综合与实践
√答案 P51
项目背景
我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究,结合本阶段学习内容知识点,他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣.
素材一
毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”(如图),是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形,因为重复数次后的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树.

素材二
经过小组讨论,制定了如下规则:1. 画出不同类型三角形形成的树形图;2. 所画的基础三角形周长为8 cm,其中一条边长固定为2 cm. 根据规则,三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究.
素材三
类型① 类型② 类型③
解决问题
任务一
小明画出了锐角三角形$ABC$(如类型①),$AB = AC$,$BC = 2\ \mathrm{cm}$,则$\frac{S_1}{S_2}=$.
任务二
小金画出了直角三角形$DEF$(如类型②),$∠ DFE = 90°$,$EF = 2\ \mathrm{cm}$,计算$S_2 + S_3$的值,并写出过程.
任务三
小山画出了钝角三角形$GHI$(如类型③),$∠ GIH = 120°$,$HI = 2\ \mathrm{cm}$,则$S_2 + S_3=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.

任务一
$\because AB = AC,BC = 2\ \mathrm{cm},AB + AC + BC = 8\ \mathrm{cm},$
$\therefore AB = AC = 3\ \mathrm{cm},\therefore S_1 = BC^2 = 4\ \mathrm{cm}^2,S_2 = AC^2 = 9\ \mathrm{cm}^2,\therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{9}.$
任务二
设$DF=x\ \mathrm{cm}$,
在直角三角形$DEF$中,$∠ DFE = 90°,EF = 2\ \mathrm{cm},△ DEF$的周长为8 cm,
$\therefore DE = 8 - 2 - x = (6 - x)\mathrm{cm}.$
由勾股定理,得$EF^2 + DF^2 = DE^2$,
即$2^2 + x^2 = (6 - x)^2$,解得$x=\frac{8}{3}$,
即$DF=\frac{8}{3}\ \mathrm{cm},\therefore DE=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore S_2=DF^2=(\frac{8}{3})^2=\frac{64}{9}(\mathrm{cm}^2),S_3=DE^2=(\frac{10}{3})^2=\frac{100}{9}(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_2 + S_3=\frac{64}{9}+\frac{100}{9}=\frac{164}{9}(\mathrm{cm}^2).$
任务三

如图,过点$G$作$GT⊥ HI$,交$HI$的延长线于点$T$.在$△ GHI$中,
$∠ GIH = 120°,HI = 2\ \mathrm{cm},\therefore ∠ GIT = 180° - ∠ GIH = 60°.\because GT⊥ HI,\therefore ∠ IGT = 30°$.设$IT=a\ \mathrm{cm}$,则$GI=2a\ \mathrm{cm}$,由勾股定理,得$GT^2=GI^2 - IT^2=3a^2.\because HI=2\ \mathrm{cm},△ GHI$的周长为8 cm,
$\therefore HG=8-2-2a=(6-2a)\mathrm{cm},HT=(2+a)\mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ GHT$中,由勾股定理,得$HG^2=GT^2+HT^2$,即$(6-2a)^2=3a^2+(2+a)^2$,解得$a=\frac{8}{7},\therefore GI=2a=\frac{16}{7}\ \mathrm{cm},\therefore HG=6-\frac{16}{7}=\frac{26}{7}(\mathrm{cm}),\therefore S_2=GI^2=(\frac{16}{7})^2=\frac{256}{49}(\mathrm{cm}^2),S_3=HG^2=(\frac{26}{7})^2=\frac{676}{49}(\mathrm{cm}^2),\therefore S_2 + S_3=\frac{256}{49}+\frac{676}{49}=\frac{932}{49}(\mathrm{cm}^2).$

【分析】
任务一：已知△ABC为等腰三角形，周长8cm，BC=2cm，先根据等腰三角形两腰相等求出腰长，S₁、S₂分别是以BC、AC为边长的正方形，正方形面积等于边长平方，计算面积后求比值即可。
任务二：已知直角△DEF周长8cm，EF=2cm，∠DFE=90°，设另一条直角边DF为x，可表示出斜边DE长度，根据勾股定理列方程求解边长，再计算S₂、S₃的和即可。
任务三：已知△GHI中∠GIH=120°，周长8cm，HI=2cm，通过作GT垂直HI的延长线构造直角三角形，利用120°的补角为60°得到含30°角的直角三角形，设未知数表示各边长度，再用勾股定理列方程求解边长，最后计算S₂、S₃的和即可。
【解析】
任务一
$\because AB = AC,BC = 2\ \mathrm{cm},AB + AC + BC = 8\ \mathrm{cm},$
$\therefore AB = AC = 3\ \mathrm{cm},$
$\therefore S_1 = BC^2 = 4\ \mathrm{cm}^2,S_2 = AC^2 = 9\ \mathrm{cm}^2,$
$\therefore \frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{9}.$
任务二
设$DF=x\ \mathrm{cm}$,
在直角三角形$DEF$中,$∠ DFE = 90°,EF = 2\ \mathrm{cm},△ DEF$的周长为8 cm,
$\therefore DE = 8 - 2 - x = (6 - x)\mathrm{cm}.$
由勾股定理,得$EF^2 + DF^2 = DE^2$,
即$2^2 + x^2 = (6 - x)^2$,解得$x=\frac{8}{3}$,
即$DF=\frac{8}{3}\ \mathrm{cm},\therefore DE=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore S_2=DF^2=(\frac{8}{3})^2=\frac{64}{9}(\mathrm{cm}^2),S_3=DE^2=(\frac{10}{3})^2=\frac{100}{9}(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_2 + S_3=\frac{64}{9}+\frac{100}{9}=\frac{164}{9}(\mathrm{cm}^2).$
任务三

如图,过点$G$作$GT⊥ HI$,交$HI$的延长线于点$T$.在$△ GHI$中,
$∠ GIH = 120°,HI = 2\ \mathrm{cm},\therefore ∠ GIT = 180° - ∠ GIH = 60°.$
$\because GT⊥ HI,\therefore ∠ IGT = 30°$.设$IT=a\ \mathrm{cm}$,则$GI=2a\ \mathrm{cm}$,
由勾股定理,得$GT^2=GI^2 - IT^2=3a^2.$
$\because HI=2\ \mathrm{cm},△ GHI$的周长为8 cm,
$\therefore HG=8-2-2a=(6-2a)\mathrm{cm},HT=(2+a)\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ GHT$中,由勾股定理,得$HG^2=GT^2+HT^2$,
即$(6-2a)^2=3a^2+(2+a)^2$,解得$a=\frac{8}{7},$
$\therefore GI=2a=\frac{16}{7}\ \mathrm{cm},\therefore HG=6-\frac{16}{7}=\frac{26}{7}(\mathrm{cm}),$
$\therefore S_2=GI^2=(\frac{16}{7})^2=\frac{256}{49}(\mathrm{cm}^2),S_3=HG^2=(\frac{26}{7})^2=\frac{676}{49}(\mathrm{cm}^2),$
$\therefore S_2 + S_3=\frac{256}{49}+\frac{676}{49}=\frac{932}{49}(\mathrm{cm}^2).$
【答案】
任务一：$\frac{4}{9}$
任务二：$\frac{164}{9}\ \mathrm{cm}^2$
任务三：，$\frac{932}{49}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
3. 特殊三角形性质
【点评】
本题以勾股树为探究背景，结合不同类型三角形的特点考查边长计算，需要熟练运用方程思想结合勾股定理求解未知量，钝角三角形的构造辅助线方法是解题的难点，整体综合性较强，能有效考查几何知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6