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台风是以台风中心为圆心,可以在周围上千米的范围内形成的极端气候,有极强的破坏力.某市夏季受到台风天气的影响,如图1,点A为该市的某观测站,点C为该市的某海港,此时观测到有一台风中心B在观测站A的正东方向正继续向西移动.
(1)若$AC=300\ \mathrm{km}$,$BC=400\ \mathrm{km}$,$AB=500\ \mathrm{km}$,判断$△ ABC$的形状.
(2)在(1)的条件下,若以台风中心为圆心,周围$250\ \mathrm{km}$以内为受影响区域,则海港C受台风影响吗?并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若台风的速度为$35\ \mathrm{km/h}$,则台风影响海港C的持续时间有多长?
(1)若$AC=300\ \mathrm{km}$,$BC=400\ \mathrm{km}$,$AB=500\ \mathrm{km}$,判断$△ ABC$的形状.
(2)在(1)的条件下,若以台风中心为圆心,周围$250\ \mathrm{km}$以内为受影响区域,则海港C受台风影响吗?并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若台风的速度为$35\ \mathrm{km/h}$,则台风影响海港C的持续时间有多长?
答案
(1)$\because AB=500\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AC=300\ \mathrm{km}$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)海港C受台风影响.理由如下:
如图1,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}CD · AB$,
$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=240\ \mathrm{km}$.
$\because$ 以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
$\therefore$ 海港 C 受台风影响.
(3)如图 1,当 $EC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始影响海港 C,当 $FC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始不影响海港 C.
$\because ED^2=EC^2-CD^2=4\ 900$,$\therefore ED=70\ \mathrm{km}$,
$\therefore EF=2ED=140\ \mathrm{km}$.
$\because$ 台风的速度为 $35\ \mathrm{km/h}$,$\therefore 140 ÷ 35=4(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 台风影响海港 C 的持续时间为 4 h.
解析
【分析】
(1) 已知三角形三边的长度，判断形状时优先考虑勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可得出结论。
(2) 要判断海港C是否受台风影响，本质是比较点C到台风移动路径AB的最短距离与250km受影响半径的大小。根据垂线段最短，过C作AB的垂线段CD，用面积法计算CD的长度，若CD小于250km则受影响，反之不受影响。
(3) 求台风影响的持续时间，先找到台风刚好开始影响、刚好结束影响时的位置，即到C点距离等于250km的两个点，两点间的距离就是台风影响阶段移动的路程，再结合“时间=路程÷速度”即可求解，路程长度可通过勾股定理计算得到。
【解析】
(1) 已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$AC^2=300^2=90000$，$BC^2=400^2=160000$，$AB^2=500^2=250000$，
因此$AC^2+BC^2=90000+160000=250000=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
(2) 海港C受台风影响，理由如下：
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}CD· AB$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}CD· AB$，
代入数值计算得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{km}$，
因为$240\ \mathrm{km}＜250\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离小于受影响半径，所以海港C受台风影响。
(3) 当台风中心移动到点E时，$EC=250\ \mathrm{km}$，台风开始影响海港C；当台风中心移动到点F时，$FC=250\ \mathrm{km}$，台风结束影响海港C。
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=EC^2-CD^2=250^2-240^2=4900$，因此$ED=70\ \mathrm{km}$，
同理$FD=70\ \mathrm{km}$，所以影响路径长度$EF=2ED=140\ \mathrm{km}$，
已知台风速度为$35\ \mathrm{km/h}$，则影响持续时间为$140÷35=4(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)$\because AB=500\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AC=300\ \mathrm{km}$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)海港C受台风影响.理由如下:
如图1,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}CD · AB$,
$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=240\ \mathrm{km}$.
$\because$ 以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
$\therefore$ 海港 C 受台风影响.
(3)如图 1,当 $EC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始影响海港 C,当 $FC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始不影响海港 C.
$\because ED^2=EC^2-CD^2=4\ 900$,$\therefore ED=70\ \mathrm{km}$,
$\therefore EF=2ED=140\ \mathrm{km}$.
$\because$ 台风的速度为 $35\ \mathrm{km/h}$,$\therefore 140 ÷ 35=4(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 台风影响海港 C 的持续时间为 4 h.
【知识点】
勾股定理及逆定理；垂线段最短；行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，解题时需灵活运用面积法、勾股定理求解，能够很好地锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知三角形三边的长度，判断形状时优先考虑勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可得出结论。
(2) 要判断海港C是否受台风影响，本质是比较点C到台风移动路径AB的最短距离与250km受影响半径的大小。根据垂线段最短，过C作AB的垂线段CD，用面积法计算CD的长度，若CD小于250km则受影响，反之不受影响。
(3) 求台风影响的持续时间，先找到台风刚好开始影响、刚好结束影响时的位置，即到C点距离等于250km的两个点，两点间的距离就是台风影响阶段移动的路程，再结合“时间=路程÷速度”即可求解，路程长度可通过勾股定理计算得到。
【解析】
(1) 已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$AC^2=300^2=90000$，$BC^2=400^2=160000$，$AB^2=500^2=250000$，
因此$AC^2+BC^2=90000+160000=250000=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
(2) 海港C受台风影响，理由如下：
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}CD· AB$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}CD· AB$，
代入数值计算得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{km}$，
因为$240\ \mathrm{km}＜250\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离小于受影响半径，所以海港C受台风影响。
(3) 当台风中心移动到点E时，$EC=250\ \mathrm{km}$，台风开始影响海港C；当台风中心移动到点F时，$FC=250\ \mathrm{km}$，台风结束影响海港C。
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=EC^2-CD^2=250^2-240^2=4900$，因此$ED=70\ \mathrm{km}$，
同理$FD=70\ \mathrm{km}$，所以影响路径长度$EF=2ED=140\ \mathrm{km}$，
已知台风速度为$35\ \mathrm{km/h}$，则影响持续时间为$140÷35=4(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)$\because AB=500\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AC=300\ \mathrm{km}$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)海港C受台风影响.理由如下:
如图1,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}CD · AB$,
$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=240\ \mathrm{km}$.
$\because$ 以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
$\therefore$ 海港 C 受台风影响.
(3)如图 1,当 $EC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始影响海港 C,当 $FC=250\ \mathrm{km}$ 时,台风开始不影响海港 C.
$\because ED^2=EC^2-CD^2=4\ 900$,$\therefore ED=70\ \mathrm{km}$,
$\therefore EF=2ED=140\ \mathrm{km}$.
$\because$ 台风的速度为 $35\ \mathrm{km/h}$,$\therefore 140 ÷ 35=4(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 台风影响海港 C 的持续时间为 4 h.
【知识点】
勾股定理及逆定理；垂线段最短；行程问题计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，解题时需灵活运用面积法、勾股定理求解，能够很好地锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(4)在海港C的水平地面上有许多图案,图2是其中之一,它可以看成是由四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,如图3,若图形ABCDEFGH的周长为80 m,OB=5 m,求该图形的面积S.
答案
由题意,得 $AB+BC=80 ÷ 4=20(\mathrm{m})$.
设 $AH=BC=x\ \mathrm{m}$,则 $AB=(20-x)\ \mathrm{m}$.
$\because OH=OB=5\ \mathrm{m}$,$\therefore AO=(5+x)\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,由勾股定理,得 $OB^2+OA^2=AB^2$,
$\therefore 5^2+(5+x)^2=(20-x)^2$,解得 $x=7$,
$\therefore OA=12\ \mathrm{m}$,$\therefore S=\frac{1}{2} × 5 × 12 × 4=120(\mathrm{m}^2)$.
故该图形的面积 S 是 $120\ \mathrm{m}^2$.
设 $AH=BC=x\ \mathrm{m}$,则 $AB=(20-x)\ \mathrm{m}$.
$\because OH=OB=5\ \mathrm{m}$,$\therefore AO=(5+x)\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,由勾股定理,得 $OB^2+OA^2=AB^2$,
$\therefore 5^2+(5+x)^2=(20-x)^2$,解得 $x=7$,
$\therefore OA=12\ \mathrm{m}$,$\therefore S=\frac{1}{2} × 5 × 12 × 4=120(\mathrm{m}^2)$.
故该图形的面积 S 是 $120\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
首先观察图形特征，该图形由4个全等的直角三角形无缝拼接而成，因此图形的周长可平均分为4组，每组长度对应AB+BC的和。已知OB=5m，根据全等三角形的性质可得OH=OB=5m，我们可以设AH=BC=x m，进而用含x的式子表示出OA和AB的长度，再在Rt△AOB中利用勾股定理建立方程求解x，得到直角三角形的两条直角边长后，计算4个直角三角形的面积和即可得到该图形的面积。
【解析】
解：由题意可知图形由4个全等直角三角形拼接而成，因此：
$AB+BC=80÷4=20(\mathrm{m})$
设 $AH=BC=x\ \mathrm{m}$，则 $AB=(20-x)\ \mathrm{m}$
$\because$ 三角形全等，$\therefore OH=OB=5\ \mathrm{m}$，则 $AO=AH+OH=(5+x)\ \mathrm{m}$
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中，根据勾股定理：$OB^2+OA^2=AB^2$
代入数据得：$5^2+(5+x)^2=(20-x)^2$
展开计算：$25+25+10x+x^2=400-40x+x^2$
移项合并同类项：$50x=350$，解得 $x=7$
$\therefore OA=5+7=12\ \mathrm{m}$
单个直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}× OB× OA=\frac{1}{2}×5×12=30(\mathrm{m}^2)$
该图形面积为4个直角三角形面积和：$S=30×4=120(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$\boxed{120\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形性质，列方程解应用题
【点评】
本题结合图形拼接问题，综合考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及方程思想，解题的关键是通过周长条件和全等性质梳理出各边长的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解，解题时需注意准确识别直角三角形的直角边和斜边，避免列错等式。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征，该图形由4个全等的直角三角形无缝拼接而成，因此图形的周长可平均分为4组，每组长度对应AB+BC的和。已知OB=5m，根据全等三角形的性质可得OH=OB=5m，我们可以设AH=BC=x m，进而用含x的式子表示出OA和AB的长度，再在Rt△AOB中利用勾股定理建立方程求解x，得到直角三角形的两条直角边长后，计算4个直角三角形的面积和即可得到该图形的面积。
【解析】
解：由题意可知图形由4个全等直角三角形拼接而成，因此：
$AB+BC=80÷4=20(\mathrm{m})$
设 $AH=BC=x\ \mathrm{m}$，则 $AB=(20-x)\ \mathrm{m}$
$\because$ 三角形全等，$\therefore OH=OB=5\ \mathrm{m}$，则 $AO=AH+OH=(5+x)\ \mathrm{m}$
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中，根据勾股定理：$OB^2+OA^2=AB^2$
代入数据得：$5^2+(5+x)^2=(20-x)^2$
展开计算：$25+25+10x+x^2=400-40x+x^2$
移项合并同类项：$50x=350$，解得 $x=7$
$\therefore OA=5+7=12\ \mathrm{m}$
单个直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}× OB× OA=\frac{1}{2}×5×12=30(\mathrm{m}^2)$
该图形面积为4个直角三角形面积和：$S=30×4=120(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$\boxed{120\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形性质，列方程解应用题
【点评】
本题结合图形拼接问题，综合考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及方程思想，解题的关键是通过周长条件和全等性质梳理出各边长的数量关系，再利用勾股定理建立方程求解，解题时需注意准确识别直角三角形的直角边和斜边，避免列错等式。
【难度系数】
0.6
(5)图4是海港C附近的江滩台阶，共有8级，每一级的长、宽、高分别为30 dm，3 dm，2 dm，图5是其示意图。已知D和E是该台阶上两个相对的点，若点D处有一只乌龟，当台风来临时，为快速爬到点E处的绿植中躲避台风，求该乌龟沿台阶面爬到点E的最短路程。
答案
如图2,8级台阶的平面展开图是长方形.
易得 $DF=30\ \mathrm{dm}$,$EF=(2+3) × 8=40(\mathrm{dm})$,
$\therefore DE^2=DF^2+EF^2=30^2+40^2=2\ 500$,$\therefore DE=50\ \mathrm{dm}$,
$\therefore$ 该乌龟沿台阶面爬到点 E 的最短路程是 50 dm.
解析
【分析】
要计算台阶面上D到E的最短路程，属于立体表面最短路径问题，解题思路是先将台阶的立体表面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，此时线段DE的长度就是最短路程，再结合勾股定理计算DE的长度即可。首先需要确定展开后得到的长方形的两条邻边长度：一条是台阶的长度30dm，另一条是所有台阶的高度与宽度之和，计算出这两个边长后，代入勾股公式就能求出DE。
【解析】
将8级台阶的平面展开为长方形，如图2：
由图可知，长方形的一边长$DF=30\ \mathrm{dm}$，
另一边长$EF$是所有台阶的高度和宽度的总和，每级台阶高2dm、宽3dm，共8级，因此：
$EF=(2+3) × 8=40(\mathrm{dm})$
在$Rt△ DFE$中，根据勾股定理：
$DE^2=DF^2+EF^2=30^2+40^2=900+1600=2500$
因此$DE=\sqrt{2500}=50(\mathrm{dm})$
【答案】
如图2,8级台阶的平面展开图是长方形.
易得 $DF=30\ \mathrm{dm}$,$EF=(2+3) × 8=40(\mathrm{dm})$,
$\therefore DE^2=DF^2+EF^2=30^2+40^2=2\ 500$,$\therefore DE=50\ \mathrm{dm}$,
$\therefore$ 该乌龟沿台阶面爬到点 E 的最短路程是 50 dm.
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题将实际场景与数学知识结合，核心是把立体表面的路径问题转化为平面上的线段长度问题，解题的关键是准确计算展开后图形的各边长度，再运用勾股定理求解，能够考查学生的空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要计算台阶面上D到E的最短路程，属于立体表面最短路径问题，解题思路是先将台阶的立体表面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，此时线段DE的长度就是最短路程，再结合勾股定理计算DE的长度即可。首先需要确定展开后得到的长方形的两条邻边长度：一条是台阶的长度30dm，另一条是所有台阶的高度与宽度之和，计算出这两个边长后，代入勾股公式就能求出DE。
【解析】
将8级台阶的平面展开为长方形，如图2：
由图可知，长方形的一边长$DF=30\ \mathrm{dm}$，
另一边长$EF$是所有台阶的高度和宽度的总和，每级台阶高2dm、宽3dm，共8级，因此：
$EF=(2+3) × 8=40(\mathrm{dm})$
在$Rt△ DFE$中，根据勾股定理：
$DE^2=DF^2+EF^2=30^2+40^2=900+1600=2500$
因此$DE=\sqrt{2500}=50(\mathrm{dm})$
【答案】
如图2,8级台阶的平面展开图是长方形.
易得 $DF=30\ \mathrm{dm}$,$EF=(2+3) × 8=40(\mathrm{dm})$,
$\therefore DE^2=DF^2+EF^2=30^2+40^2=2\ 500$,$\therefore DE=50\ \mathrm{dm}$,
$\therefore$ 该乌龟沿台阶面爬到点 E 的最短路程是 50 dm.
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题将实际场景与数学知识结合，核心是把立体表面的路径问题转化为平面上的线段长度问题，解题的关键是准确计算展开后图形的各边长度，再运用勾股定理求解，能够考查学生的空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
