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数学
九年级
全一册
1.用公式法解一元二次方程$3x^2 -4x=8$时，应先将方程化为$ax^2+bx+c=0$的形式，则$a,b,c$的值分别为（
A.$3,-4,8$
B.$3,-4,-8$
C.$3,4,-8$
D.$3,4,8$
九年级
全一册
1.用公式法解一元二次方程$3x^2 -4x=8$时，应先将方程化为$ax^2+bx+c=0$的形式，则$a,b,c$的值分别为（
B
）A.$3,-4,8$
B.$3,-4,-8$
C.$3,4,-8$
D.$3,4,8$
答案
1.B $\because 3x^2-4x=8,\therefore 3x^2-4x-8=0,\therefore a=3,b=-4,c=-8,$故选 B.
解析
【分析】
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题时先对原方程进行移项，把等号右侧的项移到左侧，使等号右侧为0，再分别对应找到二次项系数a、一次项系数b、常数项c即可，注意确定系数时要保留项前面的符号。
【解析】
首先对原方程$3x^2 -4x=8$进行移项，将右侧的8移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 -4x -8=0$
对照一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-8$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时忽略项前面的负号，掌握一元二次方程一般形式的要求是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程中a、b、c的值，首先需要将原方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题时先对原方程进行移项，把等号右侧的项移到左侧，使等号右侧为0，再分别对应找到二次项系数a、一次项系数b、常数项c即可，注意确定系数时要保留项前面的符号。
【解析】
首先对原方程$3x^2 -4x=8$进行移项，将右侧的8移到左侧，移项要变号，可得：
$3x^2 -4x -8=0$
对照一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-8$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时忽略项前面的负号，掌握一元二次方程一般形式的要求是解题的关键。
【难度系数】
0.9
斗反
2.「2026江苏南京外国语学校淮安分校月考」若$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b+c=$（
A.-2
B.4
C.2
D.0
2.「2026江苏南京外国语学校淮安分校月考」若$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b+c=$（
D
）A.-2
B.4
C.2
D.0
答案
2.D 由题意得$a=3,b=-2,c=-1,\therefore a+b+c=3-2-1=0,$故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题目给出的根的表达式和求根公式逐项对应，就能求出$a、b、c$的值，最后代入计算$a+b+c$即可。解题时要特别注意分子第一项的符号对应，避免符号出错。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对应：
1. 对应分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对应分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对应根号内的判别式部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，将$a=3$代入得：
$-4×3× c=-4×3×(-1)$，两边同时除以$-12$，解得$c=-1$。
将$a=3、b=-2、c=-1$代入$a+b+c$得：
$a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式、代数式求值
【点评】
本题考查对一元二次方程求根公式结构的理解与应用，解题核心是准确对应求根公式中各部分的系数，尤其要注意符号的对应关系，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题目给出的根的表达式和求根公式逐项对应，就能求出$a、b、c$的值，最后代入计算$a+b+c$即可。解题时要特别注意分子第一项的符号对应，避免符号出错。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对应：
1. 对应分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对应分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对应根号内的判别式部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，将$a=3$代入得：
$-4×3× c=-4×3×(-1)$，两边同时除以$-12$，解得$c=-1$。
将$a=3、b=-2、c=-1$代入$a+b+c$得：
$a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式、代数式求值
【点评】
本题考查对一元二次方程求根公式结构的理解与应用，解题核心是准确对应求根公式中各部分的系数，尤其要注意符号的对应关系，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
3.利用公式法解得一元二次方程$3x^2 -11x -1=0$的两根为$x_1,x_2$，且$x_1＞x_2$，则$x_1$为（
）
）答案
3.D $\because a=3,b=-11,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-11)^2-4×3×(-1)=133＞0,\therefore x=\frac{11\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6},$
$\because$ 一元二次方程$3x^2-11x-1=0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2,\therefore x_1$为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}.$故选 D.
$\because$ 一元二次方程$3x^2-11x-1=0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2,\therefore x_1$为$\frac{11+\sqrt{133}}{6}.$故选 D.
解析
【分析】
本题要求用公式法求一元二次方程的较大根，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应题目中的方程找出$a、b、c$的取值，注意不要搞错符号；第二步，计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得到两个根的表达式；第四步，根据$x_1＞x_2$的要求，取带加号的根即为所求的$x_1$。
【解析】
将方程$3x^2 -11x -1=0$与一元二次方程一般形式对照，可得$a=3$，$b=-11$，$c=-1$。
先计算根的判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-11)^2 - 4×3×(-1)=121 + 12=133＞0$，可知方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$。
因为$x_1＞x_2$，所以带加号的根为较大根，即$x_1=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；求根公式；根的判别式
【点评】本题考查公式法解一元二次方程的基础应用，解题的核心是准确识别方程中$a、b、c$的符号，正确计算判别式并代入求根公式，再根据根的大小要求选出对应结果。
【难度系数】0.8
本题要求用公式法求一元二次方程的较大根，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应题目中的方程找出$a、b、c$的取值，注意不要搞错符号；第二步，计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得到两个根的表达式；第四步，根据$x_1＞x_2$的要求，取带加号的根即为所求的$x_1$。
【解析】
将方程$3x^2 -11x -1=0$与一元二次方程一般形式对照，可得$a=3$，$b=-11$，$c=-1$。
先计算根的判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-11)^2 - 4×3×(-1)=121 + 12=133＞0$，可知方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{133}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{133}}{6}$。
因为$x_1＞x_2$，所以带加号的根为较大根，即$x_1=\frac{11+\sqrt{133}}{6}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；求根公式；根的判别式
【点评】本题考查公式法解一元二次方程的基础应用，解题的核心是准确识别方程中$a、b、c$的符号，正确计算判别式并代入求根公式，再根据根的大小要求选出对应结果。
【难度系数】0.8
4. 学科特色教材变式 解下列方程：
(1)「2026 江苏盐城射阳期中」$2x^2 + 3x - 5 = 0.$
(2)「2026 江苏南京月考」$y(y-2) = 3y^2 - 1.$
(1)「2026 江苏盐城射阳期中」$2x^2 + 3x - 5 = 0.$
(2)「2026 江苏南京月考」$y(y-2) = 3y^2 - 1.$
答案
4.解析 (1)$\because a=2,b=3,c=-5,$
$\therefore b^2-4ac=3^2-4×2×(-5)=9+40=49,$
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2},\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}.$
(2)将原方程整理得$2y^2+2y-1=0,$
$\therefore a=2,b=2,c=-1,$
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×2×(-1)=12＞0,$
$\therefore y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2},$
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}.$
$\therefore b^2-4ac=3^2-4×2×(-5)=9+40=49,$
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2},\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}.$
(2)将原方程整理得$2y^2+2y-1=0,$
$\therefore a=2,b=2,c=-1,$
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×2×(-1)=12＞0,$
$\therefore y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2},$
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
解这两个一元二次方程可采用公式法，解题思路为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实根，将系数代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的解。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先去括号、移项合并同类项，整理为一般形式后再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x - 5 = 0$，
$\because a=2,b=3,c=-5$，
$\therefore b^2-4ac=3^2-4×2×(-5)=9+40=49$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2}$，
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 先整理方程$y(y-2) = 3y^2 - 1$：
去括号移项、合并同类项得$2y^2+2y-1=0$，
$\because a=2,b=2,c=-1$，
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×2×(-1)=12＞0$，
$\therefore y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=1，x_2=-\frac{5}{2}$；(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}，y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程化简，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的应用，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定系数时不要搞错符号，计算判别式和求根时要仔细运算避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解这两个一元二次方程可采用公式法，解题思路为：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实根，将系数代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的解。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先去括号、移项合并同类项，整理为一般形式后再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 3x - 5 = 0$，
$\because a=2,b=3,c=-5$，
$\therefore b^2-4ac=3^2-4×2×(-5)=9+40=49$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2}$，
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 先整理方程$y(y-2) = 3y^2 - 1$：
去括号移项、合并同类项得$2y^2+2y-1=0$，
$\because a=2,b=2,c=-1$，
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×2×(-1)=12＞0$，
$\therefore y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=1，x_2=-\frac{5}{2}$；(2)$y_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}，y_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程化简，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法的应用，解题时要注意先将方程化为一般形式，确定系数时不要搞错符号，计算判别式和求根时要仔细运算避免计算失误。
【难度系数】
0.8
5.「2025江苏扬州中考」关于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
5.A $\because \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0,$
$\therefore$ 方程$x^2-3x+1=0$有两个不相等的实数根.故选 A.
$\therefore$ 方程$x^2-3x+1=0$有两个不相等的实数根.故选 A.
解析
【分析】要判断一元二次方程的根的情况，优先使用根的判别式求解。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题目给出的方程中确定$a、b、c$的取值，注意要带对应符号；第二步，代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算$\Delta$的数值；第三步，根据$\Delta$和0的大小关系对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，最后对应选项得出答案即可。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$
根据判别式的性质，$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此选A。
【答案】A
【知识点】1. 根的判别式 2. 一元二次方程根的判定
【点评】本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的情况，就能快速得分，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】0.9
【解析】对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$
根据判别式的性质，$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此选A。
【答案】A
【知识点】1. 根的判别式 2. 一元二次方程根的判定
【点评】本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的情况，就能快速得分，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】0.9
6. 学科特色 教材变式「2025江苏镇江中考」关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
$\pm2$
。答案
6.答案 $\pm2$
解析 $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+1=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=m^2-4×1×1=0,\therefore m=\pm2.$
解析 $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+mx+1=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=m^2-4×1×1=0,\therefore m=\pm2.$
解析
【分析】
当题目给出一元二次方程根的个数情况时，首先联想到用一元二次方程根的判别式求解。解题思路可分为三步：第一步先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步根据“有两个相等的实数根”可知判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，代入对应系数列出关于$m$的方程；第三步解方程求出$m$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$，
代入得$m^2 - 4×1×1 = 0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方根的运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础考题，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，解题时要注意正数的平方根有正负两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.85
当题目给出一元二次方程根的个数情况时，首先联想到用一元二次方程根的判别式求解。解题思路可分为三步：第一步先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步根据“有两个相等的实数根”可知判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，代入对应系数列出关于$m$的方程；第三步解方程求出$m$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$，
代入得$m^2 - 4×1×1 = 0$，
整理得$m^2=4$，
解得$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方根的运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础考题，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，解题时要注意正数的平方根有正负两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.85
7.「2026江苏泰州姜堰月考」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$无实数根，则一次函数$y = mx + m$的图象不经过第
四
象限.答案
7.答案 四
解析 $\because$ 方程$x^2-2x+m=0$无实数根,
$\therefore \Delta=(-2)^2-4m＜0,$解得$m＞1,$
当$m＞1$时,一次函数$y=mx+m$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
解析 $\because$ 方程$x^2-2x+m=0$无实数根,
$\therefore \Delta=(-2)^2-4m＜0,$解得$m＞1,$
当$m＞1$时,一次函数$y=mx+m$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
解析
【分析】
要解决这道题，可分两步思考：第一步，根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0建立关于m的不等式，求出m的取值范围；第二步，结合一次函数的系数与图象经过象限的对应关系，根据m的正负判断一次函数经过的象限，即可得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m ＜ 0$，
计算得$4 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 1$。
对于一次函数$y = mx + m$，
∵ 一次项系数$m ＞ 1 ＞ 0$，
∴ 函数图象呈上升趋势，经过第一、三象限，
∵ 常数项$m ＞ 1 ＞ 0$，
∴ 函数图象与y轴交于正半轴，
因此该一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是先准确求出参数m的取值范围，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可分两步思考：第一步，根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0建立关于m的不等式，求出m的取值范围；第二步，结合一次函数的系数与图象经过象限的对应关系，根据m的正负判断一次函数经过的象限，即可得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× m ＜ 0$，
计算得$4 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 1$。
对于一次函数$y = mx + m$，
∵ 一次项系数$m ＞ 1 ＞ 0$，
∴ 函数图象呈上升趋势，经过第一、三象限，
∵ 常数项$m ＞ 1 ＞ 0$，
∴ 函数图象与y轴交于正半轴，
因此该一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是先准确求出参数m的取值范围，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断即可。
【难度系数】
0.7
8.「2026江苏南京秦淮期中」将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”。
(1)写出方程$2x^2 -3x +1=0$的逆方程。
(2)已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根。
(1)写出方程$2x^2 -3x +1=0$的逆方程。
(2)已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根。
答案
8.解析 (1)方程$2x^2-3x+1=0$的逆方程为$x^2-3x+2=0.$
(2)证明:令这个一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0),\because$ 此方程没有实数根,$\therefore b^2-4ac＜0.$此方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0,$则$\Delta=b^2-4ca＜0,\therefore$ 其逆方程也没有实数根.
(2)证明:令这个一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0),\because$ 此方程没有实数根,$\therefore b^2-4ac＜0.$此方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0,$则$\Delta=b^2-4ca＜0,\therefore$ 其逆方程也没有实数根.
解析
【分析】
（1）解题首先要明确“逆方程”的定义：将原一元二次方程的二次项系数与常数项对调，一次项系数保持不变，即可得到逆方程，直接按照定义替换对应系数就能求解。
（2）要证明逆方程没有实数根，需用到一元二次方程根的判别式的性质：判别式小于0时方程无实根。先设出原一元二次方程的一般形式，根据原方程无实根得到其判别式小于0，再写出逆方程的判别式，对比两个判别式的表达式，就能得出逆方程的判别式也小于0，从而证明结论。
【解析】
（1）根据逆方程的定义，将方程$2x^2 -3x +1=0$的二次项系数2和常数项1对调，一次项系数-3保持不变，可得逆方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
（2）证明：设原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$c≠0$），
∵原方程没有实数根，
∴其判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
根据逆方程的定义，原方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0$，
逆方程的判别式$\Delta' = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac$，
∵$b^2 - 4ac ＜ 0$，
∴$\Delta' ＜ 0$，
∴其逆方程也没有实数根。
【答案】
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；(2) 逆方程也没有实数根，得证。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“逆方程”的含义，再结合一元二次方程根的判别式的基础知识解答，主要考查学生对新定义的理解能力和基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
（1）解题首先要明确“逆方程”的定义：将原一元二次方程的二次项系数与常数项对调，一次项系数保持不变，即可得到逆方程，直接按照定义替换对应系数就能求解。
（2）要证明逆方程没有实数根，需用到一元二次方程根的判别式的性质：判别式小于0时方程无实根。先设出原一元二次方程的一般形式，根据原方程无实根得到其判别式小于0，再写出逆方程的判别式，对比两个判别式的表达式，就能得出逆方程的判别式也小于0，从而证明结论。
【解析】
（1）根据逆方程的定义，将方程$2x^2 -3x +1=0$的二次项系数2和常数项1对调，一次项系数-3保持不变，可得逆方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
（2）证明：设原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$c≠0$），
∵原方程没有实数根，
∴其判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
根据逆方程的定义，原方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0$，
逆方程的判别式$\Delta' = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac$，
∵$b^2 - 4ac ＜ 0$，
∴$\Delta' ＜ 0$，
∴其逆方程也没有实数根。
【答案】
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；(2) 逆方程也没有实数根，得证。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“逆方程”的含义，再结合一元二次方程根的判别式的基础知识解答，主要考查学生对新定义的理解能力和基础知识点的运用能力。
【难度系数】
0.8
9.「2026江苏南京鼓楼十二中月考」解方程$(x-2)^2=3(x-2)$最合适的方法应是（
A.因式分解法
B.配方法
C.直接开平方法
D.公式法
A
）A.因式分解法
B.配方法
C.直接开平方法
D.公式法
答案
9.A 移项,得$(x-2)^2-3(x-2)=0,$提取公因式,得$(x-2)[(x-2)-3]=0,$因此,最合适的方法是因式分解法.
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程四种常用解法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(x+a)^2=b(b≥0)$的方程；配方法多用于二次项系数为1、一次项系数为偶数便于配方的方程；公式法是通用解法但计算量较大；因式分解法适用于方程一边为0，另一边易分解为两个一次因式乘积的形式。观察本题方程，左右两侧都含有公因式$(x-2)$，移项后可直接提取公因式转化为两个一次式乘积为0的形式，计算简便且不会漏根，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
先对原方程移项，得$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$，观察等式左侧可提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)[(x-2)-3] = 0$，即可转化为两个一元一次方程求解，全程无复杂计算，是最简便的解法，因此最合适的方法为因式分解法。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选取简便方法，同时注意不能直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.9
首先回忆一元二次方程四种常用解法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(x+a)^2=b(b≥0)$的方程；配方法多用于二次项系数为1、一次项系数为偶数便于配方的方程；公式法是通用解法但计算量较大；因式分解法适用于方程一边为0，另一边易分解为两个一次因式乘积的形式。观察本题方程，左右两侧都含有公因式$(x-2)$，移项后可直接提取公因式转化为两个一次式乘积为0的形式，计算简便且不会漏根，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
先对原方程移项，得$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$，观察等式左侧可提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)[(x-2)-3] = 0$，即可转化为两个一元一次方程求解，全程无复杂计算，是最简便的解法，因此最合适的方法为因式分解法。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选取简便方法，同时注意不能直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.9
10.用合适的方法解下列方程.
(1) 「2026 江苏徐州联考」$x^2 -6x +9=(5-2x)^2$.
(2)「2026 江苏镇江期中」$x^2 -4x +1=0$.
(3)「2026 江苏无锡月考」$2x^2 +4x -3=0$.
(1) 「2026 江苏徐州联考」$x^2 -6x +9=(5-2x)^2$.
(2)「2026 江苏镇江期中」$x^2 -4x +1=0$.
(3)「2026 江苏无锡月考」$2x^2 +4x -3=0$.
答案
10.解析 (1)【解法一】$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2-(5-2x)^2=0,\therefore (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0,\therefore (-x+2)(3x-8)=0,\therefore -x+2=0$或$3x-8=0,\therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}.$
【解法二】$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2,\therefore x-3=\pm(5-2x),\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-5+2x,\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2.$
(2)$\because x^2-4x+1=0,\therefore x^2-4x=-1,\therefore x^2-4x+4=-1+4,$
$\therefore (x-2)^2=3,\therefore x-2=\pm\sqrt{3},\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}.$
(3)$\because a=2,b=4,c=-3,\therefore \Delta=4^2-4×2×(-3)=16+24=40＞0,\therefore x=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2},\therefore x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}.$
【解法二】$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2,\therefore x-3=\pm(5-2x),\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-5+2x,\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2.$
(2)$\because x^2-4x+1=0,\therefore x^2-4x=-1,\therefore x^2-4x+4=-1+4,$
$\therefore (x-2)^2=3,\therefore x-2=\pm\sqrt{3},\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}.$
(3)$\because a=2,b=4,c=-3,\therefore \Delta=4^2-4×2×(-3)=16+24=40＞0,\therefore x=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2},\therefore x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}.$
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
(1) 方程左边是完全平方式，右边也是整式的平方，可先将左边整理为$(x-3)^2$，再选择移项用平方差公式因式分解降次，或者直接开平方降次求解，两种方法都较为简便；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数是偶数，优先选择配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再左右两边加一次项系数一半的平方完成配方，再开平方求解；
(3) 方程各项系数无特殊特征，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 【解法一】
$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2-(5-2x)^2=0$
$\therefore (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0$
$\therefore (-x+2)(3x-8)=0$
$\therefore -x+2=0$或$3x-8=0$
$\therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【解法二】
$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$
$\therefore x-3=\pm(5-2x)$
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-5+2x$
$\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(2) $\because x^2-4x+1=0$
$\therefore x^2-4x=-1$
$\therefore x^2-4x+4=-1+4$
$\therefore (x-2)^2=3$
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$
(3) $\because a=2,b=4,c=-3$
$\therefore \Delta=4^2-4×2×(-3)=16+24=40＞0$
$\therefore x=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$
$\therefore x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$；
(2) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；
(3) $x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程，配方法解方程，公式法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的解法，既能提升解题速度也能降低计算出错概率，属于基础运算类题目，需要熟练掌握各类解法的适用条件和运算步骤。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
(1) 方程左边是完全平方式，右边也是整式的平方，可先将左边整理为$(x-3)^2$，再选择移项用平方差公式因式分解降次，或者直接开平方降次求解，两种方法都较为简便；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数是偶数，优先选择配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再左右两边加一次项系数一半的平方完成配方，再开平方求解；
(3) 方程各项系数无特殊特征，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 【解法一】
$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2-(5-2x)^2=0$
$\therefore (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0$
$\therefore (-x+2)(3x-8)=0$
$\therefore -x+2=0$或$3x-8=0$
$\therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
【解法二】
$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2$
$\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$
$\therefore x-3=\pm(5-2x)$
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-5+2x$
$\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2$
(2) $\because x^2-4x+1=0$
$\therefore x^2-4x=-1$
$\therefore x^2-4x+4=-1+4$
$\therefore (x-2)^2=3$
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$
(3) $\because a=2,b=4,c=-3$
$\therefore \Delta=4^2-4×2×(-3)=16+24=40＞0$
$\therefore x=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$
$\therefore x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$；
(2) $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；
(3) $x_1=-1+\frac{\sqrt{10}}{2},x_2=-1-\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程，配方法解方程，公式法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的解法，既能提升解题速度也能降低计算出错概率，属于基础运算类题目，需要熟练掌握各类解法的适用条件和运算步骤。
【难度系数】
0.8
