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8. 教材P107T11变式 [2025南京求真中学期中]如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9 cm,内壁高12 cm,则这支铅笔在笔筒内部的长度$ l $的取值范围是 (
A.$ 12\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $
B.$ 9\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 12\ \mathrm{cm} $
C.$ 10\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $
D.$ 10\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 12\ \mathrm{cm} $
A
)A.$ 12\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $
B.$ 9\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 12\ \mathrm{cm} $
C.$ 10\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $
D.$ 10\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 12\ \mathrm{cm} $
答案
当铅笔不垂直于底面放置时,铅笔按如图所示的方式斜放,此时铅笔在笔筒内部的长度l最大,为√(12²+9²)=15(cm).当铅笔垂直于笔筒底面放置时,铅笔在笔筒内部的长度l最小,为12 cm.故这支铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是12 cm≤l≤15 cm.
解析
【分析】
要确定铅笔在笔筒内部长度的取值范围，需要找到长度的两个临界值：①最短值：当铅笔竖直放在笔筒中时，内部长度等于笔筒内壁高度；②最长值：当铅笔斜靠在笔筒内壁时，内部铅笔、笔筒底面直径、笔筒内壁高恰好构成直角三角形，内部铅笔为斜边，用勾股定理可算出最长长度，结合两个临界值就能得到取值范围。
【解析】
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部的长度最小，等于笔筒内壁高度，即$ l_{\mathrm{最小}}=12\ \mathrm{cm} $。
当铅笔斜放，底端抵住笔筒底部边缘、顶端抵住笔筒上口对侧边缘时，铅笔在笔筒内部的长度最大，此时底面直径9cm、内壁高12cm为直角三角形的两条直角边，内部铅笔长度为斜边，根据勾股定理计算：
$ l_{\mathrm{最大}}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm} $
因此这支铅笔在笔筒内部的长度$ l $的取值范围是$ 12\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
1. 勾股定理的实际应用
2. 临界最值求解
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的运用，解题关键是准确找到长度的两种极端情况，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，能很好地锻炼学生知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
要确定铅笔在笔筒内部长度的取值范围，需要找到长度的两个临界值：①最短值：当铅笔竖直放在笔筒中时，内部长度等于笔筒内壁高度；②最长值：当铅笔斜靠在笔筒内壁时，内部铅笔、笔筒底面直径、笔筒内壁高恰好构成直角三角形，内部铅笔为斜边，用勾股定理可算出最长长度，结合两个临界值就能得到取值范围。
【解析】
当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部的长度最小，等于笔筒内壁高度，即$ l_{\mathrm{最小}}=12\ \mathrm{cm} $。
当铅笔斜放，底端抵住笔筒底部边缘、顶端抵住笔筒上口对侧边缘时，铅笔在笔筒内部的长度最大，此时底面直径9cm、内壁高12cm为直角三角形的两条直角边，内部铅笔长度为斜边，根据勾股定理计算：
$ l_{\mathrm{最大}}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm} $
因此这支铅笔在笔筒内部的长度$ l $的取值范围是$ 12\ \mathrm{cm} ≤ l ≤ 15\ \mathrm{cm} $。
【答案】
A
【知识点】
1. 勾股定理的实际应用
2. 临界最值求解
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的运用，解题关键是准确找到长度的两种极端情况，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，能很好地锻炼学生知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
9. [2026徐州模拟]如图，铁路AB和公路CD在点O处相交，∠BOD=30°，公路CD上的点P距离点O 240 m. 如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，当火车在铁路AB上沿由A到B的方向以72 km/h的速度行驶时，点P处受噪音影响的时间为（
A.20 s
B.16 s
C.15 s
D.25 s
B
）A.20 s
B.16 s
C.15 s
D.25 s
答案
如图,过点P作PH⊥AB于点H,点E,F在AB上,且PE=PF=200 m.
∵∠BOD=30°,OP=240 m,
∴PH=1/2 OP=1/2×240=120(m).
∵火车行驶时,周围200 m以内会受到噪音的影响,
∴当火车行驶在E,F之间时,点P处会受到噪音的影响,
∴EH=√(PE²-PH²)=√(200²-120²)=160(m).
∵PE=PF,PH⊥EF,
∴HF=HE=160 m,
∴EF=320 m.
∵火车在铁路AB上沿由A到B的方向以72 km/h的速度行驶,72 km/h=20 m/s,
∴点P处受噪音影响的时间为320÷20=16(s).
解析
【分析】
要解决该问题，首先需明确点P受噪音影响的范围：火车到点P的距离≤200m时P会受影响，因此需要先求出铁路AB上到P距离为200m的两个点，两点间的距离就是受影响的行驶路程。具体思考步骤为：①过P作AB的垂线，利用30°直角三角形的性质求出P到AB的垂直距离，确认存在受影响的路段；②用勾股定理求出受影响路段的总长度；③统一速度单位后，根据“时间=路程÷速度”计算受影响的时间。
【解析】
过点P作PH⊥AB于点H，在AB上取点E、F，使得PE=PF=200 m。
∵∠BOD=30°，OP=240 m，在Rt△OPH中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$PH=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×240=120\ \mathrm{m}$。
当火车行驶在E、F两点之间时，火车到P的距离小于200 m，点P会受到噪音影响。
在Rt△PEH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{PE^2-PH^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$。
∵PE=PF，PH⊥EF，根据等腰三角形三线合一的性质，HF=HE=160 m，
∴受影响路段长度$EF=EH+HF=320\ \mathrm{m}$。
换算火车速度：$72\ \mathrm{km/h}=72×\frac{1000}{3600}\ \mathrm{m/s}=20\ \mathrm{m/s}$，
则受噪音影响的时间为$320÷20=16\ \mathrm{s}$。
【答案】
B
【知识点】
30°直角三角形的性质，勾股定理的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查几何知识与行程问题的综合运用，解题核心是准确构造直角三角形求出受影响的路段长度，解题时需注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需明确点P受噪音影响的范围：火车到点P的距离≤200m时P会受影响，因此需要先求出铁路AB上到P距离为200m的两个点，两点间的距离就是受影响的行驶路程。具体思考步骤为：①过P作AB的垂线，利用30°直角三角形的性质求出P到AB的垂直距离，确认存在受影响的路段；②用勾股定理求出受影响路段的总长度；③统一速度单位后，根据“时间=路程÷速度”计算受影响的时间。
【解析】
过点P作PH⊥AB于点H，在AB上取点E、F，使得PE=PF=200 m。
∵∠BOD=30°，OP=240 m，在Rt△OPH中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$PH=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×240=120\ \mathrm{m}$。
当火车行驶在E、F两点之间时，火车到P的距离小于200 m，点P会受到噪音影响。
在Rt△PEH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{PE^2-PH^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160\ \mathrm{m}$。
∵PE=PF，PH⊥EF，根据等腰三角形三线合一的性质，HF=HE=160 m，
∴受影响路段长度$EF=EH+HF=320\ \mathrm{m}$。
换算火车速度：$72\ \mathrm{km/h}=72×\frac{1000}{3600}\ \mathrm{m/s}=20\ \mathrm{m/s}$，
则受噪音影响的时间为$320÷20=16\ \mathrm{s}$。
【答案】
B
【知识点】
30°直角三角形的性质，勾股定理的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查几何知识与行程问题的综合运用，解题核心是准确构造直角三角形求出受影响的路段长度，解题时需注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
10. 新趋势·数学文化 [2025 连云港海州区期中]《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读 kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意：如图1 和图2（图2 为图1 的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD 的距离为2 寸，点 C 和点 D 与门槛 AB 的距离都为1 尺(1 尺=10 寸)，则 AB 的长是
101
寸。答案
过点D作DE⊥AB于点E,如图,由题意,得OA=OB=AD=BC,DE=1尺=10寸,OE=1/2 CD=1寸.设OA=AD=r寸,则AB=2r寸,AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE²+DE²=AD²,即(r-1)²+10²=r²,解得r=50.5,故AB=2r=101寸.
解析
【分析】
解题时首先明确双门的单扇门宽度相等，即OA=OB=AD=BC。我们通过作垂线构造直角三角形，将已知的距离条件转化为直角三角形的边长，再设单扇门的宽度为未知数，利用勾股定理建立方程求解，最后计算得到AB的总长度，解题前要先统一单位，将尺换算为寸，避免单位不统一出错。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，如图。
由题意得：OA=OB=AD=BC，DE=1尺=10寸，OE=$\frac{1}{2}$CD=1寸。
设OA=AD=r寸，则AB=2r寸，AE=OA-OE=(r-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理可得：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入数据得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开计算：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简解得：$r=50.5$，
因此$AB=2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题，单位换算
【点评】
本题以古代数学名著《九章算术》的问题为背景，将实际生活场景转化为几何模型，考查学生提取几何信息、运用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是构造直角三角形、找准等量关系列方程，同时要注意单位的统一。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确双门的单扇门宽度相等，即OA=OB=AD=BC。我们通过作垂线构造直角三角形，将已知的距离条件转化为直角三角形的边长，再设单扇门的宽度为未知数，利用勾股定理建立方程求解，最后计算得到AB的总长度，解题前要先统一单位，将尺换算为寸，避免单位不统一出错。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，如图
。由题意得：OA=OB=AD=BC，DE=1尺=10寸，OE=$\frac{1}{2}$CD=1寸。
设OA=AD=r寸，则AB=2r寸，AE=OA-OE=(r-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理可得：$AE^2+DE^2=AD^2$，
代入数据得：$(r-1)^2+10^2=r^2$，
展开计算：$r^2-2r+1+100=r^2$，
化简解得：$r=50.5$，
因此$AB=2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
101寸
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题，单位换算
【点评】
本题以古代数学名著《九章算术》的问题为背景，将实际生活场景转化为几何模型，考查学生提取几何信息、运用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是构造直角三角形、找准等量关系列方程，同时要注意单位的统一。
【难度系数】
0.7
11. 在一张长为11 cm,宽为5 cm 的长方形纸片ABCD上,放置一个正三棱柱的纸盒(如图),它的侧棱平行且大于纸片的宽AD,它的底面是边长为1 cm 的等边三角形. 一只蚂蚁从点A处爬到点C处的最短路程是
13
cm.答案
将纸盒在长方形纸片上展开后如图所示.由两点之间线段最短,知蚂蚁从点A处爬到点C处的最短路程为线段AC的长度.由题意,得AB=11-1+2=12(cm),BC=5 cm,由勾股定理,得AC=√(AB²+BC²)=13 cm.即蚂蚁从点A处爬到点C处的最短路程是13 cm.
解析
【分析】
求解立体表面两点的最短路径问题，核心思路是将涉及的立体表面展开为同一平面，根据“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线段，再通过勾股定理计算线段长度。本题中竖直方向长度等于长方形的宽，只需先明确正三棱柱展开后水平方向的总长度，得到直角三角形的两条直角边后代入勾股定理计算即可。
【解析】
解：将正三棱柱纸盒与长方形纸片展开到同一平面，如图所示。
根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁从A爬到C的最短路程为线段AC的长度。
由题意可得：
展开后水平方向长度$ AB = 11 - 1 + 2 = 12(\mathrm{cm}) $，
竖直方向$ BC $与长方形的宽相等，即$ BC = 5\mathrm{cm} $，且$ ∠ B = 90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13(\mathrm{cm}) $。
【答案】
13
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题的关键是正确将立体表面展开得到平面图形，准确计算展开后直角三角形的直角边长度，需注意展开时不要弄错水平方向的总长度。
【难度系数】
0.7
求解立体表面两点的最短路径问题，核心思路是将涉及的立体表面展开为同一平面，根据“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线段，再通过勾股定理计算线段长度。本题中竖直方向长度等于长方形的宽，只需先明确正三棱柱展开后水平方向的总长度，得到直角三角形的两条直角边后代入勾股定理计算即可。
【解析】
解：将正三棱柱纸盒与长方形纸片展开到同一平面，如图所示。
根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁从A爬到C的最短路程为线段AC的长度。
由题意可得：
展开后水平方向长度$ AB = 11 - 1 + 2 = 12(\mathrm{cm}) $，
竖直方向$ BC $与长方形的宽相等，即$ BC = 5\mathrm{cm} $，且$ ∠ B = 90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，由勾股定理得：
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13(\mathrm{cm}) $。
【答案】
13
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题的关键是正确将立体表面展开得到平面图形，准确计算展开后直角三角形的直角边长度，需注意展开时不要弄错水平方向的总长度。
【难度系数】
0.7
12. 新情境 [2026 盐城亭湖区期末]生活中的旋梯随处可见.如图(右图是左图的侧面展开图),油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯.油罐底面圆的半径为$\frac{5.8}{π}$ m,高为12 m,旋梯正中间有一段0.8 m 的平台,则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为
13.8
m(旋梯宽度忽略不计).答案
如图,B处为顶部扶手,A处为底部扶手,其中DC为平台.由题意,得BF=12 m,将CA向左平移使得点C与点D重合,此时点A与点E重合,则AE=CD=0.8 m,DE=CA,
∴旋梯底部A到顶部B的扶手长度为BD+CD+AC=BD+DE+AE=BD+DE+0.8.由两点之间线段最短,知当B,D,E三点共线时,BD+DE的值最小,为BE的长,即此扶手长度最小值为BE+0.8.
∵油罐底面圆半径为5.8/π m,高为12 m,
∴AF=π×5.8/π=5.8(m),
∴EF=AF-AE=5.8-0.8=5(m).在Rt△BFE中,由勾股定理,得BE=√(BF²+EF²)=13 m,
∴旋梯的扶手长度的最小值为13+0.8=13.8(m).
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以将立体的旋梯问题转化为平面展开图的最短路径问题：①首先明确圆柱侧面展开后是长方形，水平方向的长度对应油罐底面的半周长，垂直方向对应油罐的高度；②由于中间有0.8m的平台，我们可以利用平移的性质，将上下两段旋梯拼接，把求两段旋梯长度和的最小值转化为求直角三角形的斜边长度（依据两点之间线段最短）；③最后结合勾股定理计算出最短长度，再加上平台的长度就是总扶手的最小长度。
【解析】
解：由题意可知，油罐的高$BF=12\ \mathrm{m}$，底面半径$r=\frac{5.8}{π}\ \mathrm{m}$，平台$CD=0.8\ \mathrm{m}$。
将$CA$向左平移，使点$C$与点$D$重合，此时点$A$对应点$E$，根据平移的性质可得：$AE=CD=0.8\ \mathrm{m}$，$DE=CA$。
因此扶手总长度为$BD+CD+AC=BD+DE+0.8$，根据两点之间线段最短，当$B、D、E$三点共线时，$BD+DE$的值最小，等于$BE$的长度，即扶手最短长度为$BE+0.8$。
先计算展开图水平方向长度：$AF=π r=π × \frac{5.8}{π}=5.8\ \mathrm{m}$，
因此$EF=AF-AE=5.8-0.8=5\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ BFE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$，
所以扶手最短长度为$13+0.8=13.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
13.8
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活中的旋梯场景，将立体几何的最短路径问题转化为平面几何问题求解，解题的核心是通过平移拼接将分散的路径整合，再利用勾股定理计算，能较好地考查学生的空间想象能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以将立体的旋梯问题转化为平面展开图的最短路径问题：①首先明确圆柱侧面展开后是长方形，水平方向的长度对应油罐底面的半周长，垂直方向对应油罐的高度；②由于中间有0.8m的平台，我们可以利用平移的性质，将上下两段旋梯拼接，把求两段旋梯长度和的最小值转化为求直角三角形的斜边长度（依据两点之间线段最短）；③最后结合勾股定理计算出最短长度，再加上平台的长度就是总扶手的最小长度。
【解析】
解：由题意可知，油罐的高$BF=12\ \mathrm{m}$，底面半径$r=\frac{5.8}{π}\ \mathrm{m}$，平台$CD=0.8\ \mathrm{m}$。
将$CA$向左平移，使点$C$与点$D$重合，此时点$A$对应点$E$，根据平移的性质可得：$AE=CD=0.8\ \mathrm{m}$，$DE=CA$。
因此扶手总长度为$BD+CD+AC=BD+DE+0.8$，根据两点之间线段最短，当$B、D、E$三点共线时，$BD+DE$的值最小，等于$BE$的长度，即扶手最短长度为$BE+0.8$。
先计算展开图水平方向长度：$AF=π r=π × \frac{5.8}{π}=5.8\ \mathrm{m}$，
因此$EF=AF-AE=5.8-0.8=5\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ BFE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$，
所以扶手最短长度为$13+0.8=13.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
13.8
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活中的旋梯场景，将立体几何的最短路径问题转化为平面几何问题求解，解题的核心是通过平移拼接将分散的路径整合，再利用勾股定理计算，能较好地考查学生的空间想象能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
13. 应用意识 [2026 无锡惠山区期中] 盼盼家新装修了房子,如图是其中的三个房间甲、乙、丙,她将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作 MA,如果梯子的底端 P 不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 NB.
(1)当盼盼在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角 B 处.若 MA = 1.6 米,AP = 1.2 米,则甲房间的宽度 AB =
(2)当她在乙房间时,测得 MA =2.4 米,MP =2.5 米,且∠MPN =90°,求乙房间的宽度 AB.
(3)当她在丙房间时,测得 MA =2.8 米,且∠MPA =75°,∠NPB =45°.
①求∠MPN 的度数;
②求丙房间的宽度 AB.
(1)当盼盼在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角 B 处.若 MA = 1.6 米,AP = 1.2 米,则甲房间的宽度 AB =
3.2
米.(2)当她在乙房间时,测得 MA =2.4 米,MP =2.5 米,且∠MPN =90°,求乙房间的宽度 AB.
(3)当她在丙房间时,测得 MA =2.8 米,且∠MPA =75°,∠NPB =45°.
①求∠MPN 的度数;
②求丙房间的宽度 AB.
答案
解:(1)3.2
在Rt△AMP中,
∵∠A=90°,MA=1.6米,AP=1.2米,
∴PM²=AM²+AP²=4,
∴PM=2米.
∵PB=PM=2米,
∴甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2米.
(2)
∵∠MPN=90°,
∴∠APM+∠BPN=90°.
又
∵∠APM+∠AMP=90°,
∴∠AMP=∠BPN.
在△AMP和△BPN中,
{∠AMP=∠BPN,
∠MAP=∠PBN=90°,
MP=PN,
∴△AMP≌△BPN(AAS),
∴MA=PB=2.4米.
∵∠MAP=90°,AM=2.4米,MP=2.5米,
∴PA²=PM²-AM²=0.49,
∴PA=0.7米,
∴AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1(米).
∴乙房间的宽度AB是3.1米.
(3)①∠MPN=180°-∠APM-∠BPN=60°.
②如图,过点N作MA的垂线,垂足为D,连接NM,
则DN//AB,
∴∠DNP=∠BPN=45°.
∵∠MPN=60°,PM=PN,
∴△PNM为等边三角形,
∴∠PNM=60°,NM=PM,
∴∠MND=15°.
∵∠APM=75°,
∴∠AMP=15°,
∴∠DNM=∠AMP.
在△AMP和△DNM中,
{∠AMP=∠DNM,
∠MAP=∠NDM=90°,
PM=MN,
∴△AMP≌△DNM(AAS),
∴AM=DN,
∴AB=DN=AM=2.8米,
∴丙房间的宽度AB是2.8米.
解析
【分析】
本题结合梯子靠墙的实际场景考查几何知识的综合应用，解题思路如下：
(1) 甲房间中梯子长度不变，先在$Rt△ AMP$中用勾股定理算出梯子$PM$的长度，$PB$等于梯子长度，房间宽度$AB=AP+PB$即可求解；
(2) 乙房间中$∠ MPN=90°$，可通过同角的余角相等得到$△ AMP$和$△ BPN$的对应角相等，结合梯子长度相等$PM=PN$，用AAS证明两三角形全等，得到$PB=MA$，再用勾股定理算出$AP$，相加得到$AB$；
(3) ①丙房间中$P$在$AB$上，$∠ APB$是平角为$180°$，用$180°$减去两个已知角即可得到$∠ MPN$的度数；②由$PM=PN$、$∠ MPN=60°$可得$△ MPN$是等边三角形，过$N$作$ND⊥ MA$于$D$，可得$DN=AB$，再推导角相等证明$△ AMP$和$△ DNM$全等，得到$AM=DN$，即可得$AB=MA$。
【解析】
(1) 在$Rt△ AMP$中，
$\because∠ A=90°$，$MA=1.6$米，$AP=1.2$米，
$\therefore PM^2=AM^2+AP^2=1.6^2+1.2^2=4$，
$\therefore PM=2$米，
$\because$梯子长度不变，$\therefore PB=PM=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because∠ MPN=90°$，
$\therefore∠ APM+∠ BPN=90°$，
又$\because∠ APM+∠ AMP=90°$，
$\therefore∠ AMP=∠ BPN$，
在$△ AMP$和$△ BPN$中，
$\begin{cases}∠ AMP=∠ BPN\\∠ MAP=∠ PBN=90°\\MP=PN\end{cases}$
$\therefore△ AMP≌△ BPN(\mathrm{AAS})$，
$\therefore MA=PB=2.4$米，
在$Rt△ AMP$中，$∠ MAP=90°$，$AM=2.4$米，$MP=2.5$米，
$\therefore PA^2=PM^2-AM^2=2.5^2-2.4^2=0.49$，
$\therefore PA=0.7$米，
$\therefore AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1$米。
(3) ①$\because$点$P$在$AB$上，$∠ APB=180°$，
$\therefore∠ MPN=180°-∠ APM-∠ BPN=180°-75°-45°=60°$。
②如图，过点$N$作$MA$的垂线，垂足为$D$，连接$NM$，
则$DN// AB$，
$\therefore∠ DNP=∠ BPN=45°$，
$\because PM=PN$（梯子长度不变），$∠ MPN=60°$，
$\therefore△ PNM$为等边三角形，
$\therefore∠ PNM=60°$，$NM=PM$，
$\therefore∠ MND=∠ PNM+∠ DNP-90°=15°$，
$\because∠ APM=75°$，$\therefore$在$Rt△ AMP$中，$∠ AMP=90°-75°=15°$，
$\therefore∠ DNM=∠ AMP$，
在$△ AMP$和$△ DNM$中，
$\begin{cases}∠ AMP=∠ DNM\\∠ MAP=∠ NDM=90°\\PM=MN\end{cases}$
$\therefore△ AMP≌△ DNM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM=DN$，
又$\because$四边形$ABND$是矩形，$\therefore AB=DN$，
$\therefore AB=AM=2.8$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$；
(2) $\boldsymbol{3.1}$米；
(3) ①$\boldsymbol{60°}$；②$\boldsymbol{2.8}$米；
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题以生活实际场景为载体，综合考查了直角三角形、全等三角形、等边三角形的相关知识，要求学生能结合图形分析边角关系，合理构造辅助线解决问题，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题结合梯子靠墙的实际场景考查几何知识的综合应用，解题思路如下：
(1) 甲房间中梯子长度不变，先在$Rt△ AMP$中用勾股定理算出梯子$PM$的长度，$PB$等于梯子长度，房间宽度$AB=AP+PB$即可求解；
(2) 乙房间中$∠ MPN=90°$，可通过同角的余角相等得到$△ AMP$和$△ BPN$的对应角相等，结合梯子长度相等$PM=PN$，用AAS证明两三角形全等，得到$PB=MA$，再用勾股定理算出$AP$，相加得到$AB$；
(3) ①丙房间中$P$在$AB$上，$∠ APB$是平角为$180°$，用$180°$减去两个已知角即可得到$∠ MPN$的度数；②由$PM=PN$、$∠ MPN=60°$可得$△ MPN$是等边三角形，过$N$作$ND⊥ MA$于$D$，可得$DN=AB$，再推导角相等证明$△ AMP$和$△ DNM$全等，得到$AM=DN$，即可得$AB=MA$。
【解析】
(1) 在$Rt△ AMP$中，
$\because∠ A=90°$，$MA=1.6$米，$AP=1.2$米，
$\therefore PM^2=AM^2+AP^2=1.6^2+1.2^2=4$，
$\therefore PM=2$米，
$\because$梯子长度不变，$\therefore PB=PM=2$米，
$\therefore AB=AP+PB=1.2+2=3.2$米。
(2) $\because∠ MPN=90°$，
$\therefore∠ APM+∠ BPN=90°$，
又$\because∠ APM+∠ AMP=90°$，
$\therefore∠ AMP=∠ BPN$，
在$△ AMP$和$△ BPN$中，
$\begin{cases}∠ AMP=∠ BPN\\∠ MAP=∠ PBN=90°\\MP=PN\end{cases}$
$\therefore△ AMP≌△ BPN(\mathrm{AAS})$，
$\therefore MA=PB=2.4$米，
在$Rt△ AMP$中，$∠ MAP=90°$，$AM=2.4$米，$MP=2.5$米，
$\therefore PA^2=PM^2-AM^2=2.5^2-2.4^2=0.49$，
$\therefore PA=0.7$米，
$\therefore AB=PA+PB=0.7+2.4=3.1$米。
(3) ①$\because$点$P$在$AB$上，$∠ APB=180°$，
$\therefore∠ MPN=180°-∠ APM-∠ BPN=180°-75°-45°=60°$。
②如图，过点$N$作$MA$的垂线，垂足为$D$，连接$NM$，
则$DN// AB$，
$\therefore∠ DNP=∠ BPN=45°$，
$\because PM=PN$（梯子长度不变），$∠ MPN=60°$，
$\therefore△ PNM$为等边三角形，
$\therefore∠ PNM=60°$，$NM=PM$，
$\therefore∠ MND=∠ PNM+∠ DNP-90°=15°$，
$\because∠ APM=75°$，$\therefore$在$Rt△ AMP$中，$∠ AMP=90°-75°=15°$，
$\therefore∠ DNM=∠ AMP$，
在$△ AMP$和$△ DNM$中，
$\begin{cases}∠ AMP=∠ DNM\\∠ MAP=∠ NDM=90°\\PM=MN\end{cases}$
$\therefore△ AMP≌△ DNM(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM=DN$，
又$\because$四边形$ABND$是矩形，$\therefore AB=DN$，
$\therefore AB=AM=2.8$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.2}$；
(2) $\boldsymbol{3.1}$米；
(3) ①$\boldsymbol{60°}$；②$\boldsymbol{2.8}$米；
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题以生活实际场景为载体，综合考查了直角三角形、全等三角形、等边三角形的相关知识，要求学生能结合图形分析边角关系，合理构造辅助线解决问题，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
