两条直角边为两艘轮船各自行驶的路程，斜边为两船的距离。接下来根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船2小时行驶的路程，再代入勾股定理求出斜边长度，即为两船的距离。
【解析】
解：
∵两轮船行驶的方向分别是东北方向和东南方向，
∴两船航行路线的夹角$∠ BAC=90°$。
2小时后，向东北方向航行的轮船行驶路程：$12×2=24$（海里），
向东南方向航行的轮船行驶路程：$5×2=10$（海里），
根据勾股定理，两船相距的距离为$\sqrt{24^2 + 10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$（海里）。
【答案】D
【知识点】
方向角，勾股定理，行程公式
【点评】
本题结合航行场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是先通过方向角判断出直角，再结合行程公式得到直角三角形的边长，最后利用勾股定理求解，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.85
2. 如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,先固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
A
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
答案
根据题意,得AD=BD.在Rt△ACD中,AC=1/2 AB=4 cm,CD=3 cm.根据勾股定理,得AD²=AC²+DC²=25,
∴AD=5 cm,
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉长了2 cm.
∴AD=5 cm,
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉长了2 cm.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确橡皮筋拉长的长度等于拉升后AD、BD的长度之和减去原来AB的长度。首先根据C是AB的中点求出AC的长度，再由CD垂直AB可知△ACD是直角三角形，可利用勾股定理求出AD的长度；又因为CD垂直平分AB，所以AD=BD，最后计算拉升前后橡皮筋的总长度差即可得到拉长的长度。
【解析】
解：由题意得AB=8cm，C是AB的中点，CD⊥AB，CD=3cm，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，且AD=BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$AD^2=AC^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴AD=5cm（线段长度为正，舍去负根），
拉升后橡皮筋总长度为$AD+BD=2AD=2×5=10\mathrm{cm}$，
因此橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】勾股定理；线段中点的性质
【点评】本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，理清拉长长度的计算逻辑，熟练运用勾股定理即可快速得出结果。
【难度系数】0.8
要解决本题，首先要明确橡皮筋拉长的长度等于拉升后AD、BD的长度之和减去原来AB的长度。首先根据C是AB的中点求出AC的长度，再由CD垂直AB可知△ACD是直角三角形，可利用勾股定理求出AD的长度；又因为CD垂直平分AB，所以AD=BD，最后计算拉升前后橡皮筋的总长度差即可得到拉长的长度。
【解析】
解：由题意得AB=8cm，C是AB的中点，CD⊥AB，CD=3cm，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，且AD=BD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$AD^2=AC^2+CD^2=4^2+3^2=25$，
∴AD=5cm（线段长度为正，舍去负根），
拉升后橡皮筋总长度为$AD+BD=2AD=2×5=10\mathrm{cm}$，
因此橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】勾股定理；线段中点的性质
【点评】本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，理清拉长长度的计算逻辑，熟练运用勾股定理即可快速得出结果。
【难度系数】0.8
3. 跨学科·语文 [2024吉林中考] 图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB = AB'，AB ⊥ B'C于点C，BC = 0.5尺，B'C = 2尺。设AC的长度为x尺，可列方程为
x²+2²=(x+0.5)²
。答案
在Rt△AB'C中,由勾股定理,得AC²+B'C²=AB'²,
∴x²+2²=(x+0.5)².
∴x²+2²=(x+0.5)².
解析
【分析】
解题时先梳理题干中的等量关系：已知AB=AB'，AC为湖水深度x尺，红莲高出水面的长度BC=0.5尺，因此AB可表示为(x+0.5)尺，即AB'=x+0.5；再观察图形可得△AB'C是直角三角形，∠C为直角，两条直角边为AC、B'C，斜边为AB'，因此可借助勾股定理列出等式。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵BC=0.5尺，
∴AB=AC+BC=(x+0.5)尺，
又
∵AB=AB'，
∴AB'=(x+0.5)尺，
∵AB⊥B'C，
∴△AB'C是直角三角形，∠ACB'=90°，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2+B'C^2=AB'^2$，
代入对应边长：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题为跨学科题型，结合古算诗考查勾股定理的实际应用，解题核心是将文字信息转化为几何线段的数量关系，把实际问题抽象为直角三角形模型，再利用勾股定理建立等量关系列方程，侧重考查数学建模能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干中的等量关系：已知AB=AB'，AC为湖水深度x尺，红莲高出水面的长度BC=0.5尺，因此AB可表示为(x+0.5)尺，即AB'=x+0.5；再观察图形可得△AB'C是直角三角形，∠C为直角，两条直角边为AC、B'C，斜边为AB'，因此可借助勾股定理列出等式。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵BC=0.5尺，
∴AB=AC+BC=(x+0.5)尺，
又
∵AB=AB'，
∴AB'=(x+0.5)尺，
∵AB⊥B'C，
∴△AB'C是直角三角形，∠ACB'=90°，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2+B'C^2=AB'^2$，
代入对应边长：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解实际问题
【点评】
本题为跨学科题型，结合古算诗考查勾股定理的实际应用，解题核心是将文字信息转化为几何线段的数量关系，把实际问题抽象为直角三角形模型，再利用勾股定理建立等量关系列方程，侧重考查数学建模能力。
【难度系数】
0.8
4. [2026无锡梁溪区期中]如图,有一块长50 cm的木板斜靠在一个直立于地面的墙面上,木板的上缘离地面的距离是30 cm,则木板的下缘离墙面的距离是
40
cm.答案
如图,由题意,得AB=50 cm,AC=30 cm,∠ACB=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=√(AB²-AC²)=√(50²-30²)=40(cm),即木板的下缘离墙面的距离是40 cm.
解析
【分析】
解题时首先将实际场景转化为几何模型：墙面和地面互相垂直，斜靠的木板、墙面、地面三者共同围成直角三角形。其中木板是直角三角形的斜边，长度为50cm；木板上缘离地面的距离是直角三角形的一条直角边，长度为30cm；要求的木板下缘离墙面的距离是直角三角形的另一条直角边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意得，木板长度$AB=50\ \mathrm{cm}$，木板上缘离地面的距离$AC=30\ \mathrm{cm}$，墙面与地面垂直，即$∠ ACB=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}$，
代入数值计算：$BC=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40(\mathrm{cm})$。
【答案】
40
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形，明确各边对应的实际长度，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先将实际场景转化为几何模型：墙面和地面互相垂直，斜靠的木板、墙面、地面三者共同围成直角三角形。其中木板是直角三角形的斜边，长度为50cm；木板上缘离地面的距离是直角三角形的一条直角边，长度为30cm；要求的木板下缘离墙面的距离是直角三角形的另一条直角边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意得，木板长度$AB=50\ \mathrm{cm}$，木板上缘离地面的距离$AC=30\ \mathrm{cm}$，墙面与地面垂直，即$∠ ACB=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}$，
代入数值计算：$BC=\sqrt{50^2 - 30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40(\mathrm{cm})$。
【答案】
40
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形，明确各边对应的实际长度，再结合勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 新趋势·数学文化 [2026扬州江都区期末]如图，《九章算术》中有这样一道古题:今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有3尺(绳索比木柱长3尺)，牵着绳索退行，在距木柱底部8尺(BC=8尺)处时绳索用尽，则木柱的长为
55/6
尺.答案
设木柱的长为x尺,则AC=(x+3)尺.
∵∠ABC=90°,
∴AB²+BC²=AC²,即x²+8²=(x+3)²,解得x=55/6,即木柱的长为55/6尺.
∵∠ABC=90°,
∴AB²+BC²=AC²,即x²+8²=(x+3)²,解得x=55/6,即木柱的长为55/6尺.
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，首先我们可以把题目中的木柱、地面、绳索抽象为直角三角形ABC：其中AB是木柱长度，∠ABC=90°，BC是退行距离，AC是绳索长度。已知绳索比木柱长3尺，BC长8尺，我们可以设木柱长度为未知数，用未知数表示出绳索长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设木柱的长为x尺，则绳索长度AC=(x+3)尺。
由题意可知AB⊥BC，即∠ABC=90°，△ABC为直角三角形。
根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应边长得：$x^2 + 8^2 = (x+3)^2$
展开计算：$x^2 + 64 = x^2 + 6x + 9$
移项化简得：$6x = 55$
解得：$x = \frac{55}{6}$
【答案】
$\frac{55}{6}$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确梳理各边的数量关系后列方程求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理的实际应用题，首先我们可以把题目中的木柱、地面、绳索抽象为直角三角形ABC：其中AB是木柱长度，∠ABC=90°，BC是退行距离，AC是绳索长度。已知绳索比木柱长3尺，BC长8尺，我们可以设木柱长度为未知数，用未知数表示出绳索长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设木柱的长为x尺，则绳索长度AC=(x+3)尺。
由题意可知AB⊥BC，即∠ABC=90°，△ABC为直角三角形。
根据勾股定理可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应边长得：$x^2 + 8^2 = (x+3)^2$
展开计算：$x^2 + 64 = x^2 + 6x + 9$
移项化简得：$6x = 55$
解得：$x = \frac{55}{6}$
【答案】
$\frac{55}{6}$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确梳理各边的数量关系后列方程求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6. [2026苏州星汇学校月考] 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图. 根据安全标准需满足$BC ⊥ CD$，现测得$AB = CD = 6\ \mathrm{dm}$，$BC = 3\ \mathrm{dm}$，$AD = 9\ \mathrm{dm}$，其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90°$的零件连接（即$∠ ABD = 90°$），通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
解:在Rt△ABD中,BD²=AD²-AB²=9²-6²=45,
在△BCD中,BC²+CD²=3²+6²=45,
∴BC²+CD²=BD²,
∴△BCD为直角三角形,且∠BCD=90°,
∴BC⊥CD.
故该车符合安全标准.
在△BCD中,BC²+CD²=3²+6²=45,
∴BC²+CD²=BD²,
∴△BCD为直角三角形,且∠BCD=90°,
∴BC⊥CD.
故该车符合安全标准.
解析
【分析】
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°（即BC⊥CD）。解题思路可分为两步：第一步，已知△ABD是直角三角形（∠ABD=90°），且给出AB、AD的长度，可先利用勾股定理求出BD的平方值；第二步，在△BCD中，已知BC、CD的长度，计算BC²与CD²的和，将其与BD²比较，若二者相等，则可根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形且∠C为直角，即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=AD^2-AB^2=9^2-6^2=81-36=45$
在$△ BCD$中，计算两条短边的平方和：
$BC^2+CD^2=3^2+6^2=9+36=45$
$\therefore BC^2+CD^2=BD^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$为直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理结合的实际应用问题，解题的核心是明确验证垂直的本质是判断直角，通过已知直角三角形求边长、再用逆定理判定直角的逻辑完成推导，贴合生活场景，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的用处。
【难度系数】
0.8
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°（即BC⊥CD）。解题思路可分为两步：第一步，已知△ABD是直角三角形（∠ABD=90°），且给出AB、AD的长度，可先利用勾股定理求出BD的平方值；第二步，在△BCD中，已知BC、CD的长度，计算BC²与CD²的和，将其与BD²比较，若二者相等，则可根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形且∠C为直角，即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=AD^2-AB^2=9^2-6^2=81-36=45$
在$△ BCD$中，计算两条短边的平方和：
$BC^2+CD^2=3^2+6^2=9+36=45$
$\therefore BC^2+CD^2=BD^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$为直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理结合的实际应用问题，解题的核心是明确验证垂直的本质是判断直角，通过已知直角三角形求边长、再用逆定理判定直角的逻辑完成推导，贴合生活场景，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的用处。
【难度系数】
0.8
7. [2026南京师大附中新城中学月考] 如图,当秋千OA静止时,最低点A离地面的距离AB为0.7 m,当秋千摆动到OA'位置时,点A'与点B的距离A'B为2.5 m,点A'水平移动的距离A'C为2 m,求秋千OA的长.
答案
解:由题意,得∠A'CO=∠A'CB=90°,
∴BC²=A'B²-A'C²=2.25,
∴BC=1.5 m,
∴AC=BC-AB=1.5-0.7=0.8(m).
设OA=OA'=x m,则OC=(x-0.8)m.
在Rt△A'OC中,由勾股定理,得OC²+A'C²=OA'²,即(x-0.8)²+2²=x²,
解得x=2.9.
故秋千OA的长为2.9 m.
∴BC²=A'B²-A'C²=2.25,
∴BC=1.5 m,
∴AC=BC-AB=1.5-0.7=0.8(m).
设OA=OA'=x m,则OC=(x-0.8)m.
在Rt△A'OC中,由勾股定理,得OC²+A'C²=OA'²,即(x-0.8)²+2²=x²,
解得x=2.9.
故秋千OA的长为2.9 m.
解析
【分析】
解决本题首先要结合图形找到直角三角形，先从已知边长的Rt△A'CB入手，用勾股定理算出BC的长度，再通过BC和AB的差值得到AC的长度。由于秋千长度不变，OA与OA'相等，我们可以设OA的长度为未知数，用含未知数的式子表示出OC的长度，最后在Rt△A'OC中利用勾股定理列方程求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：由题意，得∠A'CO=∠A'CB=90°，
在Rt△A'CB中，由勾股定理可得：
$BC^2=A'B^2-A'C^2=2.5^2-2^2=2.25$，
∴$BC=1.5\ \mathrm{m}$，
∴$AC=BC-AB=1.5-0.7=0.8(\mathrm{m})$。
设$OA=OA'=x\ \mathrm{m}$，则$OC=(x-0.8)\ \mathrm{m}$，
在Rt△A'OC中，由勾股定理得$OC^2+A'C^2=OA'^2$，
即$(x-0.8)^2+2^2=x^2$，
展开整理得：$-1.6x+4.64=0$，
解得$x=2.9$。
【答案】
$2.9\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型习题，核心是将实际生活中的长度关系转化为直角三角形的边长关系，结合方程思想求解，能够有效考查学生的几何建模能力和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合图形找到直角三角形，先从已知边长的Rt△A'CB入手，用勾股定理算出BC的长度，再通过BC和AB的差值得到AC的长度。由于秋千长度不变，OA与OA'相等，我们可以设OA的长度为未知数，用含未知数的式子表示出OC的长度，最后在Rt△A'OC中利用勾股定理列方程求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：由题意，得∠A'CO=∠A'CB=90°，
在Rt△A'CB中，由勾股定理可得：
$BC^2=A'B^2-A'C^2=2.5^2-2^2=2.25$，
∴$BC=1.5\ \mathrm{m}$，
∴$AC=BC-AB=1.5-0.7=0.8(\mathrm{m})$。
设$OA=OA'=x\ \mathrm{m}$，则$OC=(x-0.8)\ \mathrm{m}$，
在Rt△A'OC中，由勾股定理得$OC^2+A'C^2=OA'^2$，
即$(x-0.8)^2+2^2=x^2$，
展开整理得：$-1.6x+4.64=0$，
解得$x=2.9$。
【答案】
$2.9\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型习题，核心是将实际生活中的长度关系转化为直角三角形的边长关系，结合方程思想求解，能够有效考查学生的几何建模能力和勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
