1. 如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点,则蚂蚁爬行的最短距离为 ()

A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.15 cm

将长方体的侧面展开,如图,连接PQ,由两点之间线段最短,知PQ的长即为所求的最短距离. 由题意,知 PA = 2 × (4 + 2) = 12( cm), QA = 5 cm. 在Rt△PAQ中,由勾股定理,得PQ² = PA² + QA² = 12² + 5² = 13²,故 PQ = 13 cm.

【分析】
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，核心思路是把立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，将折线的最短路径转化为平面上两点连线的线段长度，再通过勾股定理计算该线段的长度即可。首先需明确蚂蚁爬行经过4个侧面一周，所以侧面展开后，水平方向的长度等于底面长方形的周长的对应长度，竖直方向的长度等于长方体的高，构造直角三角形即可求解。
【解析】
将长方体的侧面沿侧棱展开，得到对应的平面图形，连接PQ，根据两点之间线段最短，可知PQ的长度就是蚂蚁爬行的最短距离。
由题意可得，展开后水平方向的边长$PA = 2×(4+2) = 12\ \mathrm{cm}$，竖直方向的边长$QA = 5\ \mathrm{cm}$，且$∠ PAQ = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PAQ$中，根据勾股定理：
$PQ^2 = PA^2 + QA^2$
代入数值计算：$PQ^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$
所以$PQ = 13\ \mathrm{cm}$。
【答案】C

【知识点】
最短路径问题；勾股定理；长方体侧面展开
【点评】
本题考查勾股定理在最短路径问题中的实际应用，解题的关键是正确将立体图形展开为平面图形，将空间爬行路径转化为平面内的线段长度，计算时要准确对应展开后各边的实际长度，避免出现水平方向长度计算错误的问题。
【难度系数】
0.7

2. [2025宿迁崇文初级中学模拟]如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（）

A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
C.3
D.4

将立体图形展开有两种不同的方式. 如图1,由勾股定理,得 AB = $\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. 如图2,由勾股定理,得 AB = $\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$. $\because \sqrt{17}＞\sqrt{13}$,$\therefore$ 最短路径的长是$\sqrt{13}$.

【分析】
要解决几何体表面的最短路径问题，首先需要将立体图形的表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”的原理，展开后A、B两点连线的长度就是对应展开方式下的最短路径长度。本题需考虑所有可能的展开方式，分别计算每种展开方式下AB的长度，再比较大小得到最小值。
【解析】
要得到从点A到点B的最短路径，需将几何体的表面展开为平面，共有两种不同的展开方式：
1. 按图1方式展开：
此时A、B两点所在直角三角形的两条直角边长分别为3、2，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
2. 按图2方式展开：
此时A、B两点所在直角三角形的两条直角边长分别为4、1，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
比较两个结果：$\sqrt{17}＞\sqrt{13}$，因此最短路径的长是$\sqrt{13}$。
【答案】
A

【知识点】
立体图形展开、两点之间线段最短、勾股定理应用
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题核心是将立体问题转化为平面问题求解，需要注意梳理所有可能的展开方式，避免遗漏展开情况导致结果错误。
【难度系数】
0.6

3. [2026西安浐灞国际港四中月考] 如图,有一个圆柱体礼盒,高为18 cm,底面周长为12 cm.现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰,若彩带一端粘在A处,另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处(B为AC的中点),则彩带最短为 ()


A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.30 cm
拍批+错题本

展开后的图形如图所示,连接AB,B'C,则B'C = AB.
$\because$ 底面周长为 12 cm,高为 18 cm,$\therefore AD = 12 \mathrm{ cm},BD = \frac{1}{2} × 18 = 9(\mathrm{cm}),∠ D = 90°$. 由勾股定理,得 AB = 15 cm,故绕礼盒侧面 2 周后彩带最短为 $AB + B'C = 2AB = 15 × 2 = 30(\mathrm{cm})$.

【分析】
要求圆柱侧面上绕2周的彩带最短长度，需将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”将曲面上的路径转化为平面内的线段长度。本题中彩带绕侧面2周，可将路径拆分为两段相等的最短路径（对应绕1周的路径），每段路径可作为直角三角形的斜边，用勾股定理计算即可。
【解析】
将圆柱侧面展开，连接对应线段AB、B'C，可得$B'C = AB$。
已知底面周长为12 cm，即展开后水平方向的边长$AD = 12\mathrm{ cm}$；圆柱总高为18 cm，彩带绕2周，因此每段路径对应的竖直高度$BD = \frac{1}{2} × 18 = 9(\mathrm{cm})$，且$∠ D = 90°$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\mathrm{ cm}$
因此绕礼盒侧面2周的彩带最短长度为$AB + B'C = 2AB = 2×15 = 30(\mathrm{cm})$。
【答案】
D.30 cm

【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的常考题型，解题核心是将曲面转化为平面，解题时要注意绕多周时对应展开图的边长计算，避免错把总高直接作为直角边代入计算。
【难度系数】
0.7

4. [2026深圳红岭教育集团华富中学期中]
如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.（杯壁厚度不计）

如图,将玻璃杯侧面的一半展开,作点 B 关于 EF 的对称点 B',作$B'D ⊥ AE$,交 AE 的延长线于点 D,连接 AB'. 由题意,得 $DE = \frac{1}{2}BB' = 1 \mathrm{ cm},AE = 9 - 4 = 5(\mathrm{cm}),\therefore AD = AE + DE = 6 \mathrm{ cm}$. $\because$ 玻璃杯的底面周长为 16 cm,$\therefore B'D = \frac{1}{2} × 16 = 8(\mathrm{cm}),\therefore AB'^2 = AD^2 + B'D^2 = 100,\therefore AB' = 10 \mathrm{ cm}$. 由两点之间线段最短,可知蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 10 cm.

【分析】
解决圆柱表面的最短路径问题，核心是将立体曲面转化为平面图形，结合“两点之间线段最短”确定最短路径，再用勾股定理计算长度。首先将圆柱侧面展开为长方形，由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，需要作点B关于杯上沿的对称点B'，此时B到A的最短路径等价于B'到A的线段长度，最后计算直角三角形的斜边即可得到结果。
【解析】
将玻璃杯侧面的一半展开，作点B关于EF（杯上沿展开后的线段）的对称点B'，作$B'D ⊥ AE$，交AE的延长线于点D，连接AB'。
由题意计算各线段长度：
1. 杯高9cm，A离杯底4cm，因此$AE = 9 - 4 = 5\mathrm{cm}$；
2. B离杯上沿1cm，对称后$DE = 1\mathrm{cm}$，因此$AD = AE + DE = 5 + 1 = 6\mathrm{cm}$；
3. 底面周长为16cm，侧面展开一半的水平长度为底面周长的一半，即$B'D = \frac{1}{2} × 16 = 8\mathrm{cm}$。
在$Rt△ AB'D$中，根据勾股定理：
$AB'^2 = AD^2 + B'D^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，解得$AB' = 10\mathrm{cm}$。
根据两点之间线段最短，蚂蚁从外壁B到内壁A的最短路程为AB'的长度。
【答案】
10
【知识点】
圆柱侧面展开，最短路径问题，勾股定理应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，正确构造对称点将内外壁路径转化为同一平面内的线段，做题时要注意区分展开后各线段对应的实际长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

5. 如图，A,B是公路l(l为东西走向)同旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC = 2 km，B村到公路l的距离BD = 4 km，CD = 8 km.
(1)求出A,B两村之间距离的平方的值；
(2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小，求此时的MA + MB的值；
(3)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置.(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法)

解:(1)如图1,连接AB,过点 A 作 $AE ⊥ BD$ 于点 E,则 $AE = CD = 8 \mathrm{ km},DE = AC = 2 \mathrm{ km},\therefore BE = BD - DE = 2 \mathrm{ km}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得 $AB^2 = AE^2 + BE^2 = 8^2 + 2^2 = 68$,
$\therefore A,B$ 两村之间距离的平方的值为 68.
(2)如图2,作点 A 关于直线 l 的对称点 $A'$,连接 $A'B$ 交直线 l 于点 M,则点 M 即为所求作的点,此时 $MA + MB$ 的值最小,为 $A'B$ 的长.
过点 $A'$ 作 $A'F ⊥ BD$,交 BD 的延长线于点 F,
则 $BF = BD + DF = BD + A'C = BD + AC = 4 + 2 = 6(\mathrm{km})$,
$A'F = CD = 8 \mathrm{ km}$.
在$\mathrm{Rt}△ A'BF$中,由勾股定理,得 $A'B^2 = 8^2 + 6^2 = 100$,
$\therefore A'B = 10 \mathrm{ km}$,此时 $MA + MB$ 的值为 10 km.
(3)如图3,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 GH,交直线 l 于点 P,连接 PA,PB,则 $PA = PB$,$\therefore$ 点 P 即为所求.

【分析】
(1) 求A、B两村距离的平方，可通过作辅助线构造直角三角形，将AB作为直角三角形的斜边，利用已知的水平距离CD和两村到公路的高度差，结合勾股定理计算即可。
(2) 公路l上找一点M使MA+MB最小，属于同侧两点的最短路径问题，可利用“将军饮马”模型，作其中一个点关于l的对称点，将距离和转化为对称点到另一点的线段长度，再构造直角三角形用勾股定理计算。
(3) 到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此只需作AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为所求的点P，按照尺规作垂直平分线的方法操作即可。
【解析】
(1) 如图1，连接AB，过点A作$AE ⊥ BD$于点E，四边形ACDE为矩形，因此$AE = CD = 8 \mathrm{ km},DE = AC = 2 \mathrm{ km}$，可得$BE = BD - DE = 4-2=2 \mathrm{ km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 8^2 + 2^2 = 68$。
(2) 如图2，作点A关于直线l的对称点$A'$，连接$A'B$交直线l于点M，由轴对称性质得$MA=MA'$，因此$MA + MB=MA'+MB=A'B$，此时距离和最小。
过点$A'$作$A'F ⊥ BD$，交BD的延长线于点F，四边形$A'CDF$为矩形，因此$A'F = CD = 8 \mathrm{ km}$，$DF=A'C=AC=2\mathrm{km}$，可得$BF = BD + DF = 4 + 2 = 6(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△ A'BF$中，由勾股定理得：$A'B^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，因此$A'B = 10 \mathrm{ km}$，即$MA+MB=10\mathrm{km}$。
(3) 作图步骤：①连接AB；②分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于G、H两点；③作直线GH，交直线l于点P，点P即为所求。
【答案】
(1) A,B两村之间距离的平方的值为68；
(2) 此时$MA + MB$的值为10 km；
(3) 点P位置如图所示：

【知识点】
勾股定理，最短路径问题，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了几何知识的应用，既需要熟练运用勾股定理计算线段长度，也需要掌握最短路径模型和垂直平分线的作图方法，是几何应用类的典型习题，能够锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7