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1. 如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（
A.17
B.10
C.6
D.7
D
）A.17
B.10
C.6
D.7
答案
∵ 正方形ABCD的面积为15,
∴ BC² = 15, ∠ABC = 90°,
∴ ∠EBC = 90°. 在Rt△BCE中,由勾股定理,得 BE = √(CE² - BC²) = √(8² - 15) = 7.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的面积公式，可得到直角边BC的平方值，再根据正方形内角为直角的性质，推出△BCE是直角三角形，最后在直角三角形中利用勾股定理，已知斜边CE的长度，即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的面积为15，
∴ BC² = 15，且∠ABC = 90°，
∴ ∠EBC = 180° - ∠ABC = 90°，即△BCE为直角三角形。
在Rt△BCE中，CE=8，由勾股定理可得：
BE = √(CE² - BC²) = √(8² - 15) = √(64 - 15) = √49 = 7。
【答案】D
【知识点】
正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查正方形性质与勾股定理的结合应用，解题时不需要单独求出BC的长度，直接将BC²整体代入勾股定理公式计算即可简化运算。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合正方形的面积公式，可得到直角边BC的平方值，再根据正方形内角为直角的性质，推出△BCE是直角三角形，最后在直角三角形中利用勾股定理，已知斜边CE的长度，即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的面积为15，
∴ BC² = 15，且∠ABC = 90°，
∴ ∠EBC = 180° - ∠ABC = 90°，即△BCE为直角三角形。
在Rt△BCE中，CE=8，由勾股定理可得：
BE = √(CE² - BC²) = √(8² - 15) = √(64 - 15) = √49 = 7。
【答案】D
【知识点】
正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查正方形性质与勾股定理的结合应用，解题时不需要单独求出BC的长度，直接将BC²整体代入勾股定理公式计算即可简化运算。
【难度系数】
0.85
2. [2025宿迁宿豫区期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若$△ ABC$的周长为12,$BC=3$,则$△ BCD$的周长为 (
A.12
B.10
C.8
D.6
C
)A.12
B.10
C.8
D.6
答案
设AB = x.
∵ △ABC的周长为12,
∴ AB + AC + BC = 12.
∵ BC = 3,
∴ AB + AC = 9,
∴ AC = 9 - x.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AB² = AC² + BC²,
∴ x² = (9 - x)² + 3²,解得x = 5,即AB = 5.
∵ DE是AC的垂直平分线,
∴ DA = DC,
∴ △BCD的周长为 BC + BD + CD = BC + BD + AD = BC + AB = 3 + 5 = 8.
∵ △ABC的周长为12,
∴ AB + AC + BC = 12.
∵ BC = 3,
∴ AB + AC = 9,
∴ AC = 9 - x.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AB² = AC² + BC²,
∴ x² = (9 - x)² + 3²,解得x = 5,即AB = 5.
∵ DE是AC的垂直平分线,
∴ DA = DC,
∴ △BCD的周长为 BC + BD + CD = BC + BD + AD = BC + AB = 3 + 5 = 8.
解析
【分析】
解题时先明确所求$△ BCD$的周长构成，结合已知条件找线段等量关系：首先回忆线段垂直平分线的性质，可得$AD=CD$，因此$△ BCD$的周长可转化为$BC+AB$，所以只需计算出$AB$的长度即可。已知$△ ABC$是直角三角形，周长为12、$BC=3$，可得$AB+AC=9$，设$AB$为$x$，用含$x$的式子表示$AC$，再结合勾股定理列方程求解$AB$的长度，最后代入即可算出$△ BCD$的周长。
【解析】
设$AB = x$，
$\because △ ABC$的周长为12，
$\therefore AB + AC + BC = 12$，
又$\because BC = 3$，
$\therefore AB + AC = 12 - 3 = 9$，即$AC = 9 - x$，
$\because ∠ ACB = 90°$，$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore$由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入得：$x^2 = (9 - x)^2 + 3^2$，
展开计算：$x^2 = 81 - 18x + x^2 + 9$，
消去$x^2$后整理得：$18x = 90$，
解得$x = 5$，即$AB = 5$，
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，点$D$在$DE$上，
$\therefore DA = DC$，
$\therefore △ BCD$的周长$= BC + BD + CD = BC + BD + AD = BC + AB = 3 + 5 = 8$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质对所求三角形的周长进行等量转化，再结合勾股定理列方程求解未知边长，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先明确所求$△ BCD$的周长构成，结合已知条件找线段等量关系：首先回忆线段垂直平分线的性质，可得$AD=CD$，因此$△ BCD$的周长可转化为$BC+AB$，所以只需计算出$AB$的长度即可。已知$△ ABC$是直角三角形，周长为12、$BC=3$，可得$AB+AC=9$，设$AB$为$x$，用含$x$的式子表示$AC$，再结合勾股定理列方程求解$AB$的长度，最后代入即可算出$△ BCD$的周长。
【解析】
设$AB = x$，
$\because △ ABC$的周长为12，
$\therefore AB + AC + BC = 12$，
又$\because BC = 3$，
$\therefore AB + AC = 12 - 3 = 9$，即$AC = 9 - x$，
$\because ∠ ACB = 90°$，$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore$由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入得：$x^2 = (9 - x)^2 + 3^2$，
展开计算：$x^2 = 81 - 18x + x^2 + 9$，
消去$x^2$后整理得：$18x = 90$，
解得$x = 5$，即$AB = 5$，
$\because DE$是$AC$的垂直平分线，点$D$在$DE$上，
$\therefore DA = DC$，
$\therefore △ BCD$的周长$= BC + BD + CD = BC + BD + AD = BC + AB = 3 + 5 = 8$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质对所求三角形的周长进行等量转化，再结合勾股定理列方程求解未知边长，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
3. [2025 扬州仪征期末] 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,CD 为斜边 AB 上的中线,过点 D 作 $DE ⊥ AB$,连接 AE,BE.若 $CD = 8,AE = 10$,则 DE 的长为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
A
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
∵ ∠ACB = 90°, CD 为斜边 AB 上的中线,
∴ AD = CD = 8.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠ADE = 90°,
∴ DE = √(AE² - AD²) = √(10² - 8²) = 6.
解析
【分析】
解题时先梳理题干条件：首先在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，结合直角三角形斜边中线的性质可求出AD的长度；再由DE⊥AB可知△ADE是直角三角形，已知AE和AD的长度，直接利用勾股定理就能计算出DE的长度。
【解析】
∵ ∠ACB = 90°，CD为斜边AB上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得AD = CD = 8。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠ADE = 90°，即△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
$DE = \sqrt{AE^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，考查核心几何性质的直接应用，解题关键是熟练掌握直角三角形的相关性质，结合勾股定理求解线段长度，解题路径清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干条件：首先在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，结合直角三角形斜边中线的性质可求出AD的长度；再由DE⊥AB可知△ADE是直角三角形，已知AE和AD的长度，直接利用勾股定理就能计算出DE的长度。
【解析】
∵ ∠ACB = 90°，CD为斜边AB上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得AD = CD = 8。
∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠ADE = 90°，即△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
$DE = \sqrt{AE^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，考查核心几何性质的直接应用，解题关键是熟练掌握直角三角形的相关性质，结合勾股定理求解线段长度，解题路径清晰。
【难度系数】
0.8
4. 教材 P102T8 变式 [2026 南通海门区期末] 如图，以$\mathrm{Rt}△ ACB$的两边$AB$，$BC$为边向外所作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2$，$10\ \mathrm{cm}^2$，$∠ ACB=90°$，则以另一边$AC$为直径向外所作半圆的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
∵ 以Rt△ACB的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm²,10 cm²,∠ACB = 90°,
∴ AC² = AB² - BC² = 26 - 10 = 16,
∴ 以另一边AC为直径向外所作半圆的面积为$\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2 = \frac{1}{2}π×\frac{16}{4} = 2π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
首先观察到△ACB是直角三角形，向外作的正方形的面积等于对应边长的平方，因此可先借助勾股定理求出AC²的值；再根据半圆的面积公式，把AC作为直径代入，无需单独求出AC的长度，将AC²整体代入计算即可得到半圆的面积。
【解析】
解：
∵以Rt△ACB的两边AB、BC为边向外所作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2$，$10\ \mathrm{cm}^2$，$∠ ACB=90°$，
∴$AB^2=26$，$BC^2=10$，
由勾股定理可得：$AC^2=AB^2-BC^2=26-10=16$，
∵半圆的直径为AC，
∴半圆的半径$r=\frac{AC}{2}$，
则半圆的面积为：
$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{1}{2}π×\frac{AC^2}{4}=\frac{1}{2}π×\frac{16}{4}=2π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；半圆面积计算
【点评】
本题结合勾股定理与常见图形的面积计算考查，解题关键是明确正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，采用整体代入的方法计算可简化运算，无需额外开方求AC的长度。
【难度系数】
0.7
首先观察到△ACB是直角三角形，向外作的正方形的面积等于对应边长的平方，因此可先借助勾股定理求出AC²的值；再根据半圆的面积公式，把AC作为直径代入，无需单独求出AC的长度，将AC²整体代入计算即可得到半圆的面积。
【解析】
解：
∵以Rt△ACB的两边AB、BC为边向外所作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2$，$10\ \mathrm{cm}^2$，$∠ ACB=90°$，
∴$AB^2=26$，$BC^2=10$，
由勾股定理可得：$AC^2=AB^2-BC^2=26-10=16$，
∵半圆的直径为AC，
∴半圆的半径$r=\frac{AC}{2}$，
则半圆的面积为：
$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{1}{2}π×\frac{AC^2}{4}=\frac{1}{2}π×\frac{16}{4}=2π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；半圆面积计算
【点评】
本题结合勾股定理与常见图形的面积计算考查，解题关键是明确正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，采用整体代入的方法计算可简化运算，无需额外开方求AC的长度。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB = BC = CD = DE = EF，∠CBA = ∠DCA = ∠EDA = ∠FEA = 90°，以点A为圆心，AF长为半径画弧交数轴于点P。若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为
-√5
。答案
在Rt△ABC中,AC = √(1² + 1²) = √2,同理,AD = √((√2)² + 1²) = √3,AE = √((√3)² + 1²) = 2,AF = √(2² + 1²) = √5,由题意知AP = AF = √5,
∴ 点P表示的数是 -√5.
∴ 点P表示的数是 -√5.
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：AB=BC=CD=DE=EF=1，题图中所有三角形均为直角三角形，我们可以连续运用勾股定理依次计算出AC、AD、AE、AF的长度；再根据“同圆的半径相等”得到AP=AF，结合点P在原点（点A表示0）的左侧，即可确定点P对应的数。
【解析】
解：由题意得AB=BC=CD=DE=EF=1，所有三角形均为直角三角形。
①在Rt△ABC中，∠CBA=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$；
②在Rt△ADC中，∠DCA=90°，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$；
③在Rt△ADE中，∠EDA=90°，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$；
④在Rt△AEF中，∠FEA=90°，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；
∵以A为圆心，AF长为半径画弧交数轴于P，
∴$AP = AF = \sqrt{5}$，
又
∵点A表示的数为0，点P在A的左侧，
∴点P表示的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，同圆半径相等
【点评】
本题是勾股定理在数轴表示无理数中的典型应用，解题关键是连续利用勾股定理求出AF的长度，同时要注意数轴上原点左侧的数为负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：AB=BC=CD=DE=EF=1，题图中所有三角形均为直角三角形，我们可以连续运用勾股定理依次计算出AC、AD、AE、AF的长度；再根据“同圆的半径相等”得到AP=AF，结合点P在原点（点A表示0）的左侧，即可确定点P对应的数。
【解析】
解：由题意得AB=BC=CD=DE=EF=1，所有三角形均为直角三角形。
①在Rt△ABC中，∠CBA=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$；
②在Rt△ADC中，∠DCA=90°，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$；
③在Rt△ADE中，∠EDA=90°，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$；
④在Rt△AEF中，∠FEA=90°，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；
∵以A为圆心，AF长为半径画弧交数轴于P，
∴$AP = AF = \sqrt{5}$，
又
∵点A表示的数为0，点P在A的左侧，
∴点P表示的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，同圆半径相等
【点评】
本题是勾股定理在数轴表示无理数中的典型应用，解题关键是连续利用勾股定理求出AF的长度，同时要注意数轴上原点左侧的数为负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
6. 教材P102T4变式 [2026南京师大附中新城初级中学月考]如图，$∠ BDC = 90°,AB = 13,AC = 12,BD = 4,CD = 3$,求图中阴影部分的面积.
答案
解:连接BC.
∵ ∠BDC = 90°,BD = 4,CD = 3,
∴ BC = √(BD² + CD²) = √(4² + 3²) = 5.
∵ AB = 13,AC = 12,
∴ AC² + BC² = 12² + 5² = AB²,
∴ △ABC是直角三角形,且∠ACB = 90°,
∴ S阴影 = $\frac{1}{2}AC·BC - \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×3×4 = 30 - 6 = 24$.
∵ ∠BDC = 90°,BD = 4,CD = 3,
∴ BC = √(BD² + CD²) = √(4² + 3²) = 5.
∵ AB = 13,AC = 12,
∴ AC² + BC² = 12² + 5² = AB²,
∴ △ABC是直角三角形,且∠ACB = 90°,
∴ S阴影 = $\frac{1}{2}AC·BC - \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×3×4 = 30 - 6 = 24$.
解析
【分析】
观察可知阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的割补法求解：先连接辅助线BC，首先在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC的长度；再结合已知的AB、AC的长度，通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，分别求出△ABC和Rt△BDC的面积后，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接BC.
∵ ∠BDC = 90°，BD = 4，CD = 3，
∴ 在Rt△BDC中，由勾股定理得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
又
∵ AB = 13，AC = 12，
∴ $AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB = 90°，
∴ $S_{阴影} = S_{△ ABC} - S_{△ BDC} = \frac{1}{2}AC·BC - \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×3×4 = 30 - 6 = 24$.
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理与逆定理综合应用的典型题型，通过构造辅助线将不规则图形的面积转化为两个直角三角形的面积差，能很好地考查学生对定理的掌握程度和辅助线构造的思维能力。
【难度系数】
0.7
观察可知阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的割补法求解：先连接辅助线BC，首先在Rt△BDC中，利用勾股定理求出BC的长度；再结合已知的AB、AC的长度，通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，分别求出△ABC和Rt△BDC的面积后，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接BC.
∵ ∠BDC = 90°，BD = 4，CD = 3，
∴ 在Rt△BDC中，由勾股定理得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
又
∵ AB = 13，AC = 12，
∴ $AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB = 90°，
∴ $S_{阴影} = S_{△ ABC} - S_{△ BDC} = \frac{1}{2}AC·BC - \frac{1}{2}CD·BD = \frac{1}{2}×12×5 - \frac{1}{2}×3×4 = 30 - 6 = 24$.
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理与逆定理综合应用的典型题型，通过构造辅助线将不规则图形的面积转化为两个直角三角形的面积差，能很好地考查学生对定理的掌握程度和辅助线构造的思维能力。
【难度系数】
0.7
7. [2025南京鼓楼区期末]用两种方法证明“垂线段最短”.点P在直线l外,PA⊥l,垂足为A,Q为直线l上不同于点A的任意一点.求证:PA ＜ PQ.
(1)小明的操作是:如图1,延长PA至点B,使得AB = PA,连接BQ……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以通过“勾股定理”来证明,请结合图2完成.
(1)小明的操作是:如图1,延长PA至点B,使得AB = PA,连接BQ……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以通过“勾股定理”来证明,请结合图2完成.
答案
证明:(1)延长PA至点B,使得AB = PA,连接BQ.
在△APQ和△ABQ中, $\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ(SAS),
∴ PQ = BQ.
∵ PQ + BQ ＞ PB,
∴ 2PQ ＞ 2AP,
∴ PA ＜ PQ.
(2)
∵ PA⊥l,
∴ ∠PAQ = 90°,
∴ PQ² = PA² + AQ².
∵ AQ ＞ 0,
∴ PA² ＜ PQ².
又
∵ PA ＞ 0,PQ ＞ 0,
∴ PA ＜ PQ.
在△APQ和△ABQ中, $\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ(SAS),
∴ PQ = BQ.
∵ PQ + BQ ＞ PB,
∴ 2PQ ＞ 2AP,
∴ PA ＜ PQ.
(2)
∵ PA⊥l,
∴ ∠PAQ = 90°,
∴ PQ² = PA² + AQ².
∵ AQ ＞ 0,
∴ PA² ＜ PQ².
又
∵ PA ＞ 0,PQ ＞ 0,
∴ PA ＜ PQ.
解析
【分析】
(1) 小明的方法思路：通过延长PA构造AB=PA，可证明△APQ和△ABQ全等，将PQ转化为BQ，再利用三角形两边之和大于第三边的性质，结合PB=2PA、PQ=BQ的等量关系，推导得出PA＜PQ；
(2) 小芳的方法思路：由PA⊥l可得△PAQ是直角三角形，直接利用勾股定理写出三边的平方关系，结合AQ是不为0的正数，比较PA和PQ的平方大小，再根据线段长度为正，即可得出PA＜PQ的结论。
【解析】
(1) 按照小明的操作证明：
延长PA至点B，使得AB = PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中，
$\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ（SAS），
∴ PQ = BQ。
根据三角形三边关系，PQ + BQ ＞ PB，
又
∵ PB = PA + AB = 2PA，
∴ 2PQ ＞ 2PA，
化简得PA ＜ PQ。
(2) 用勾股定理证明：
∵ PA⊥l，
∴ ∠PAQ = 90°，即△PAQ为直角三角形，
根据勾股定理可得：PQ² = PA² + AQ²。
∵ Q是直线l上不同于A的点，
∴ AQ ＞ 0，
∴ AQ² ＞ 0，因此PA² ＜ PQ²。
又
∵ PA ＞ 0，PQ ＞ 0，
对不等式两边同时开平方得：PA ＜ PQ。
【答案】
(1) 延长PA至点B，使得AB = PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中, $\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ(SAS),
∴ PQ = BQ.
∵ PQ + BQ ＞ PB,
∴ 2PQ ＞ 2AP,
∴ PA ＜ PQ.
(2)
∵ PA⊥l,
∴ ∠PAQ = 90°,
∴ PQ² = PA² + AQ².
∵ AQ ＞ 0,
∴ PA² ＜ PQ².
又
∵ PA ＞ 0,PQ ＞ 0,
∴ PA ＜ PQ.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；勾股定理
【点评】
本题从两种不同的几何角度证明“垂线段最短”的结论，既考查了全等三角形、三角形三边关系的应用，也结合了勾股定理的性质，有助于拓展证明线段不等关系的解题思路，巩固基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 小明的方法思路：通过延长PA构造AB=PA，可证明△APQ和△ABQ全等，将PQ转化为BQ，再利用三角形两边之和大于第三边的性质，结合PB=2PA、PQ=BQ的等量关系，推导得出PA＜PQ；
(2) 小芳的方法思路：由PA⊥l可得△PAQ是直角三角形，直接利用勾股定理写出三边的平方关系，结合AQ是不为0的正数，比较PA和PQ的平方大小，再根据线段长度为正，即可得出PA＜PQ的结论。
【解析】
(1) 按照小明的操作证明：
延长PA至点B，使得AB = PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中，
$\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ（SAS），
∴ PQ = BQ。
根据三角形三边关系，PQ + BQ ＞ PB，
又
∵ PB = PA + AB = 2PA，
∴ 2PQ ＞ 2PA，
化简得PA ＜ PQ。
(2) 用勾股定理证明：
∵ PA⊥l，
∴ ∠PAQ = 90°，即△PAQ为直角三角形，
根据勾股定理可得：PQ² = PA² + AQ²。
∵ Q是直线l上不同于A的点，
∴ AQ ＞ 0，
∴ AQ² ＞ 0，因此PA² ＜ PQ²。
又
∵ PA ＞ 0，PQ ＞ 0，
对不等式两边同时开平方得：PA ＜ PQ。
【答案】
(1) 延长PA至点B，使得AB = PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中, $\begin{cases} AP = AB, \\ ∠PAQ = ∠BAQ, \\ AQ = AQ, \end{cases}$
∴ △APQ≌△ABQ(SAS),
∴ PQ = BQ.
∵ PQ + BQ ＞ PB,
∴ 2PQ ＞ 2AP,
∴ PA ＜ PQ.
(2)
∵ PA⊥l,
∴ ∠PAQ = 90°,
∴ PQ² = PA² + AQ².
∵ AQ ＞ 0,
∴ PA² ＜ PQ².
又
∵ PA ＞ 0,PQ ＞ 0,
∴ PA ＜ PQ.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；勾股定理
【点评】
本题从两种不同的几何角度证明“垂线段最短”的结论，既考查了全等三角形、三角形三边关系的应用，也结合了勾股定理的性质，有助于拓展证明线段不等关系的解题思路，巩固基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
