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10.「2026 江苏扬州邗江梅苑双语学校月考，★☆」小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法，如：解方程$x(x+4)=6$。
解：原方程可变形，得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，$\therefore (x+2)^2 -2^2 =6$，$\therefore (x+2)^2 =10$，直接开平方并整理，得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
我们称小明这种解法为“平均数法”。
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+5)(x+9)=5$时写的解题过程。
解：原方程可变形，得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$，$\therefore (x+a)^2 -b^2 =5$，$\therefore (x+a)^2 =5+b^2$，直接开平方并整理，得$x_1=c$，$x_2=d(c＞d)$。
上述过程中的$a,b,c,d$表示的数分别为
(2)请用“平均数法”解方程：$(x-5)(x+7)=12$。
解：原方程可变形，得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，$\therefore (x+2)^2 -2^2 =6$，$\therefore (x+2)^2 =10$，直接开平方并整理，得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
我们称小明这种解法为“平均数法”。
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+5)(x+9)=5$时写的解题过程。
解：原方程可变形，得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$，$\therefore (x+a)^2 -b^2 =5$，$\therefore (x+a)^2 =5+b^2$，直接开平方并整理，得$x_1=c$，$x_2=d(c＞d)$。
上述过程中的$a,b,c,d$表示的数分别为
7
，2
，-4
，-10
。(2)请用“平均数法”解方程：$(x-5)(x+7)=12$。
答案
10.解析 (1)$\because (x+5)(x+9)=5$,
$\therefore [(x+7)-2][(x+7)+2]=5$,$\therefore (x+7)^2-2^2=5$,
$\therefore (x+7)^2=9$,$\therefore x+7=3$或$x+7=-3$,
解得$x_1=-4$,$x_2=-10$,$\therefore a,b,c,d$表示的数分别为7,2,-4,-10.故答案为7;2;-4;-10.
(2)$\because (x-5)(x+7)=12$,$\therefore [(x+1)-6][(x+1)+6]=12$,$\therefore (x+1)^2-6^2=12$,$\therefore (x+1)^2=48$,$\therefore x+1=4\sqrt{3}$或$x+1=-4\sqrt{3}$,解得$x_1=-1+4\sqrt{3}$,$x_2=-1-4\sqrt{3}$.
$\therefore [(x+7)-2][(x+7)+2]=5$,$\therefore (x+7)^2-2^2=5$,
$\therefore (x+7)^2=9$,$\therefore x+7=3$或$x+7=-3$,
解得$x_1=-4$,$x_2=-10$,$\therefore a,b,c,d$表示的数分别为7,2,-4,-10.故答案为7;2;-4;-10.
(2)$\because (x-5)(x+7)=12$,$\therefore [(x+1)-6][(x+1)+6]=12$,$\therefore (x+1)^2-6^2=12$,$\therefore (x+1)^2=48$,$\therefore x+1=4\sqrt{3}$或$x+1=-4\sqrt{3}$,解得$x_1=-1+4\sqrt{3}$,$x_2=-1-4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先理解“平均数法”的解题逻辑：对于$(x+m)(x+n)=p$型的一元二次方程，第一步求$m$和$n$的平均数$a=\frac{m+n}{2}$，第二步计算$b=|a-m|$，即可将左边变形为平方差的形式$[(x+a)-b][(x+a)+b]$，利用平方差公式化简后得到$(x+a)^2 = p + b^2$，最后用直接开平方法求解即可。
(1) 针对方程$(x+5)(x+9)=5$，先算5和9的平均数得$a$，再求$b$，开平方后得到的两个根按大小对应$c$、$d$即可；(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$时，先算$-5$和$7$的平均数得$a$，再求$b$，按上述步骤逐步计算即可得到方程的解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+5)(x+9)=5$：
先计算两个常数项的平均数：$\frac{5+9}{2}=7$，即$a=7$，
$b=|7-5|=2$，
原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，
根据平方差公式得：$(x+7)^2 - 2^2 =5$，
整理得：$(x+7)^2=9$，
直接开平方得：$x+7=3$或$x+7=-3$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-10$，
因为$c＞d$，所以$c=-4$，$d=-10$。
(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$：
先计算两个常数项的平均数：$\frac{-5+7}{2}=1$，即$a=1$，
$b=|1 - (-5)|=6$，
原方程变形为$[(x+1)-6][(x+1)+6]=12$，
根据平方差公式得：$(x+1)^2 - 6^2 =12$，
整理得：$(x+1)^2=36+12=48$，
直接开平方得：$x+1=\pm4\sqrt{3}$，
解得$x_1=-1+4\sqrt{3}$，$x_2=-1-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；$\boxed{2}$；$\boxed{-4}$；$\boxed{-10}$
(2) $\boxed{x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}}$
【知识点】
平方差公式、直接开平方法解一元二次方程、新定义运算
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，重点考查对新解法的理解与迁移应用能力，解题关键是找准两个一次项常数的平均数，利用平方差公式将方程转化为可直接开平方的形式，计算难度较低，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先理解“平均数法”的解题逻辑：对于$(x+m)(x+n)=p$型的一元二次方程，第一步求$m$和$n$的平均数$a=\frac{m+n}{2}$，第二步计算$b=|a-m|$，即可将左边变形为平方差的形式$[(x+a)-b][(x+a)+b]$，利用平方差公式化简后得到$(x+a)^2 = p + b^2$，最后用直接开平方法求解即可。
(1) 针对方程$(x+5)(x+9)=5$，先算5和9的平均数得$a$，再求$b$，开平方后得到的两个根按大小对应$c$、$d$即可；(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$时，先算$-5$和$7$的平均数得$a$，再求$b$，按上述步骤逐步计算即可得到方程的解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+5)(x+9)=5$：
先计算两个常数项的平均数：$\frac{5+9}{2}=7$，即$a=7$，
$b=|7-5|=2$，
原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，
根据平方差公式得：$(x+7)^2 - 2^2 =5$，
整理得：$(x+7)^2=9$，
直接开平方得：$x+7=3$或$x+7=-3$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-10$，
因为$c＞d$，所以$c=-4$，$d=-10$。
(2) 解方程$(x-5)(x+7)=12$：
先计算两个常数项的平均数：$\frac{-5+7}{2}=1$，即$a=1$，
$b=|1 - (-5)|=6$，
原方程变形为$[(x+1)-6][(x+1)+6]=12$，
根据平方差公式得：$(x+1)^2 - 6^2 =12$，
整理得：$(x+1)^2=36+12=48$，
直接开平方得：$x+1=\pm4\sqrt{3}$，
解得$x_1=-1+4\sqrt{3}$，$x_2=-1-4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；$\boxed{2}$；$\boxed{-4}$；$\boxed{-10}$
(2) $\boxed{x_1=-1+4\sqrt{3},x_2=-1-4\sqrt{3}}$
【知识点】
平方差公式、直接开平方法解一元二次方程、新定义运算
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，重点考查对新解法的理解与迁移应用能力，解题关键是找准两个一次项常数的平均数，利用平方差公式将方程转化为可直接开平方的形式，计算难度较低，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 核心素养 运算能力 阅读后解答问题.
解方程:$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:拆项,分组得$2x^2 -4x +x -2 =0$,
提公因式,得$2x(x-2)+(x-2)=0$,
再提公因式,得$(x-2)(2x+1)=0$,
所以$x-2=0$或$2x+1=0$,
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$.
运用以上方法解方程:
$6x^2 +7x -3=0$.
解方程:$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:拆项,分组得$2x^2 -4x +x -2 =0$,
提公因式,得$2x(x-2)+(x-2)=0$,
再提公因式,得$(x-2)(2x+1)=0$,
所以$x-2=0$或$2x+1=0$,
即$x_1=2,x_2=-\frac{1}{2}$.
运用以上方法解方程:
$6x^2 +7x -3=0$.
答案
11.解析 拆项,分组得$6x^2+9x-2x-3=0$,
提公因式,得$3x(2x+3)-(2x+3)=0$,
再提公因式,得$(2x+3)(3x-1)=0$,
即$2x+3=0$或$3x-1=0$,$\therefore x_1=-\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{1}{3}$.
提公因式,得$3x(2x+3)-(2x+3)=0$,
再提公因式,得$(2x+3)(3x-1)=0$,
即$2x+3=0$或$3x-1=0$,$\therefore x_1=-\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题要求用拆项分组的因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察二次项系数6和常数项-3，将一次项7x拆分为两个项的和，使得拆分后的两项分别和二次项、常数项分组后可提取公因式；接着对两组分别提公因式，得到公共的因式；再提取公共因式，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；最后根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
拆项，分组得$6x^2+9x-2x-3=0$，
提公因式，得$3x(2x+3)-(2x+3)=0$，
再提公因式，得$(2x+3)(3x-1)=0$，
所以$2x+3=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法；拆项分组分解
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活解法，核心是掌握拆项分组的因式分解技巧，通过合理拆分一次项可快速将二次方程转化为一次方程求解，运算简便，需要熟练掌握拆项规律，提升运算能力。
【难度系数】
0.7
本题要求用拆项分组的因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察二次项系数6和常数项-3，将一次项7x拆分为两个项的和，使得拆分后的两项分别和二次项、常数项分组后可提取公因式；接着对两组分别提公因式，得到公共的因式；再提取公共因式，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；最后根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
拆项，分组得$6x^2+9x-2x-3=0$，
提公因式，得$3x(2x+3)-(2x+3)=0$，
再提公因式，得$(2x+3)(3x-1)=0$，
所以$2x+3=0$或$3x-1=0$，
解得$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法；拆项分组分解
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活解法，核心是掌握拆项分组的因式分解技巧，通过合理拆分一次项可快速将二次方程转化为一次方程求解，运算简便，需要熟练掌握拆项规律，提升运算能力。
【难度系数】
0.7
1.用十字相乘法解下列方程：
(1)$x^2 +7x +12=0$.
(2)「2025四川广元中考」$x^2 - (\sqrt{2}+1)x +\sqrt{2}=0$.
(1)$x^2 +7x +12=0$.
(2)「2025四川广元中考」$x^2 - (\sqrt{2}+1)x +\sqrt{2}=0$.
答案
(1)原方程可以变形为$(x+4)(x+3)=0,\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0,\therefore x_1=-4,x_2=-3$.
(2)原方程可以变形为$(x-\sqrt{2})(x-1)=0,\therefore x-\sqrt{2}=0$ 或 $x-1=0,\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=1$.
(2)原方程可以变形为$(x-\sqrt{2})(x-1)=0,\therefore x-\sqrt{2}=0$ 或 $x-1=0,\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=1$.
解析
【分析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，用十字相乘法求解的思路如下：
第一步：拆分系数，将二次项系数拆为1×1，常数项$c$拆为两个数$p、q$的乘积，使得$p+q=b$（交叉相乘再相加的结果等于一次项系数）；
第二步：因式分解，将方程左边改写为$(x+p)(x+q)=0$的形式；
第三步：降次求解，根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，转化为两个一元一次方程$x+p=0$、$x+q=0$，求解即可得到原方程的根。
第(1)题中，常数项12可拆为3×4，且3+4=7恰好等于一次项系数，符合拆分要求；第(2)题中，常数项$\sqrt{2}$可拆为$(-1)×(-\sqrt{2})$，且$(-1)+(-\sqrt{2})=-(\sqrt{2}+1)$恰好等于一次项系数，符合拆分要求。
【解析】
(1) 对原方程左边因式分解，可得：
$x^2 +7x +12=(x+3)(x+4)$
因此原方程变形为：
$(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4,x_2=-3$
(2) 对原方程左边因式分解，可得：
$x^2 - (\sqrt{2}+1)x +\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})(x-1)$
因此原方程变形为：
$(x-\sqrt{2})(x-1)=0$
$\therefore x-\sqrt{2}=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\sqrt{2},x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=-3$
(2) $x_1=\sqrt{2},x_2=1$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法解一元二次方程的基础题型，解题核心是准确找到满足“乘积等于常数项、和等于一次项系数”的两个数，熟练掌握该方法可以大幅提升一元二次方程的求解效率。
【难度系数】
0.75
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，用十字相乘法求解的思路如下：
第一步：拆分系数，将二次项系数拆为1×1，常数项$c$拆为两个数$p、q$的乘积，使得$p+q=b$（交叉相乘再相加的结果等于一次项系数）；
第二步：因式分解，将方程左边改写为$(x+p)(x+q)=0$的形式；
第三步：降次求解，根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”，转化为两个一元一次方程$x+p=0$、$x+q=0$，求解即可得到原方程的根。
第(1)题中，常数项12可拆为3×4，且3+4=7恰好等于一次项系数，符合拆分要求；第(2)题中，常数项$\sqrt{2}$可拆为$(-1)×(-\sqrt{2})$，且$(-1)+(-\sqrt{2})=-(\sqrt{2}+1)$恰好等于一次项系数，符合拆分要求。
【解析】
(1) 对原方程左边因式分解，可得：
$x^2 +7x +12=(x+3)(x+4)$
因此原方程变形为：
$(x+4)(x+3)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x+3=0$
解得 $x_1=-4,x_2=-3$
(2) 对原方程左边因式分解，可得：
$x^2 - (\sqrt{2}+1)x +\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})(x-1)$
因此原方程变形为：
$(x-\sqrt{2})(x-1)=0$
$\therefore x-\sqrt{2}=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\sqrt{2},x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=-4,x_2=-3$
(2) $x_1=\sqrt{2},x_2=1$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法解一元二次方程的基础题型，解题核心是准确找到满足“乘积等于常数项、和等于一次项系数”的两个数，熟练掌握该方法可以大幅提升一元二次方程的求解效率。
【难度系数】
0.75
2.「2026江苏苏州昆山秀峰中学月考」解方程：$(x+2)^2 -8(x+2)+15=0.$
答案
原方程可以变形为$(x+2-3)(x+2-5)=0$,
$\therefore (x-1)(x-3)=0,\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0,\therefore x_1=1,x_2=3$.
$\therefore (x-1)(x-3)=0,\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0,\therefore x_1=1,x_2=3$.
解析
【分析】
观察方程结构可发现各项都含有$(x+2)$，可以把$(x+2)$看作一个整体，利用十字相乘法对左侧的二次三项式因式分解，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解就能得到方程的根。
【解析】
解：将$(x+2)$看作整体进行十字相乘，原方程变形为：
$(x+2-3)(x+2-5)=0$
整理得：$(x-1)(x-3)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1,x_2=3$
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法，整体代换
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意观察方程的结构特征，将重复出现的部分看作整体简化计算，能有效避免展开多项式带来的计算复杂度，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可发现各项都含有$(x+2)$，可以把$(x+2)$看作一个整体，利用十字相乘法对左侧的二次三项式因式分解，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解就能得到方程的根。
【解析】
解：将$(x+2)$看作整体进行十字相乘，原方程变形为：
$(x+2-3)(x+2-5)=0$
整理得：$(x-1)(x-3)=0$
$\therefore x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1,x_2=3$
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，十字相乘法，整体代换
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意观察方程的结构特征，将重复出现的部分看作整体简化计算，能有效避免展开多项式带来的计算复杂度，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
3.解方程：$3^{2x} -4×3^x +3=0$。
答案
原方程可以变形为$(3^x)^2-4×3^x+3=0$,
$\therefore (3^x-1)(3^x-3)=0$,
$\therefore 3^x-1=0$ 或 $3^x-3=0,\therefore x_1=0,x_2=1$.
$\therefore (3^x-1)(3^x-3)=0$,
$\therefore 3^x-1=0$ 或 $3^x-3=0,\therefore x_1=0,x_2=1$.
解析
【分析】首先观察方程的结构特征，可发现$3^{2x}=(3^x)^2$，因此可以将$3^x$看作一个整体，把原方程转化为关于$3^x$的一元二次方程，再用十字相乘法对转化后的一元二次方程因式分解，最后分别求解对应的指数方程即可得到x的取值。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(3^x)^2 - 4×3^x + 3 = 0$
用十字相乘法因式分解，得：
$(3^x - 1)(3^x - 3) = 0$
因此$3^x - 1 = 0$或$3^x - 3 = 0$，
当$3^x -1=0$时，$3^x=1$，解得$x=0$；
当$3^x -3=0$时，$3^x=3$，解得$x=1$。
【答案】$x_1=0,x_2=1$
【知识点】十字相乘法因式分解，换元法解方程，指数运算
【点评】本题重点考查整体换元的数学思想，将陌生的指数型方程转化为已经掌握的一元二次方程求解，解题的关键是准确找到可以整体代换的部分，整体计算难度不高，掌握换元思路即可快速解题。
【难度系数】0.7
【解析】
解：原方程可变形为：
$(3^x)^2 - 4×3^x + 3 = 0$
用十字相乘法因式分解，得：
$(3^x - 1)(3^x - 3) = 0$
因此$3^x - 1 = 0$或$3^x - 3 = 0$，
当$3^x -1=0$时，$3^x=1$，解得$x=0$；
当$3^x -3=0$时，$3^x=3$，解得$x=1$。
【答案】$x_1=0,x_2=1$
【知识点】十字相乘法因式分解，换元法解方程，指数运算
【点评】本题重点考查整体换元的数学思想，将陌生的指数型方程转化为已经掌握的一元二次方程求解，解题的关键是准确找到可以整体代换的部分，整体计算难度不高，掌握换元思路即可快速解题。
【难度系数】0.7
