登录
1. [2024安徽中考]如图,在$Rt△ABC$中,$AC=BC=2$,点D在AB的延长线上,且$CD=AB$,则BD的长是 (
A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
B
)A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
答案
如图,过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H. $\because AC=BC$,$\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB$. 又 $\because ∠ ACB=90°$,$\therefore CH=\frac{1}{2}AB$,$\therefore AH=BH=CH$. 设 $AH=BH=CH=x$, 在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,由勾股定理,得 $AH^2+CH^2=AC^2$,$\therefore x^2+x^2=2^2$, 解得 $x=\sqrt{2}$(负值舍去). 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB^2=AC^2+BC^2=2^2+2^2=8$. $\because AB=CD$,$\therefore CD^2=8$. 在 $\mathrm{Rt}△ CDH$ 中,由勾股定理,得 $DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{8-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$,$\therefore BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形背景下的线段长度计算问题，解题思路如下：首先利用等腰直角三角形的特殊性质，过直角顶点C作斜边AB的垂线CH，此时CH既是AB边上的高，也是AB边上的中线，因此有CH=AH=BH；接着用勾股定理分别计算出CH、BH以及AB的长度，结合CD=AB的已知条件，得到CD的长度；最后在Rt△CDH中用勾股定理求出DH的长度，根据BD=DH-BH即可求出BD的长。
【解析】
如图，过点C作 $CH ⊥ AB$ 于点H。
$\because AC=BC$，$△ ABC$为等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，得$AH=BH=\frac{1}{2}AB$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CH=\frac{1}{2}AB$，因此$AH=BH=CH$。
设 $AH=BH=CH=x$，在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，由勾股定理得：
$AH^2+CH^2=AC^2$，即$x^2+x^2=2^2$，
解得 $x=\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值），即$BH=CH=\sqrt{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+2^2=8$。
$\because AB=CD$，$\therefore CD^2=8$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDH$ 中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{8-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$，
因此$BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查特殊三角形性质与勾股定理的综合应用，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，将所求线段转化为两个直角三角形中可求线段的差，体现了转化的数学思想，解题步骤清晰，适合巩固相关基础知识。
【难度系数】
0.7
本题是等腰直角三角形背景下的线段长度计算问题，解题思路如下：首先利用等腰直角三角形的特殊性质，过直角顶点C作斜边AB的垂线CH，此时CH既是AB边上的高，也是AB边上的中线，因此有CH=AH=BH；接着用勾股定理分别计算出CH、BH以及AB的长度，结合CD=AB的已知条件，得到CD的长度；最后在Rt△CDH中用勾股定理求出DH的长度，根据BD=DH-BH即可求出BD的长。
【解析】
如图，过点C作 $CH ⊥ AB$ 于点H。
$\because AC=BC$，$△ ABC$为等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，得$AH=BH=\frac{1}{2}AB$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CH=\frac{1}{2}AB$，因此$AH=BH=CH$。
设 $AH=BH=CH=x$，在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，由勾股定理得：
$AH^2+CH^2=AC^2$，即$x^2+x^2=2^2$，
解得 $x=\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值），即$BH=CH=\sqrt{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+2^2=8$。
$\because AB=CD$，$\therefore CD^2=8$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDH$ 中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{8-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$，
因此$BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查特殊三角形性质与勾股定理的综合应用，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，将所求线段转化为两个直角三角形中可求线段的差，体现了转化的数学思想，解题步骤清晰，适合巩固相关基础知识。
【难度系数】
0.7
2. [2024南通中考]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$. 若小正方形面积为$5,(m+n)^2=21$,则大正方形面积为 (
A.12
B.13
C.14
D.15
B
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
由题意,可知中间小正方形的边长为 $m-n$,$\therefore (m-n)^2=5$,即 $m^2+n^2-2mn=5$①. $\because (m+n)^2=21$,$\therefore m^2+n^2+2mn=21$②. ① + ②,得 $2(m^2+n^2)=26$,$\therefore$ 大正方形面积为 $m^2+n^2=13$.
解析
【分析】
首先梳理各图形边长和m、n的关系：中间小正方形的边长为直角三角形较长直角边减较短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于$m^2+n^2$，这是待求的目标值。已知$(m+n)^2=21$，我们可以将两个完全平方式分别展开，联立后消去$mn$项，即可求出$m^2+n^2$的值。
【解析】
解：由题意可知，中间小正方形的边长为$m-n$
$\therefore$ 小正方形面积为$(m-n)^2=5$，展开得：$m^2+n^2-2mn=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：$m^2+n^2+2mn=21$ ②
将①+②可得：$2(m^2+n^2)=26$
解得$m^2+n^2=13$，即大正方形的面积为13。
【答案】B
【知识点】完全平方公式，勾股定理，面积和差计算
【点评】本题结合经典赵爽弦图出题，将几何面积关系与代数公式相结合，解题核心是找到已知条件和待求量的关联，通过联立完全平方式消去中间项$mn$即可快速得到结果，是勾股定理相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
首先梳理各图形边长和m、n的关系：中间小正方形的边长为直角三角形较长直角边减较短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于$m^2+n^2$，这是待求的目标值。已知$(m+n)^2=21$，我们可以将两个完全平方式分别展开，联立后消去$mn$项，即可求出$m^2+n^2$的值。
【解析】
解：由题意可知，中间小正方形的边长为$m-n$
$\therefore$ 小正方形面积为$(m-n)^2=5$，展开得：$m^2+n^2-2mn=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：$m^2+n^2+2mn=21$ ②
将①+②可得：$2(m^2+n^2)=26$
解得$m^2+n^2=13$，即大正方形的面积为13。
【答案】B
【知识点】完全平方公式，勾股定理，面积和差计算
【点评】本题结合经典赵爽弦图出题，将几何面积关系与代数公式相结合，解题核心是找到已知条件和待求量的关联，通过联立完全平方式消去中间项$mn$即可快速得到结果，是勾股定理相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
3. [2024常州中考] 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是边$AC$的中点,$E$是边$BC$上一点,连接$BD$,$DE$.将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,则$CE=$
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
.答案
$\because D$ 是边 $AC$ 的中点,$AC=6$,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 6=3$. $\because ∠ ACB=90°$,$CD=3$,$BC=4$,$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5$.
$\because$ 将 $△ CDE$ 沿 $DE$ 翻折,点 $C$ 落在 $BD$ 上的点 $F$ 处,$\therefore DF=CD=3$,$CE=EF$,$∠ EFD=90°$,$\therefore BF=BD-DF=2$,$∠ BFE=90°$. 设 $CE=EF=x$,则 $BE=BC-CE=4-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ BFE$ 中,由勾股定理,得 $BE^2=EF^2+BF^2$,即 $(4-x)^2=x^2+2^2$,解得 $x=\frac{3}{2}$,$\therefore CE=\frac{3}{2}$.
$\because$ 将 $△ CDE$ 沿 $DE$ 翻折,点 $C$ 落在 $BD$ 上的点 $F$ 处,$\therefore DF=CD=3$,$CE=EF$,$∠ EFD=90°$,$\therefore BF=BD-DF=2$,$∠ BFE=90°$. 设 $CE=EF=x$,则 $BE=BC-CE=4-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ BFE$ 中,由勾股定理,得 $BE^2=EF^2+BF^2$,即 $(4-x)^2=x^2+2^2$,解得 $x=\frac{3}{2}$,$\therefore CE=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据D是AC中点求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长；接着根据折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，求出BF的长度；最后设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示BE的长，在Rt△BEF中根据勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
【解析】
∵ D是边AC的中点，AC=6，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3。
∵ ∠ACB=90°，CD=3，BC=4，
∴ BD=$\sqrt{BC^2+CD^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5。
∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴ DF=CD=3，CE=EF，∠EFD=∠C=90°，
∴ BF=BD-DF=5-3=2，∠BFE=180°-∠EFD=90°。
设CE=EF=x，则BE=BC-CE=4-x。
在Rt△BFE中，由勾股定理，得$BE^2=EF^2+BF^2$，即$(4-x)^2=x^2+2^2$，
展开化简得$16-8x+x^2=x^2+4$，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ CE=$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是典型的几何折叠计算类题型，将折叠的性质与勾股定理结合，通过设未知数建立方程求解，考查了几何转化能力和方程思想的应用能力，是几何计算的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先根据D是AC中点求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长；接着根据折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，求出BF的长度；最后设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示BE的长，在Rt△BEF中根据勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
【解析】
∵ D是边AC的中点，AC=6，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3。
∵ ∠ACB=90°，CD=3，BC=4，
∴ BD=$\sqrt{BC^2+CD^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5。
∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴ DF=CD=3，CE=EF，∠EFD=∠C=90°，
∴ BF=BD-DF=5-3=2，∠BFE=180°-∠EFD=90°。
设CE=EF=x，则BE=BC-CE=4-x。
在Rt△BFE中，由勾股定理，得$BE^2=EF^2+BF^2$，即$(4-x)^2=x^2+2^2$，
展开化简得$16-8x+x^2=x^2+4$，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ CE=$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是典型的几何折叠计算类题型，将折叠的性质与勾股定理结合，通过设未知数建立方程求解，考查了几何转化能力和方程思想的应用能力，是几何计算的常考题型。
【难度系数】
0.6
4. [2025扬州]清代数学家梅文鼎痴迷于勾股定理的研究，提出了推勾股的“梅氏勾股”法则。法则的提出了勾股生成过程，也体现了中国传统数学在数领域的贡献。由以上写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,13；③7,40,25；④……根据上述规律，第⑤组勾股数为
答案
11,60,61 由所给的几组勾股数发现第一个数是奇数,且逐次递增2,所以第⑤组勾股数的第一个数是11. 又发现每组勾股数中的第二个数和第三个数相差1,所以设第⑤组勾股数中的第二个数为 $x$,则第三个数为 $x+1$,由勾股定理,得 $11^2+x^2=(x+1)^2$,解得 $x=60$,所以第⑤组勾股数为 11,60,61.
解析
【分析】
解题时先观察已知勾股数组的第一个数的特征：给出的前3组勾股数的第一个数分别为3、5、7，是依次递增2的连续奇数，由此可推出第n组勾股数的第一个数为2n+1，进而得到第⑤组的第一个数；再观察每组后两个数的关系，可发现每组中第二个数比第三个数小1，由此设未知数，结合勾股定理列方程求解即可得到剩余两个数。
【解析】
首先分析第一个数的规律：
已知第①组勾股数第一个数为3，第②组为5，第③组为7，均为依次递增2的奇数，因此第④组第一个数为9，第⑤组勾股数的第一个数为11。
再分析每组后两个数的规律：
观察可知每组勾股数中，第二个数与第三个数相差1，设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方（斜边为三个数中最大的数），列方程得：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开计算：
$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
消去$x^2$后整理得：
$2x = 120$
解得$x=60$，则第三个数为$60+1=61$。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理；数字规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数的规律探究，需要先通过观察归纳出已知勾股数组的数字特征，再结合勾股定理建立方程求解，既考查了归纳推理能力，也检验了勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知勾股数组的第一个数的特征：给出的前3组勾股数的第一个数分别为3、5、7，是依次递增2的连续奇数，由此可推出第n组勾股数的第一个数为2n+1，进而得到第⑤组的第一个数；再观察每组后两个数的关系，可发现每组中第二个数比第三个数小1，由此设未知数，结合勾股定理列方程求解即可得到剩余两个数。
【解析】
首先分析第一个数的规律：
已知第①组勾股数第一个数为3，第②组为5，第③组为7，均为依次递增2的奇数，因此第④组第一个数为9，第⑤组勾股数的第一个数为11。
再分析每组后两个数的规律：
观察可知每组勾股数中，第二个数与第三个数相差1，设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方（斜边为三个数中最大的数），列方程得：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开计算：
$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
消去$x^2$后整理得：
$2x = 120$
解得$x=60$，则第三个数为$60+1=61$。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理；数字规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数的规律探究，需要先通过观察归纳出已知勾股数组的数字特征，再结合勾股定理建立方程求解，既考查了归纳推理能力，也检验了勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. [2024北京中考]如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为
$\boldsymbol{\frac{27}{8}}$
.答案
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AD=CD$,$∠ ADC=∠ DAE=90°$. $\because AF ⊥ DE$,$CG ⊥ DE$,$\therefore ∠ AFD=∠ CGD=90°$,$\therefore ∠ ADF+∠ CDG=∠ ADF+∠ DAF=90°$,$\therefore ∠ CDG=∠ DAF$. 在 $△ CDG$ 和 $△ DAF$ 中, $\begin{cases} ∠ CGD=∠ DFA, \\ ∠ CDG=∠ DAF, \end{cases}$ $\therefore △ CDG ≌ △ DAF(\mathrm{AAS})$,$\therefore DF=CG=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$\because AD=5$,$DF=4$,$\therefore AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. 设 $EF=x$,则 $DE=DF+EF=4+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,由勾股定理,得 $AE^2=AF^2+EF^2=3^2+x^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,由勾股定理,得 $AE^2=DE^2-AD^2=(x+4)^2-5^2$,$\therefore 3^2+x^2=(x+4)^2-5^2$,解得 $x=\frac{9}{4}$,$\therefore EF=\frac{9}{4}$,$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2}EF · AF=\frac{1}{2} × \frac{9}{4} × 3=\frac{27}{8}$.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质，观察到AF和CG都垂直于DE，可利用“同角的余角相等”得到两组等角，结合正方形邻边相等的特征证明△CDG和△DAF全等，得到DF=CG，再用勾股定理求出AF的长度；要求△AEF的面积，已知AF的长度，只需求出EF的长度，可设EF为x，利用AE在Rt△AEF和Rt△ADE中均可由勾股定理表示，列方程求解x，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ADC=∠DAE=90°$。
∵ $AF ⊥ DE$，$CG ⊥ DE$，
∴ $∠AFD=∠CGD=90°$，
∴ $∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF=90°$，
∴ $∠CDG=∠DAF$。
在 $△CDG$ 和 $△DAF$ 中，
$\begin{cases} ∠CGD=∠DFA \\ ∠CDG=∠DAF \\ CD=DA \end{cases}$
∴ $△CDG ≌ △DAF(\mathrm{AAS})$，
∴ $DF=CG=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，
∵ $AD=5$，$DF=4$，
∴ $AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设 $EF=x$，则 $DE=DF+EF=4+x$。
在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中，由勾股定理，得 $AE^2=AF^2+EF^2=3^2+x^2$。
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中，由勾股定理，得 $AE^2=DE^2-AD^2=(x+4)^2-5^2$，
∴ $3^2+x^2=(x+4)^2-5^2$，解得 $x=\frac{9}{4}$，即 $EF=\frac{9}{4}$，
∴ $S_{△AEF}=\frac{1}{2}EF · AF=\frac{1}{2} × \frac{9}{4} × 3=\frac{27}{8}$。
【答案】
$\frac{27}{8}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形性质、全等三角形、勾股定理相结合，解题的关键是先通过全等转化线段长度，再利用同一条线段的不同勾股定理表达式建立方程求解未知量，熟练掌握同角的余角相等找等角、利用公共线段列方程的技巧，有助于快速解决这类题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正方形的性质，观察到AF和CG都垂直于DE，可利用“同角的余角相等”得到两组等角，结合正方形邻边相等的特征证明△CDG和△DAF全等，得到DF=CG，再用勾股定理求出AF的长度；要求△AEF的面积，已知AF的长度，只需求出EF的长度，可设EF为x，利用AE在Rt△AEF和Rt△ADE中均可由勾股定理表示，列方程求解x，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ADC=∠DAE=90°$。
∵ $AF ⊥ DE$，$CG ⊥ DE$，
∴ $∠AFD=∠CGD=90°$，
∴ $∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF=90°$，
∴ $∠CDG=∠DAF$。
在 $△CDG$ 和 $△DAF$ 中，
$\begin{cases} ∠CGD=∠DFA \\ ∠CDG=∠DAF \\ CD=DA \end{cases}$
∴ $△CDG ≌ △DAF(\mathrm{AAS})$，
∴ $DF=CG=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ADF$ 中，
∵ $AD=5$，$DF=4$，
∴ $AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设 $EF=x$，则 $DE=DF+EF=4+x$。
在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中，由勾股定理，得 $AE^2=AF^2+EF^2=3^2+x^2$。
在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中，由勾股定理，得 $AE^2=DE^2-AD^2=(x+4)^2-5^2$，
∴ $3^2+x^2=(x+4)^2-5^2$，解得 $x=\frac{9}{4}$，即 $EF=\frac{9}{4}$，
∴ $S_{△AEF}=\frac{1}{2}EF · AF=\frac{1}{2} × \frac{9}{4} × 3=\frac{27}{8}$。
【答案】
$\frac{27}{8}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形性质、全等三角形、勾股定理相结合，解题的关键是先通过全等转化线段长度，再利用同一条线段的不同勾股定理表达式建立方程求解未知量，熟练掌握同角的余角相等找等角、利用公共线段列方程的技巧，有助于快速解决这类题型。
【难度系数】
0.6
6. [2025广东中考]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长$a,b,c$都是正整数,则$a,b,c$为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
|3,4,5|7,24,25|11,60,61|15,112,113|19,180,181|
|4,3,5|8,15,17|12,35,37|16,63,65|20,21,29|
|5,12,13|9,12,15|13,84,85|17,144,145|21,28,35|
|6,8,10|10,
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
|3,4,5|7,24,25|11,60,61|15,112,113|19,180,181|
|4,3,5|8,15,17|12,35,37|16,63,65|20,21,29|
|5,12,13|9,12,15|13,84,85|17,144,145|21,28,35|
|6,8,10|10,
24
,26|14,48,50|18,80,82|22,120,122|(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
答案
(1)24
(2)①根据题表中数据(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)的规律能用含字母 $n,m$ ($m＞n$,且 $n,m$ 均为正整数)的代数式表示三角形的三边. 设 $a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$.
证明:$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$,
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4$.
$\because c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得 $a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$ 能够成为直角三角形的三边长.
②根据题表中数据,可知 $(6,8,10)$,$(9,12,15)$,$(21,28,35)$ 分别是 $(3,4,5)$ 的 2 倍,3 倍,7 倍; $(10,24,26)$,$(14,48,50)$,$(18,80,82)$,$(22,120,122)$ 分别是 $(5,12,13)$,$(7,24,25)$,$(9,40,41)$,$(11,60,61)$ 的 2 倍,经验算 $(9,40,41)$ 满足 $m^2-n^2$,$2mn$,$m^2+n^2$.
$\therefore$ 题表中数据能用含字母 $n,m,k$ ($m＞n$,且 $n,m,k$ 均为正整数)的代数式表示三角形的三边. 设 $a=(m^2-n^2)k$,$b=2mnk$,$c=(m^2+n^2)k$.
证明:$\because a^2=[(m^2-n^2)k]^2=m^4k^2-2m^2n^2k^2+n^4k^2$,$b^2=(2mnk)^2=4m^2n^2k^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$.
$\because c^2=[(m^2+n^2)k]^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得 $(m^2-n^2)k$,$2mnk$,$(m^2+n^2)k$ 能够成为直角三角形的三边长, $\therefore$ 利用 $a=(m^2-n^2)k$,$b=2mnk$,$c=(m^2+n^2)k$ 能够表示出表中所有勾股数.
(3)由题意知,每个直角三角形的最短边长为 $21-1=20$(米),$\therefore$ 每个直角三角形的边长对应的表中勾股数为 20,21,29,$\therefore$ 每个直角三角形三条边对应的株数为 21,22,30. 但是考虑 3 个角重复计算,$\therefore$ 每个直角三角形绿地种花 $21+22+30-3=70$(株).
$\because$ 这个图案由四个全等的直角三角形组成,$\therefore$ 这块绿地最少需要种植 $70 × 4=280$(株)花.
(2)①根据题表中数据(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)的规律能用含字母 $n,m$ ($m＞n$,且 $n,m$ 均为正整数)的代数式表示三角形的三边. 设 $a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$.
证明:$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$,
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4$.
$\because c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得 $a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$ 能够成为直角三角形的三边长.
②根据题表中数据,可知 $(6,8,10)$,$(9,12,15)$,$(21,28,35)$ 分别是 $(3,4,5)$ 的 2 倍,3 倍,7 倍; $(10,24,26)$,$(14,48,50)$,$(18,80,82)$,$(22,120,122)$ 分别是 $(5,12,13)$,$(7,24,25)$,$(9,40,41)$,$(11,60,61)$ 的 2 倍,经验算 $(9,40,41)$ 满足 $m^2-n^2$,$2mn$,$m^2+n^2$.
$\therefore$ 题表中数据能用含字母 $n,m,k$ ($m＞n$,且 $n,m,k$ 均为正整数)的代数式表示三角形的三边. 设 $a=(m^2-n^2)k$,$b=2mnk$,$c=(m^2+n^2)k$.
证明:$\because a^2=[(m^2-n^2)k]^2=m^4k^2-2m^2n^2k^2+n^4k^2$,$b^2=(2mnk)^2=4m^2n^2k^2$,
$\therefore a^2+b^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$.
$\because c^2=[(m^2+n^2)k]^2=m^4k^2+2m^2n^2k^2+n^4k^2$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
根据勾股定理的逆定理,得 $(m^2-n^2)k$,$2mnk$,$(m^2+n^2)k$ 能够成为直角三角形的三边长, $\therefore$ 利用 $a=(m^2-n^2)k$,$b=2mnk$,$c=(m^2+n^2)k$ 能够表示出表中所有勾股数.
(3)由题意知,每个直角三角形的最短边长为 $21-1=20$(米),$\therefore$ 每个直角三角形的边长对应的表中勾股数为 20,21,29,$\therefore$ 每个直角三角形三条边对应的株数为 21,22,30. 但是考虑 3 个角重复计算,$\therefore$ 每个直角三角形绿地种花 $21+22+30-3=70$(株).
$\because$ 这个图案由四个全等的直角三角形组成,$\therefore$ 这块绿地最少需要种植 $70 × 4=280$(株)花.
解析
【分析】
(1) 第一问补全勾股数，可直接利用勾股数的定义：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，已知两条边10和26（26为斜边），计算第三边即可。
(2) 第二问先观察表格中勾股数的特征：基础勾股数可表示为两个正整数的平方差、两倍乘积、平方和，其余勾股数是基础勾股数的正整数倍，因此引入倍数参数k，再通过勾股定理逆定理证明该代数式符合勾股数要求。
(3) 第三问为实际应用，首先明确“两端都种花、间距1m”时，边长=株数-1，先求出最短边长为20m；要总花量最少，需选最短边为20的最小勾股数，计算单个三角形种花株数时减去重复计算的3个顶点的花，最后乘4得到总株数。
【解析】
(1) 设空缺的数为$x$，根据勾股数的定义：
$10^2 + x^2 = 26^2$
计算得$x^2 = 676 - 100 = 576$，
∵$x$为正整数，
∴$x=24$。
(2) 观察表格中的勾股数，先得到基础勾股数的表达式：设$m＞n$，且$m,n$为正整数，基础勾股数可表示为$m^2-n^2$、$2mn$、$m^2+n^2$；表格中部分勾股数是基础勾股数的正整数倍，因此引入正整数$k$，可得到能表示所有表格勾股数的代数式：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$m,n,k$均为正整数）
证明如下：
∵$a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2m^4-2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$，
∴$a^2+b^2=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
又
∵$c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，该组代数式表示的三个数为勾股数，可表示表格中所有勾股数。
(3) 由题意，最短边种21株花，相邻间距1m，顶点都种花，因此最短边长度为$21-1=20\ \mathrm{m}$。
要总花量最少，需选择最短边为20m的最小勾股数，即20,21,29。
三条边对应的种花株数分别为：$20+1=21$株、$21+1=22$株、$29+1=30$株。
每个三角形的3个顶点的花被两条边重复计算，因此单个三角形种花株数为$21+22+30-3=70$株。
图案由4个全等直角三角形组成，总种花株数为$70×4=280$株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$m,n,k$均为正整数），证明见解析
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股数概念；勾股定理逆定理；植树间隔问题
【点评】
本题以《九章算术》的勾股数为背景，兼顾基础考查与能力拓展，既要求学生熟练掌握勾股数的性质与勾股定理逆定理的应用，又需要学生具备观察归纳规律、解决实际问题的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问补全勾股数，可直接利用勾股数的定义：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，已知两条边10和26（26为斜边），计算第三边即可。
(2) 第二问先观察表格中勾股数的特征：基础勾股数可表示为两个正整数的平方差、两倍乘积、平方和，其余勾股数是基础勾股数的正整数倍，因此引入倍数参数k，再通过勾股定理逆定理证明该代数式符合勾股数要求。
(3) 第三问为实际应用，首先明确“两端都种花、间距1m”时，边长=株数-1，先求出最短边长为20m；要总花量最少，需选最短边为20的最小勾股数，计算单个三角形种花株数时减去重复计算的3个顶点的花，最后乘4得到总株数。
【解析】
(1) 设空缺的数为$x$，根据勾股数的定义：
$10^2 + x^2 = 26^2$
计算得$x^2 = 676 - 100 = 576$，
∵$x$为正整数，
∴$x=24$。
(2) 观察表格中的勾股数，先得到基础勾股数的表达式：设$m＞n$，且$m,n$为正整数，基础勾股数可表示为$m^2-n^2$、$2mn$、$m^2+n^2$；表格中部分勾股数是基础勾股数的正整数倍，因此引入正整数$k$，可得到能表示所有表格勾股数的代数式：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$m,n,k$均为正整数）
证明如下：
∵$a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2m^4-2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$，
∴$a^2+b^2=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
又
∵$c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
根据勾股定理的逆定理，该组代数式表示的三个数为勾股数，可表示表格中所有勾股数。
(3) 由题意，最短边种21株花，相邻间距1m，顶点都种花，因此最短边长度为$21-1=20\ \mathrm{m}$。
要总花量最少，需选择最短边为20m的最小勾股数，即20,21,29。
三条边对应的种花株数分别为：$20+1=21$株、$21+1=22$株、$29+1=30$株。
每个三角形的3个顶点的花被两条边重复计算，因此单个三角形种花株数为$21+22+30-3=70$株。
图案由4个全等直角三角形组成，总种花株数为$70×4=280$株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n$，$m,n,k$均为正整数），证明见解析
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股数概念；勾股定理逆定理；植树间隔问题
【点评】
本题以《九章算术》的勾股数为背景，兼顾基础考查与能力拓展，既要求学生熟练掌握勾股数的性质与勾股定理逆定理的应用，又需要学生具备观察归纳规律、解决实际问题的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
