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8. [2026 南京玄武区四校联考] 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $CD$ 是 $AB$ 边上的高. 若 $AC = a$, $AD = m$, $BD = n$, 则 $a, m, n$ 一定满足的等量关系是 (
A.$a^2 = m^2 + n^2$
B.$a^2 = m^2 + mn$
C.$a^2 = m^2 - mn$
D.$a^2 = mn$
B
)A.$a^2 = m^2 + n^2$
B.$a^2 = m^2 + mn$
C.$a^2 = m^2 - mn$
D.$a^2 = mn$
答案
∵ AD = m,BD = n,
∴ AB = AD + BD = m + n.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ BC² = AB² - AC² = (m + n)² - a².
∵ CD是AB边上的高,
∴ CD⊥AB,
∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°,
∴ CD² = AC² - AD² = a² - m²,
∴ BC² = CD² + BD² = a² - m² + n²,
∴ (m + n)² - a² = a² - m² + n²,整理,得 a² = m² + mn.
解析
【分析】
解题时可利用图中3个直角三角形的勾股定理，以公共边为桥梁建立等量关系推导结论：首先先求出AB的总长度，再分别在两个含BC的直角三角形中用勾股定理表示出BC²，将两个表达式联立后化简，即可得到a、m、n满足的等量关系。
【解析】
解：
∵ AD = m，BD = n，
∴ AB = AD + BD = m + n。
∵ ∠ACB = 90°，在Rt△ABC中由勾股定理可得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (m + n)^2 - a^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°，
在Rt△ACD中由勾股定理可得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = a^2 - m^2$。
在Rt△BCD中由勾股定理可得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = a^2 - m^2 + n^2$。
联立两个$BC^2$的表达式得：
$(m + n)^2 - a^2 = a^2 - m^2 + n^2$，
展开整理：$m^2 + 2mn + n^2 - a^2 = a^2 - m^2 + n^2$，
消去$n^2$后化简可得$a^2 = m^2 + mn$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等量代换；等式化简
【点评】
本题重点考查勾股定理在多个直角三角形中的综合应用，核心是找到可通过不同方式表达的公共边，以此建立等式推导未知关系，对学生的几何定理应用能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时可利用图中3个直角三角形的勾股定理，以公共边为桥梁建立等量关系推导结论：首先先求出AB的总长度，再分别在两个含BC的直角三角形中用勾股定理表示出BC²，将两个表达式联立后化简，即可得到a、m、n满足的等量关系。
【解析】
解：
∵ AD = m，BD = n，
∴ AB = AD + BD = m + n。
∵ ∠ACB = 90°，在Rt△ABC中由勾股定理可得：
$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (m + n)^2 - a^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDA = ∠CDB = 90°，
在Rt△ACD中由勾股定理可得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = a^2 - m^2$。
在Rt△BCD中由勾股定理可得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = a^2 - m^2 + n^2$。
联立两个$BC^2$的表达式得：
$(m + n)^2 - a^2 = a^2 - m^2 + n^2$，
展开整理：$m^2 + 2mn + n^2 - a^2 = a^2 - m^2 + n^2$，
消去$n^2$后化简可得$a^2 = m^2 + mn$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等量代换；等式化简
【点评】
本题重点考查勾股定理在多个直角三角形中的综合应用，核心是找到可通过不同方式表达的公共边，以此建立等式推导未知关系，对学生的几何定理应用能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
9. [2026常州外国语学校期中] 如图，CE是$△ ABC$的角平分线，过点E作$EF // BC$，分别交AC及$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线于点M，F.若$CM=3$，则$CE^2 + CF^2$的值为（
A.36
B.9
C.6
D.18
A
）A.36
B.9
C.6
D.18
答案
∵ CE是∠ACB的平分线,CF是∠ACD的平分线,
∴ ∠ACE = ∠BCE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∠ACF = ∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°,
∴ ∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACD) = $\frac{1}{2}×180° = 90°$,即∠ECF = 90°,
∴ CE² + CF² = EF².
∵ EF // BC,
∴ ∠MEC = ∠BCE, ∠MFC = ∠DCF,
∴ ∠MEC = ∠ACE, ∠MFC = ∠ACF,
∴ EM = CM = 3,FM = CM = 3,
∴ EF = EM + FM = 3 + 3 = 6,
∴ CE² + CF² = 6² = 36.
解析
【分析】
解题时先从角平分线的性质入手判断∠ECF的度数：CE平分△ABC的内角∠ACB，CF平分外角∠ACD，∠ACB与∠ACD组成平角，因此两个角的一半相加为90°，可得∠ECF=90°，即△ECF是直角三角形，根据勾股定理可知CE²+CF²=EF²，接下来只需计算EF的长度即可；再结合EF//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，可推出△EMC和△FMC均为等腰三角形，得到EM=CM、FM=CM，即可求出EF的长度，代入计算就能得到最终结果。
【解析】
∵ CE是∠ACB的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴ ∠ACE = ∠BCE = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF = ∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACD。
∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
∴ ∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACD) = $\frac{1}{2}×180° = 90°$，即∠ECF = 90°，
∴ 在Rt△ECF中，由勾股定理得$CE^2 + CF^2 = EF^2$。
∵ $EF // BC$，
∴ ∠MEC = ∠BCE，∠MFC = ∠DCF，
∴ ∠MEC = ∠ACE，∠MFC = ∠ACF，
∴ $EM = CM = 3$，$FM = CM = 3$，
∴ $EF = EM + FM = 3 + 3 = 6$，
∴ $CE^2 + CF^2 = 6^2 = 36$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是先利用内角、外角平分线的性质推出直角三角形，再结合“平行线+角平分线”的常见几何模型得到等腰三角形，进而求出线段EF的长度，最后用勾股定理计算结果，熟练掌握常见几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从角平分线的性质入手判断∠ECF的度数：CE平分△ABC的内角∠ACB，CF平分外角∠ACD，∠ACB与∠ACD组成平角，因此两个角的一半相加为90°，可得∠ECF=90°，即△ECF是直角三角形，根据勾股定理可知CE²+CF²=EF²，接下来只需计算EF的长度即可；再结合EF//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，可推出△EMC和△FMC均为等腰三角形，得到EM=CM、FM=CM，即可求出EF的长度，代入计算就能得到最终结果。
【解析】
∵ CE是∠ACB的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴ ∠ACE = ∠BCE = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF = ∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACD。
∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，
∴ ∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACD) = $\frac{1}{2}×180° = 90°$，即∠ECF = 90°，
∴ 在Rt△ECF中，由勾股定理得$CE^2 + CF^2 = EF^2$。
∵ $EF // BC$，
∴ ∠MEC = ∠BCE，∠MFC = ∠DCF，
∴ ∠MEC = ∠ACE，∠MFC = ∠ACF，
∴ $EM = CM = 3$，$FM = CM = 3$，
∴ $EF = EM + FM = 3 + 3 = 6$，
∴ $CE^2 + CF^2 = 6^2 = 36$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是先利用内角、外角平分线的性质推出直角三角形，再结合“平行线+角平分线”的常见几何模型得到等腰三角形，进而求出线段EF的长度，最后用勾股定理计算结果，熟练掌握常见几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$BF$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,交$AC$于点$F$,$AC=13$,$AD=12$,$BC=14$,则$DE$的长等于 (
A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{13}{2}$
D.$7$
A
)A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{13}{2}$
D.$7$
答案
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°,
∴ CD = √(AC² - AD²) = √(13² - 12²) = 5,
∴ BD = BC - CD = 14 - 5 = 9.
∵ ∠ADB = 90°,
∴ AB = √(AD² + BD²) = √(12² + 9²) = 15. 如图,过点E作EG⊥AB于点G.
∵ BF平分∠ABC,AD⊥BC,EG⊥AB,
∴ EG = ED. 在Rt△BDE和Rt△BGE中, $\begin{cases} BE = BE, \\ ED = EG, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△BGE(HL),
∴ BG = BD = 9,
∴ AG = AB - BG = 15 - 9 = 6. 设AE = x,则ED = 12 - x,
∴ EG = 12 - x. 在Rt△AGE中,由勾股定理,得 AG² + EG² = AE²,
∴ 6² + (12 - x)² = x²,解得 x = $\frac{15}{2}$,
∴ AE = $\frac{15}{2}$,
∴ DE = AD - AE = 12 - $\frac{15}{2}$ = $\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先利用AD⊥BC的垂直条件，结合已知的AC、AD长度，用勾股定理先求出CD的长，进而得到BD的长度，再次用勾股定理求出AB的长度；接着根据角平分线的性质，过E作EG⊥AB，可得EG=DE，通过HL证明Rt△BDE和Rt△BGE全等，得到BG=BD，从而求出AG的长度；最后设AE为x，用含x的式子表示EG，在Rt△AGE中利用勾股定理列方程求解，即可求出DE的长度。
【解析】
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°,
∴ CD = √(AC² - AD²) = √(13² - 12²) = 5,
∴ BD = BC - CD = 14 - 5 = 9.
∵ ∠ADB = 90°,
∴ AB = √(AD² + BD²) = √(12² + 9²) = 15.
如图,过点E作EG⊥AB于点G.
∵ BF平分∠ABC,AD⊥BC,EG⊥AB,
∴ EG = ED.
在Rt△BDE和Rt△BGE中, $\begin{cases} BE = BE, \\ ED = EG, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△BGE(HL),
∴ BG = BD = 9,
∴ AG = AB - BG = 15 - 9 = 6.
设AE = x,则ED = 12 - x,
∴ EG = 12 - x.
在Rt△AGE中,由勾股定理,得 AG² + EG² = AE²,
∴ 6² + (12 - x)² = x²,解得 x = $\frac{15}{2}$,
∴ AE = $\frac{15}{2}$,
∴ DE = AD - AE = 12 - $\frac{15}{2}$ = $\frac{9}{2}$.
【答案】A
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是几何线段计算的典型题型，将勾股定理、角平分线性质和全等三角形判定结合考查，通过构造辅助线转化相等线段，结合方程思想求解，需要熟练掌握各基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用AD⊥BC的垂直条件，结合已知的AC、AD长度，用勾股定理先求出CD的长，进而得到BD的长度，再次用勾股定理求出AB的长度；接着根据角平分线的性质，过E作EG⊥AB，可得EG=DE，通过HL证明Rt△BDE和Rt△BGE全等，得到BG=BD，从而求出AG的长度；最后设AE为x，用含x的式子表示EG，在Rt△AGE中利用勾股定理列方程求解，即可求出DE的长度。
【解析】
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°,
∴ CD = √(AC² - AD²) = √(13² - 12²) = 5,
∴ BD = BC - CD = 14 - 5 = 9.
∵ ∠ADB = 90°,
∴ AB = √(AD² + BD²) = √(12² + 9²) = 15.
如图,过点E作EG⊥AB于点G.
∵ BF平分∠ABC,AD⊥BC,EG⊥AB,
∴ EG = ED.
在Rt△BDE和Rt△BGE中, $\begin{cases} BE = BE, \\ ED = EG, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△BGE(HL),
∴ BG = BD = 9,
∴ AG = AB - BG = 15 - 9 = 6.
设AE = x,则ED = 12 - x,
∴ EG = 12 - x.
在Rt△AGE中,由勾股定理,得 AG² + EG² = AE²,
∴ 6² + (12 - x)² = x²,解得 x = $\frac{15}{2}$,
∴ AE = $\frac{15}{2}$,
∴ DE = AD - AE = 12 - $\frac{15}{2}$ = $\frac{9}{2}$.
【答案】A
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是几何线段计算的典型题型，将勾股定理、角平分线性质和全等三角形判定结合考查，通过构造辅助线转化相等线段，结合方程思想求解，需要熟练掌握各基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
11. [2024淮安中考]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1. 记这个图形的周长(实线部分)为$ l $，则下列整数与$ l $最接近的是 (
A.14
B.13
C.12
D.11
B
)A.14
B.13
C.12
D.11
答案
两直角边长为1,1的直角三角形的斜边长为√(1² + 1²) = √2,两直角边长为1,√2的直角三角形的斜边长为√(1² + (√2)²) = √3,两直角边长为1,√3的直角三角形的斜边长为√(1² + (√3)²) = √4 = 2,依此类推,可知其余直角三角形的斜边长按顺序分别为√5,√6,√7,√8,3,√10... 海螺图形的周长为1 + 1×9 + √10 = 10 + √10.
∵ 与√10最接近的整数是3,
∴ 与10 + √10最接近的整数是13.
∵ 与√10最接近的整数是3,
∴ 与10 + √10最接近的整数是13.
解析
【分析】
解题时首先观察图形结构，明确周长仅包含实线部分：一是所有长度为1的外围短边，二是最长的那条斜边，内部的虚线斜边不属于周长。接下来思考直角三角形斜边的规律：每个直角三角形都有一条直角边长为1，另一条直角边是前一个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理依次推导每个三角形的斜边长，找到第9个三角形的斜边长度（即最长斜边），最后计算周长并估算数值即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理依次计算每个直角三角形的斜边长：
第1个直角三角形两直角边为1、1，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
第2个直角三角形两直角边为1、$\sqrt{2}$，斜边长为$\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$；
第3个直角三角形两直角边为1、$\sqrt{3}$，斜边长为$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$；
……
以此类推，第k个直角三角形的斜边长为$\sqrt{k+1}$，则9个直角三角形中最长的斜边（第9个的斜边）为$\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
观察周长的组成：外围长度为1的实线边共有10条，长度和为$1×10=10$，再加上最长斜边$\sqrt{10}$，因此周长$l=10+\sqrt{10}$。
估算$\sqrt{10}$：因为$3^2=9$，$3.2^2=10.24$，可知$\sqrt{10}\approx3.16$，因此$l\approx10+3.16=13.16$，最接近的整数是13。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，周长计算，无理数估算
【点评】
本题结合趣味海螺图形考查勾股定理的实际应用，解题的核心是准确识别周长的组成部分，再通过归纳规律得到最长斜边的长度，既考查了基础定理的运用，也锻炼了归纳推理和估算能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察图形结构，明确周长仅包含实线部分：一是所有长度为1的外围短边，二是最长的那条斜边，内部的虚线斜边不属于周长。接下来思考直角三角形斜边的规律：每个直角三角形都有一条直角边长为1，另一条直角边是前一个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理依次推导每个三角形的斜边长，找到第9个三角形的斜边长度（即最长斜边），最后计算周长并估算数值即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理依次计算每个直角三角形的斜边长：
第1个直角三角形两直角边为1、1，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
第2个直角三角形两直角边为1、$\sqrt{2}$，斜边长为$\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$；
第3个直角三角形两直角边为1、$\sqrt{3}$，斜边长为$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$；
……
以此类推，第k个直角三角形的斜边长为$\sqrt{k+1}$，则9个直角三角形中最长的斜边（第9个的斜边）为$\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
观察周长的组成：外围长度为1的实线边共有10条，长度和为$1×10=10$，再加上最长斜边$\sqrt{10}$，因此周长$l=10+\sqrt{10}$。
估算$\sqrt{10}$：因为$3^2=9$，$3.2^2=10.24$，可知$\sqrt{10}\approx3.16$，因此$l\approx10+3.16=13.16$，最接近的整数是13。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，周长计算，无理数估算
【点评】
本题结合趣味海螺图形考查勾股定理的实际应用，解题的核心是准确识别周长的组成部分，再通过归纳规律得到最长斜边的长度，既考查了基础定理的运用，也锻炼了归纳推理和估算能力。
【难度系数】
0.65
12. [2026 徐州三校联考] 如图,在四边形ABCD中,∠BAD = ∠BCD = 90°,M,N分别是对角线BD,AC的中点.若AC = 6,BD = 8,则MN的长为
√7
.答案
如图,连接AM,CM.
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,M是BD的中点,
∴ AM = CM = $\frac{1}{2}$BD = 4. 又
∵ N是AC的中点,
∴ MN⊥AC,AN = CN = $\frac{1}{2}$AC = 3. 在Rt△ANM中,由勾股定理,得 MN² = AM² - AN² = 4² - 3² = 7,
∴ MN = √7.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知两个直角三角形共斜边BD，且M是BD中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此连接AM、CM，可证得AM=CM，即△AMC为等腰三角形；再结合N是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得MN⊥AC，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出MN的长度。
【解析】
解：如图，连接AM，CM。
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，M是BD的中点，
∴ AM = $\frac{1}{2}$BD，CM = $\frac{1}{2}$BD，即AM = CM = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
∵ N是AC的中点，
∴ MN⊥AC，AN = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△ANM中，由勾股定理得：
MN² = AM² - AN² = 4² - 3² = 16 - 9 = 7，
∴ MN = $\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和特殊三角形的性质结合起来求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征，已知两个直角三角形共斜边BD，且M是BD中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此连接AM、CM，可证得AM=CM，即△AMC为等腰三角形；再结合N是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得MN⊥AC，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出MN的长度。
【解析】
解：如图，连接AM，CM。
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，M是BD的中点，
∴ AM = $\frac{1}{2}$BD，CM = $\frac{1}{2}$BD，即AM = CM = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
∵ N是AC的中点，
∴ MN⊥AC，AN = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△ANM中，由勾股定理得：
MN² = AM² - AN² = 4² - 3² = 16 - 9 = 7，
∴ MN = $\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和特殊三角形的性质结合起来求解，熟练掌握特殊三角形的性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.6
13. [2025 盐城中学月考]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC = 90°,AB = 3,AC = 5$,点$D$是$AC$边上的动点,点$E$是$BC$边上的动点,且保持$CD = BE$,则$(AE + BD)^2$的最小值为
43
.答案
如图,过点B作BF//AC,使BF = BC,连接EF,AF.
∵ BF//AC,
∴ ∠C = ∠EBF. 又
∵ BC = BF,CD = BE,
∴ △CDB≌△BEF(SAS),
∴ BD = EF,
∴ AE + BD = AE + EF,
∴ 当A,E,F三点共线时,AE + BD的值最小,最小值为AF的长.
∵ BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 5²) = √34,
∴ BF = BC = √34.
∵ BF//AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠ABF = 90°,
∴ AF = √(AB² + BF²) = √(3² + (√34)²) = √43,
∴ (AE + BD)²的最小值为(√43)² = 43.
解析
【分析】
要求$(AE + BD)^2$的最小值，本质是先求$AE+BD$的最小值。对于两条无公共端点的线段和最小问题，可利用转化思想，结合已知$CD=BE$的条件构造全等三角形，将$BD$转化为与之相等的线段，把待求线段和变为有公共端点的两条线段之和，再根据“两点之间线段最短”确定最小值的位置，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
过点$B$作$BF// AC$，使$BF = BC$，连接$EF$，$AF$。
1. 构造全等转化线段：
$\because BF// AC$，$\therefore ∠ C = ∠ EBF$。
在$△ CDB$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}CD = BE\\∠ C = ∠ EBF\\BC = BF\end{cases}$
$\therefore △ CDB≌△ BEF(\mathrm{SAS})$，$\therefore BD = EF$，则$AE + BD = AE + EF$。
根据两点之间线段最短，当$A、E、F$三点共线时，$AE + EF$的值最小，最小值为$AF$的长度。
2. 用勾股定理计算线段长：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$，$\therefore BF = BC = \sqrt{34}$。
$\because BF// AC$，$∠ BAC=90°$即$AB⊥ AC$，$\therefore AB⊥ BF$，$∠ ABF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{34})^2} = \sqrt{43}$。
3. 求最终结果：
$\therefore (AE + BD)^2$的最小值为$(\sqrt{43})^2 = 43$。
【答案】
43
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题侧重考查几何最值问题中的转化思想，解题的关键是结合已知条件构造全等三角形实现线段转化，将分散的线段和转化为可求的最短距离，同时需要熟练运用勾股定理计算线段长度，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要求$(AE + BD)^2$的最小值，本质是先求$AE+BD$的最小值。对于两条无公共端点的线段和最小问题，可利用转化思想，结合已知$CD=BE$的条件构造全等三角形，将$BD$转化为与之相等的线段，把待求线段和变为有公共端点的两条线段之和，再根据“两点之间线段最短”确定最小值的位置，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
过点$B$作$BF// AC$，使$BF = BC$，连接$EF$，$AF$。
1. 构造全等转化线段：
$\because BF// AC$，$\therefore ∠ C = ∠ EBF$。
在$△ CDB$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}CD = BE\\∠ C = ∠ EBF\\BC = BF\end{cases}$
$\therefore △ CDB≌△ BEF(\mathrm{SAS})$，$\therefore BD = EF$，则$AE + BD = AE + EF$。
根据两点之间线段最短，当$A、E、F$三点共线时，$AE + EF$的值最小，最小值为$AF$的长度。
2. 用勾股定理计算线段长：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$，$\therefore BF = BC = \sqrt{34}$。
$\because BF// AC$，$∠ BAC=90°$即$AB⊥ AC$，$\therefore AB⊥ BF$，$∠ ABF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{34})^2} = \sqrt{43}$。
3. 求最终结果：
$\therefore (AE + BD)^2$的最小值为$(\sqrt{43})^2 = 43$。
【答案】
43
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题侧重考查几何最值问题中的转化思想，解题的关键是结合已知条件构造全等三角形实现线段转化，将分散的线段和转化为可求的最短距离，同时需要熟练运用勾股定理计算线段长度，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
14. 推理能力 [2026 盐城阜宁期中] 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$. 如图1，当$∠ C=90°$时，$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)如图2，当$∠ C ＜ 90°$时，小明猜想 $a^2 + b^2 ＞ c^2$. 理由如下：过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，则$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$. 设$CD = x$……完成小明的证明过程；
(2)如图3，当$∠ C ＞ 90°$时，猜想 $a^2 + b^2$ 与 $c^2$ 的大小关系，并证明你的猜想.
(1)如图2，当$∠ C ＜ 90°$时，小明猜想 $a^2 + b^2 ＞ c^2$. 理由如下：过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D，则$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$. 设$CD = x$……完成小明的证明过程；
(2)如图3，当$∠ C ＞ 90°$时，猜想 $a^2 + b^2$ 与 $c^2$ 的大小关系，并证明你的猜想.
答案
解:(1)过点A作AD ⊥ BC,垂足为 D,则∠ADC = ∠ADB = 90°.
设CD = x,则BD = a - x,
由勾股定理,得 AD² = AC² - CD² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a - x)²,
∴ b² - x² = c² - (a - x)²,
∴ a² + b² = c² + 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＞ c².
(2)当∠C ＞ 90°时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b² ＜ c².
证明:如图,过点A作AD ⊥ BC,交BC的延长线于点D,则∠D = 90°.
设CD = x,则BD = a + x. 由勾股定理,得 AD² = AC² - DC² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴ b² - x² = c² - (a + x)²,
∴ a² + b² = c² - 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＜ c².
解析
【分析】
（1）要证明∠C＜90°时a²+b²＞c²，首先通过作高将锐角三角形拆分为两个直角三角形，利用勾股定理分别表示公共高AD的平方，得到关于a、b、c、x的等式，展开整理后结合a＞0、x＞0的条件，即可判断二者的大小关系；
（2）当∠C＞90°时，类比第一问的思路，过点A作BC延长线的垂线构造直角三角形，同样用勾股定理表示高AD的平方，整理等式后结合a、x为正数的条件，就能推导出a²+b²与c²的大小关系。
【解析】
(1) 过点A作AD ⊥ BC，垂足为 D，则∠ADC = ∠ADB = 90°。
设CD = x，则BD = a - x，
由勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - x^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = c^2 - (a - x)^2$，
∴ $b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2$，
展开右侧并整理得：$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$，
∵ $a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴ $2ax ＞ 0$，
∴ $a^2 + b^2 ＞ c^2$。
(2) 当∠C ＞ 90°时，$a^2 + b^2 ＜ c^2$，证明如下：
过点A作AD ⊥ BC，交BC的延长线于点D，则∠D = 90°。
设CD = x，则BD = a + x。
由勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - DC^2 = b^2 - x^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = c^2 - (a + x)^2$，
∴ $b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2$，
展开右侧并整理得：$a^2 + b^2 = c^2 - 2ax$，
∵ $a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴ $2ax ＞ 0$，
∴ $a^2 + b^2 ＜ c^2$。
【答案】
解:(1)过点A作AD ⊥ BC,垂足为 D,则∠ADC = ∠ADB = 90°.
设CD = x,则BD = a - x,
由勾股定理,得 AD² = AC² - CD² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a - x)²,
∴ b² - x² = c² - (a - x)²,
∴ a² + b² = c² + 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＞ c².
(2)当∠C ＞ 90°时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b² ＜ c².
证明:如图,过点A作AD ⊥ BC,交BC的延长线于点D,则∠D = 90°.
设CD = x,则BD = a + x. 由勾股定理,得 AD² = AC² - DC² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴ b² - x² = c² - (a + x)²,
∴ a² + b² = c² - 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＜ c².
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式基本性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，核心是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理建立等式推导三边平方的关系，渗透了转化的数学思想，有助于理解不同类型三角形的三边平方关系规律。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠C＜90°时a²+b²＞c²，首先通过作高将锐角三角形拆分为两个直角三角形，利用勾股定理分别表示公共高AD的平方，得到关于a、b、c、x的等式，展开整理后结合a＞0、x＞0的条件，即可判断二者的大小关系；
（2）当∠C＞90°时，类比第一问的思路，过点A作BC延长线的垂线构造直角三角形，同样用勾股定理表示高AD的平方，整理等式后结合a、x为正数的条件，就能推导出a²+b²与c²的大小关系。
【解析】
(1) 过点A作AD ⊥ BC，垂足为 D，则∠ADC = ∠ADB = 90°。
设CD = x，则BD = a - x，
由勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = b^2 - x^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = c^2 - (a - x)^2$，
∴ $b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2$，
展开右侧并整理得：$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$，
∵ $a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴ $2ax ＞ 0$，
∴ $a^2 + b^2 ＞ c^2$。
(2) 当∠C ＞ 90°时，$a^2 + b^2 ＜ c^2$，证明如下：
过点A作AD ⊥ BC，交BC的延长线于点D，则∠D = 90°。
设CD = x，则BD = a + x。
由勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - DC^2 = b^2 - x^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = c^2 - (a + x)^2$，
∴ $b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2$，
展开右侧并整理得：$a^2 + b^2 = c^2 - 2ax$，
∵ $a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴ $2ax ＞ 0$，
∴ $a^2 + b^2 ＜ c^2$。
【答案】
解:(1)过点A作AD ⊥ BC,垂足为 D,则∠ADC = ∠ADB = 90°.
设CD = x,则BD = a - x,
由勾股定理,得 AD² = AC² - CD² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a - x)²,
∴ b² - x² = c² - (a - x)²,
∴ a² + b² = c² + 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＞ c².
(2)当∠C ＞ 90°时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b² ＜ c².
证明:如图,过点A作AD ⊥ BC,交BC的延长线于点D,则∠D = 90°.
设CD = x,则BD = a + x. 由勾股定理,得 AD² = AC² - DC² = b² - x²,AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴ b² - x² = c² - (a + x)²,
∴ a² + b² = c² - 2ax.
∵ a ＞ 0,x ＞ 0,
∴ 2ax ＞ 0,
∴ a² + b² ＜ c².
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式基本性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，核心是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理建立等式推导三边平方的关系，渗透了转化的数学思想，有助于理解不同类型三角形的三边平方关系规律。
【难度系数】
0.6
