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11. [2026苏州胥江实验中学校月考]平面内,将长分别为1,1,3,x的线段,首尾顺次相接组成凸四边形(如图),x可能是 (
A.1
B.3
C.5
D.7
B
)A.1
B.3
C.5
D.7
答案
11. B
如图,连接AC(把四边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决).在△ACD中,3-1＜AC＜3+1,
∴2＜AC＜4.在△ABC中,AC-1＜x＜AC+1,
∴1＜x＜5,
∴x可能是3.
解析
【分析】
要确定凸四边形中边长x的取值范围，我们可以通过作辅助线连接对角线，将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，利用三角形三边关系逐步推导：首先在含已知边的三角形中求出对角线的取值范围，再将对角线作为另一个三角形的边，推导x的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
解：如图，连接AC，将四边形拆分为△ACD和△ABC。
①在△ACD中，已知AD=1，CD=3，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$3 - 1 ＜ AC ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ AC ＜ 4$。
②在△ABC中，已知AB=1，BC=x，同理根据三角形三边关系可得：
$AC - 1 ＜ x ＜ AC + 1$。
结合AC的范围推导x的范围：当AC取最小值接近2时，x最小接近$2 - 1 = 1$；当AC取最大值接近4时，x最大接近$4 + 1 = 5$，因此x的取值范围是$1 ＜ x ＜ 5$。
观察选项，只有3在该范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 转化思想
【点评】
本题核心是利用转化思想，通过连接对角线将四边形边长问题转化为三角形三边关系的应用，解题关键是先求出对角线的取值范围，再进一步推导未知边的范围，属于基础应用类题目，能很好地考察学生对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定凸四边形中边长x的取值范围，我们可以通过作辅助线连接对角线，将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，利用三角形三边关系逐步推导：首先在含已知边的三角形中求出对角线的取值范围，再将对角线作为另一个三角形的边，推导x的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
解：如图，连接AC，将四边形拆分为△ACD和△ABC。
①在△ACD中，已知AD=1，CD=3，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$3 - 1 ＜ AC ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ AC ＜ 4$。
②在△ABC中，已知AB=1，BC=x，同理根据三角形三边关系可得：
$AC - 1 ＜ x ＜ AC + 1$。
结合AC的范围推导x的范围：当AC取最小值接近2时，x最小接近$2 - 1 = 1$；当AC取最大值接近4时，x最大接近$4 + 1 = 5$，因此x的取值范围是$1 ＜ x ＜ 5$。
观察选项，只有3在该范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 转化思想
【点评】
本题核心是利用转化思想，通过连接对角线将四边形边长问题转化为三角形三边关系的应用，解题关键是先求出对角线的取值范围，再进一步推导未知边的范围，属于基础应用类题目，能很好地考察学生对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
12. [2026宿迁泗阳期中]已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足$|b-2|+(c-3)^2=0$,且a为方程$|a-5|=1$的解,则△ABC的周长为
9
.答案
12. 9
∵|b-2|+(c-3)²=0,
∴b-2=0且c-3=0,
∴b=2,c=3.
∵a为方程|a-5|=1的解,
∴a=6或a=4.又
∵2+3＜6,
∴a=4,
∴△ABC的周长为2+3+4=9.
∵|b-2|+(c-3)²=0,
∴b-2=0且c-3=0,
∴b=2,c=3.
∵a为方程|a-5|=1的解,
∴a=6或a=4.又
∵2+3＜6,
∴a=4,
∴△ABC的周长为2+3+4=9.
解析
【分析】
解题时先利用非负数的性质求出b、c的值，再解绝对值方程得到a的两个可能取值，最后根据三角形三边关系判断a的取值是否符合要求，舍去不符合条件的a值，进而计算三角形的周长。第一步要明确绝对值和平方数都具有非负性，两者相加为0时仅当各自为0；第二步解绝对值方程时要注意绝对值等于1的数有1和-1两种情况；第三步必须验证三边是否满足三角形三边关系，这是避免出错的关键。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|b-2|+(c-3)^2=0$，
∴$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
∵a是方程$|a-5|=1$的解，
∴$a-5=1$或$a-5=-1$，
解得$a=6$或$a=4$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
当$a=6$时，$b+c=2+3=5＜6$，不能构成三角形，舍去；
当$a=4$时，$2+3＞4$，$3-2＜4$，符合三边关系。
∴$△ ABC$的周长为$2+3+4=9$。
【答案】
9
【知识点】
1.非负数的性质
2.绝对值方程求解
3.三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，易错点是解出a的两个值后忽略三角形三边关系的验证，直接将两个值分别代入计算周长，导致出现多解错误，解题时需牢记构成三角形的三边条件，对求得的边长进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时先利用非负数的性质求出b、c的值，再解绝对值方程得到a的两个可能取值，最后根据三角形三边关系判断a的取值是否符合要求，舍去不符合条件的a值，进而计算三角形的周长。第一步要明确绝对值和平方数都具有非负性，两者相加为0时仅当各自为0；第二步解绝对值方程时要注意绝对值等于1的数有1和-1两种情况；第三步必须验证三边是否满足三角形三边关系，这是避免出错的关键。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|b-2|+(c-3)^2=0$，
∴$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
∵a是方程$|a-5|=1$的解，
∴$a-5=1$或$a-5=-1$，
解得$a=6$或$a=4$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
当$a=6$时，$b+c=2+3=5＜6$，不能构成三角形，舍去；
当$a=4$时，$2+3＞4$，$3-2＜4$，符合三边关系。
∴$△ ABC$的周长为$2+3+4=9$。
【答案】
9
【知识点】
1.非负数的性质
2.绝对值方程求解
3.三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，易错点是解出a的两个值后忽略三角形三边关系的验证，直接将两个值分别代入计算周长，导致出现多解错误，解题时需牢记构成三角形的三边条件，对求得的边长进行取舍。
【难度系数】
0.7
13. 易错题 [2026扬州文津中学月考] 定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为
4或1.5
.答案
13. 4或1.5
设△ABC中,第三条边AB=x,AC=2,BC=3,△ABC是“倍长三角形”.①当AB=2AC,即x=4时,△ABC三边的长分别是2,3,4,符合题意.②当AB=2BC,即x=6时,
∵2+3＜6,
∴此时不能组成三角形,这种情况不存在.③当AC=2AB=2,即x=1时,
∵1+2=3,
∴此时不能组成三角形,这种情况不存在.④当BC=2AB=3,即x=1.5时,△ABC三边的长分别是1.5,2,3,符合题意.综上所述,第三条边的长为4或1.5.
设△ABC中,第三条边AB=x,AC=2,BC=3,△ABC是“倍长三角形”.①当AB=2AC,即x=4时,△ABC三边的长分别是2,3,4,符合题意.②当AB=2BC,即x=6时,
∵2+3＜6,
∴此时不能组成三角形,这种情况不存在.③当AC=2AB=2,即x=1时,
∵1+2=3,
∴此时不能组成三角形,这种情况不存在.④当BC=2AB=3,即x=1.5时,△ABC三边的长分别是1.5,2,3,符合题意.综上所述,第三条边的长为4或1.5.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题需按两个步骤思考：第一步，紧扣“倍长三角形”的定义，即三角形存在两边满足2倍关系，已知两条边长为2和3，设第三条边长为x，需分类讨论所有可能的2倍关系情况；第二步，每算出一种x的取值后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最终得到符合条件的第三边长度。
【解析】
设△ABC的第三条边长为x，已知两边长分别为2、3，结合“倍长三角形”的定义分情况讨论：
① 当第三边是长度为2的边的2倍时，即$x=2×2=4$，此时三角形三边长为2、3、4，满足$2+3＞4$，符合三角形三边关系，可构成三角形，符合题意；
② 当第三边是长度为3的边的2倍时，即$x=2×3=6$，此时三角形三边长为2、3、6，因为$2+3＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
③ 当长度为2的边是第三边的2倍时，即$2=2x$，解得$x=1$，此时三角形三边长为1、2、3，因为$1+2=3$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
④ 当长度为3的边是第三边的2倍时，即$3=2x$，解得$x=1.5$，此时三角形三边长为1.5、2、3，满足$1.5+2＞3$，符合三角形三边关系，可构成三角形，符合题意。
综上所述，第三条边的长为4或1.5。
【答案】
4或1.5
【知识点】
三角形三边关系；新定义理解；分类讨论思想
【点评】
本题易错点为分类讨论不全面，或者求出第三边长度后忽略用三角形三边关系验证，导致出现多解、错解的情况，解题时要注意将新定义和几何性质结合使用。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类题型，解题需按两个步骤思考：第一步，紧扣“倍长三角形”的定义，即三角形存在两边满足2倍关系，已知两条边长为2和3，设第三条边长为x，需分类讨论所有可能的2倍关系情况；第二步，每算出一种x的取值后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最终得到符合条件的第三边长度。
【解析】
设△ABC的第三条边长为x，已知两边长分别为2、3，结合“倍长三角形”的定义分情况讨论：
① 当第三边是长度为2的边的2倍时，即$x=2×2=4$，此时三角形三边长为2、3、4，满足$2+3＞4$，符合三角形三边关系，可构成三角形，符合题意；
② 当第三边是长度为3的边的2倍时，即$x=2×3=6$，此时三角形三边长为2、3、6，因为$2+3＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
③ 当长度为2的边是第三边的2倍时，即$2=2x$，解得$x=1$，此时三角形三边长为1、2、3，因为$1+2=3$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
④ 当长度为3的边是第三边的2倍时，即$3=2x$，解得$x=1.5$，此时三角形三边长为1.5、2、3，满足$1.5+2＞3$，符合三角形三边关系，可构成三角形，符合题意。
综上所述，第三条边的长为4或1.5。
【答案】
4或1.5
【知识点】
三角形三边关系；新定义理解；分类讨论思想
【点评】
本题易错点为分类讨论不全面，或者求出第三边长度后忽略用三角形三边关系验证，导致出现多解、错解的情况，解题时要注意将新定义和几何性质结合使用。
【难度系数】
0.6
14.把12 cm长的铁丝截成三段,每段长度均为整数.若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形,则不同的三角形有
3
种.答案
14. 3
情况讨论如下:①当最短的边的长是1 cm时,由三角形的三边关系可知此种情形都不成立;②当最短的边的长是2 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是2 cm,5 cm,5 cm;③当最短的边的长是3 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是3 cm,4 cm,5 cm;④当最短的边的长是4 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是4 cm,4 cm,4 cm.
∵12÷3=4(cm),
∴最短的边的长一定不大于4 cm.综上可知,有3种不同的三角形.
情况讨论如下:①当最短的边的长是1 cm时,由三角形的三边关系可知此种情形都不成立;②当最短的边的长是2 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是2 cm,5 cm,5 cm;③当最短的边的长是3 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是3 cm,4 cm,5 cm;④当最短的边的长是4 cm时,由三角形的三边关系可得三边长是4 cm,4 cm,4 cm.
∵12÷3=4(cm),
∴最短的边的长一定不大于4 cm.综上可知,有3种不同的三角形.
解析
【分析】
本题需要找出所有由总长12cm、边长均为正整数的三段铁丝围成的三角形，解题核心是利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”。为避免重复或漏解，我们可以将三边长按从小到大的顺序排列，固定最短边的长度分类讨论：首先根据周长可知，最短边的长度不能超过周长的三分之一（若最短边大于4cm，三边长之和必然大于12cm，不符合题意），因此只需依次讨论最短边为1cm、2cm、3cm、4cm的4种情况，逐一验证剩余两边是否满足三边关系即可。
【解析】
设三段铁丝的长度分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$、$c\ \mathrm{cm}$，且满足$a≤ b≤ c$，$a+b+c=12$，$a$、$b$、$c$均为正整数。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得$a+b＞c$。
又因为$a≤ b≤ c$，所以$3a≤ a+b+c=12$，即$a≤4$，因此最短边$a$的取值只能是1、2、3、4，分情况讨论：
①当$a=1$时，$b+c=11$，代入$a+b＞c$得$1+b＞c$，即$1+11-c＞c$，解得$c＜6$；又因为$c≥ \frac{b+c}{2}=5.5$，即$c≥6$，矛盾，无符合条件的三角形；
②当$a=2$时，$b+c=10$，代入$a+b＞c$得$2+b＞10-b$，解得$b＞4$；又因为$b≤ c=10-b$，即$b≤5$，因此$b=5$，$c=5$，三边长为2cm，5cm，5cm，符合条件；
③当$a=3$时，$b+c=9$，代入$a+b＞c$得$3+b＞9-b$，解得$b＞3$；又因为$b≤ c=9-b$，即$b≤4.5$，因此$b=4$，$c=5$，三边长为3cm，4cm，5cm，符合条件；
④当$a=4$时，$b+c=8$，又因为$b≥ a=4$且$b≤ c=8-b$，即$b≤4$，因此$b=4$，$c=4$，三边长为4cm，4cm，4cm，符合条件。
综上，符合条件的不同三角形共有3种。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论思想，三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边长计数的典型题型，解题关键是通过固定最短边的范围缩小讨论对象，既可以避免重复计数，也能防止漏解，很好地考查了逻辑推理能力和对三边关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题需要找出所有由总长12cm、边长均为正整数的三段铁丝围成的三角形，解题核心是利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”。为避免重复或漏解，我们可以将三边长按从小到大的顺序排列，固定最短边的长度分类讨论：首先根据周长可知，最短边的长度不能超过周长的三分之一（若最短边大于4cm，三边长之和必然大于12cm，不符合题意），因此只需依次讨论最短边为1cm、2cm、3cm、4cm的4种情况，逐一验证剩余两边是否满足三边关系即可。
【解析】
设三段铁丝的长度分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$、$c\ \mathrm{cm}$，且满足$a≤ b≤ c$，$a+b+c=12$，$a$、$b$、$c$均为正整数。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得$a+b＞c$。
又因为$a≤ b≤ c$，所以$3a≤ a+b+c=12$，即$a≤4$，因此最短边$a$的取值只能是1、2、3、4，分情况讨论：
①当$a=1$时，$b+c=11$，代入$a+b＞c$得$1+b＞c$，即$1+11-c＞c$，解得$c＜6$；又因为$c≥ \frac{b+c}{2}=5.5$，即$c≥6$，矛盾，无符合条件的三角形；
②当$a=2$时，$b+c=10$，代入$a+b＞c$得$2+b＞10-b$，解得$b＞4$；又因为$b≤ c=10-b$，即$b≤5$，因此$b=5$，$c=5$，三边长为2cm，5cm，5cm，符合条件；
③当$a=3$时，$b+c=9$，代入$a+b＞c$得$3+b＞9-b$，解得$b＞3$；又因为$b≤ c=9-b$，即$b≤4.5$，因此$b=4$，$c=5$，三边长为3cm，4cm，5cm，符合条件；
④当$a=4$时，$b+c=8$，又因为$b≥ a=4$且$b≤ c=8-b$，即$b≤4$，因此$b=4$，$c=4$，三边长为4cm，4cm，4cm，符合条件。
综上，符合条件的不同三角形共有3种。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论思想，三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边长计数的典型题型，解题关键是通过固定最短边的范围缩小讨论对象，既可以避免重复计数，也能防止漏解，很好地考查了逻辑推理能力和对三边关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
15. 教材P5问题变式 如图,在$△ ABC$中,已知$AB＞AC＞BC$.求证:$∠ C＞∠ B＞∠ A$. 
答案
15. 证明:如图1,将△ABC折叠,使边AC落在边AB上,点C落在边AB上的点C'处,折痕AD交BC于点D,则∠AC'D=∠C.
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
如图2,将△ABC折叠,使边CB落在边CA上,点B落在边CA上的点B'处,折痕CE交AB于点E,则∠CB'E=∠B.
∵∠CB'E=∠A+∠AEB',
∴∠CB'E＞∠A,
∴∠B＞∠A,
∴∠C＞∠B＞∠A.
解析
【分析】
要证明三角形中较长边所对的角更大，我们可以通过折叠的全等性质实现角的等量转化，再利用三角形外角的性质比较角的大小：首先比较∠C和∠B，将AC折叠到AB上，得到与∠C相等的∠AC'D，∠AC'D是包含∠B的三角形的外角，可证∠AC'D＞∠B，即∠C＞∠B；再同理比较∠B和∠A，将CB折叠到CA上，得到与∠B相等的∠CB'E，∠CB'E是包含∠A的三角形的外角，可证∠CB'E＞∠A，即∠B＞∠A；最后通过不等关系的传递性得到最终结论。
【解析】
证明：如图1，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，点C落在边AB上的点C'处，折痕AD交BC于点D，由折叠的性质可知∠AC'D=∠C。
∵∠AC'D是△BDC'的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AC'D=∠B+∠BDC'，
∵∠BDC'＞0，
∴∠AC'D＞∠B，
∴∠C＞∠B。
如图2，将△ABC折叠，使边CB落在边CA上，点B落在边CA上的点B'处，折痕CE交AB于点E，由折叠的性质可知∠CB'E=∠B。
∵∠CB'E是△AEB'的外角，根据三角形外角的性质，
∴∠CB'E=∠A+∠AEB'，
∵∠AEB'＞0，
∴∠CB'E＞∠A，
∴∠B＞∠A。
结合上述结论，由不等关系的传递性可得∠C＞∠B＞∠A。
【答案】
证明:如图1,将△ABC折叠,使边AC落在边AB上,点C落在边AB上的点C'处,折痕AD交BC于点D,则∠AC'D=∠C.
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
如图2,将△ABC折叠,使边CB落在边CA上,点B落在边CA上的点B'处,折痕CE交AB于点E,则∠CB'E=∠B.
∵∠CB'E=∠A+∠AEB',
∴∠CB'E＞∠A,
∴∠B＞∠A,
∴∠C＞∠B＞∠A.
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质；不等式的传递性
【点评】
本题借助折叠变换实现角的等量转化，结合三角形外角性质比较角的大小，是证明三角形“大边对大角”的经典方法，有助于培养几何转化思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明三角形中较长边所对的角更大，我们可以通过折叠的全等性质实现角的等量转化，再利用三角形外角的性质比较角的大小：首先比较∠C和∠B，将AC折叠到AB上，得到与∠C相等的∠AC'D，∠AC'D是包含∠B的三角形的外角，可证∠AC'D＞∠B，即∠C＞∠B；再同理比较∠B和∠A，将CB折叠到CA上，得到与∠B相等的∠CB'E，∠CB'E是包含∠A的三角形的外角，可证∠CB'E＞∠A，即∠B＞∠A；最后通过不等关系的传递性得到最终结论。
【解析】
证明：如图1，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，点C落在边AB上的点C'处，折痕AD交BC于点D，由折叠的性质可知∠AC'D=∠C。
∵∠AC'D是△BDC'的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AC'D=∠B+∠BDC'，
∵∠BDC'＞0，
∴∠AC'D＞∠B，
∴∠C＞∠B。
如图2，将△ABC折叠，使边CB落在边CA上，点B落在边CA上的点B'处，折痕CE交AB于点E，由折叠的性质可知∠CB'E=∠B。
∵∠CB'E是△AEB'的外角，根据三角形外角的性质，
∴∠CB'E=∠A+∠AEB'，
∵∠AEB'＞0，
∴∠CB'E＞∠A，
∴∠B＞∠A。
结合上述结论，由不等关系的传递性可得∠C＞∠B＞∠A。
【答案】
证明:如图1,将△ABC折叠,使边AC落在边AB上,点C落在边AB上的点C'处,折痕AD交BC于点D,则∠AC'D=∠C.
∵∠AC'D=∠B+∠BDC',
∴∠AC'D＞∠B,
∴∠C＞∠B.
如图2,将△ABC折叠,使边CB落在边CA上,点B落在边CA上的点B'处,折痕CE交AB于点E,则∠CB'E=∠B.
∵∠CB'E=∠A+∠AEB',
∴∠CB'E＞∠A,
∴∠B＞∠A,
∴∠C＞∠B＞∠A.
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质；不等式的传递性
【点评】
本题借助折叠变换实现角的等量转化，结合三角形外角性质比较角的大小，是证明三角形“大边对大角”的经典方法，有助于培养几何转化思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
16. [2026福州杨桥中学期末]设a,b,c均为自然数，且$a≤b≤c$，$a+b+c=13$，请你分析以a,b,c为三边长的三角形可能有哪些，并求出a,b,c对应的值.
答案
16. 解:
∵a+b+c=13,
∴a+b=13-c.
在△ABC中,
∵a+b＞c,
∴c＜13-c,解得$c＜\frac{13}{2}$.
∵a≤b≤c,
∴c+c+c≥13,
∴3c≥13,解得$c≥\frac{13}{3}$,
∴$\frac{13}{3}≤c＜\frac{13}{2}$.
又
∵c为自然数,
∴c=5或6.
分情况讨论如下:
①当c=5时,a+b=8,
a. 当a=3,b=5时,符合题意;
b. 当a=4,b=4时,符合题意.
②当c=6时,a+b=7,
a. 当a=1,b=6时,符合题意;
b. 当a=2,b=5时,符合题意;
c. 当a=3,b=4时,符合题意.
综上所述,共可组成5个三角形,a,b,c的值分别为3,5,5;4,4,5;1,6,6;2,5,6;3,4,6.
∵a+b+c=13,
∴a+b=13-c.
在△ABC中,
∵a+b＞c,
∴c＜13-c,解得$c＜\frac{13}{2}$.
∵a≤b≤c,
∴c+c+c≥13,
∴3c≥13,解得$c≥\frac{13}{3}$,
∴$\frac{13}{3}≤c＜\frac{13}{2}$.
又
∵c为自然数,
∴c=5或6.
分情况讨论如下:
①当c=5时,a+b=8,
a. 当a=3,b=5时,符合题意;
b. 当a=4,b=4时,符合题意.
②当c=6时,a+b=7,
a. 当a=1,b=6时,符合题意;
b. 当a=2,b=5时,符合题意;
c. 当a=3,b=4时,符合题意.
综上所述,共可组成5个三角形,a,b,c的值分别为3,5,5;4,4,5;1,6,6;2,5,6;3,4,6.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件与三角形三边关系确定最大边c的取值范围：首先根据三角形两边之和大于第三边，将a+b替换为13-c，可推出c的上限；再根据a≤b≤c的大小关系，可得3c≥三边长总和13，推出c的下限。结合c为自然数的条件，得到c的所有可能取值，再针对每个c的取值，根据a+b=13-c、a≤b≤c的约束逐一验证，列举出所有符合条件的a、b的值即可。
【解析】
∵a+b+c=13，
∴a+b=13-c，
根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，得a+b＞c，
∴13-c＞c，解得$c＜\frac{13}{2}$，
又
∵a≤b≤c，
∴a+b+c≤c+c+c=3c，即3c≥13，解得$c≥\frac{13}{3}$，
∴$\frac{13}{3}≤c＜\frac{13}{2}$，
∵c为自然数，
∴c=5或6，
分情况讨论如下：
①当c=5时，a+b=13-5=8，且满足a≤b≤5：
a. 当b=5时，a=8-5=3，满足3≤5≤5，符合题意；
b. 当b=4时，a=8-4=4，满足4≤4≤5，符合题意。
②当c=6时，a+b=13-6=7，且满足a≤b≤6：
a. 当b=6时，a=7-6=1，满足1≤6≤6，符合题意；
b. 当b=5时，a=7-5=2，满足2≤5≤6，符合题意；
c. 当b=4时，a=7-4=3，满足3≤4≤6，符合题意。
【答案】
以a,b,c为三边长的三角形共5种，对应a,b,c的值分别为3,5,5；4,4,5；1,6,6；2,5,6；3,4,6。
【知识点】
三角形三边关系；不等式求解；分类讨论
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是先锁定最大边的取值范围，再按约束条件分类讨论，解题过程中要注意避免漏解或多解，能很好地锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件与三角形三边关系确定最大边c的取值范围：首先根据三角形两边之和大于第三边，将a+b替换为13-c，可推出c的上限；再根据a≤b≤c的大小关系，可得3c≥三边长总和13，推出c的下限。结合c为自然数的条件，得到c的所有可能取值，再针对每个c的取值，根据a+b=13-c、a≤b≤c的约束逐一验证，列举出所有符合条件的a、b的值即可。
【解析】
∵a+b+c=13，
∴a+b=13-c，
根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，得a+b＞c，
∴13-c＞c，解得$c＜\frac{13}{2}$，
又
∵a≤b≤c，
∴a+b+c≤c+c+c=3c，即3c≥13，解得$c≥\frac{13}{3}$，
∴$\frac{13}{3}≤c＜\frac{13}{2}$，
∵c为自然数，
∴c=5或6，
分情况讨论如下：
①当c=5时，a+b=13-5=8，且满足a≤b≤5：
a. 当b=5时，a=8-5=3，满足3≤5≤5，符合题意；
b. 当b=4时，a=8-4=4，满足4≤4≤5，符合题意。
②当c=6时，a+b=13-6=7，且满足a≤b≤6：
a. 当b=6时，a=7-6=1，满足1≤6≤6，符合题意；
b. 当b=5时，a=7-5=2，满足2≤5≤6，符合题意；
c. 当b=4时，a=7-4=3，满足3≤4≤6，符合题意。
【答案】
以a,b,c为三边长的三角形共5种，对应a,b,c的值分别为3,5,5；4,4,5；1,6,6；2,5,6；3,4,6。
【知识点】
三角形三边关系；不等式求解；分类讨论
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是先锁定最大边的取值范围，再按约束条件分类讨论，解题过程中要注意避免漏解或多解，能很好地锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
17. 推理能力 人教版数学课本有一道题如下：
如图1,填空:由三角形两边的和大于第三边,得AB + AD ＞
(1)补全上面的步骤.
(2)仿照图1的方法,请你利用图2,过点P作直线分别交AB,AC于M,N两点.求证:AB + AC ＞ PB + PC.(不添加辅助线)
(3)如图3,点O是△ABC内一点,连接OB和OC.若AB=5,AC=6,BC=7,求OB + OC的取值范围.
【回顾与思考】三角形的三边之间有怎样的关系?得出这个结论的依据是什么?
如图1,填空:由三角形两边的和大于第三边,得AB + AD ＞
BD
, PD + CD ＞ PC
. 将不等式左边、右边分别相加,得AB + AD + PD + CD ＞ BD+PC
,即AB + AC ＞ BP+PC
.(1)补全上面的步骤.
(2)仿照图1的方法,请你利用图2,过点P作直线分别交AB,AC于M,N两点.求证:AB + AC ＞ PB + PC.(不添加辅助线)
(3)如图3,点O是△ABC内一点,连接OB和OC.若AB=5,AC=6,BC=7,求OB + OC的取值范围.
【回顾与思考】三角形的三边之间有怎样的关系?得出这个结论的依据是什么?
答案
17. (1)BD PC BD+PC BP+PC
(2)证明:在△AMN中,AM+AN＞MN,
在△MPB中,MP+MB＞PB,
在△NPC中,NP+NC＞PC,
将三个不等式左边、右边分别相加,得AM+AN+MB+MP+NP+NC＞MN+PB+PC,
即AB+AC＞PB+PC.
(3)解:如图,延长BO交AC于点D,由AB+AD＞BD,OD+CD＞OC,可得AB+AC＞OB+OC.
根据三角形的三边关系可得OB+OC＞BC.
∵AB=5,AC=6,BC=7,
∴7＜OB+OC＜11.
解析
【分析】
本题围绕三角形三边关系“两边之和大于第三边”设计，层层递进考查该性质的应用：
(1) 第一问直接对△ABD、△PDC分别应用三角形三边关系，再将两个不等式左右分别相加，合并化简即可得到结果；
(2) 第二问仿照第一问的思路，分别对△AMN、△MPB、△NPC应用三边关系列出不等式，再将三个不等式左右相加，消去两边共有的MP、NP，合并线段即可得到要证的结论；
(3) 第三问先沿用前两问的推导方法，延长BO交AC于D，通过两个三角形的三边关系累加得到OB+OC＜AB+AC，再结合△OBC的三边关系得到OB+OC＞BC，最后代入已知边长即可求出取值范围。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得AB+AD＞BD；在△PDC中，得PD+CD＞PC；
将两个不等式左右分别相加，得AB + AD + PD + CD ＞ BD+PC；
其中AD+CD=AC，BD=BP+PD，代入后左右两边的PD抵消，即得AB + AC ＞ BP+PC。
(2) 证明：
在△AMN中，由三角形三边关系得：AM+AN＞MN，
在△MPB中，由三角形三边关系得：MP+MB＞PB，
在△NPC中，由三角形三边关系得：NP+NC＞PC，
将三个不等式左、右两边分别相加，得：
AM+AN+MB+MP+NP+NC ＞ MN+PB+PC，
其中AM+MB=AB，AN+NC=AC，MN=MP+NP，代入后两边的MP、NP抵消，整理得：AB+AC＞PB+PC。
(3) 解：
延长BO交AC于点D，
在△ABD中，由三角形三边关系得AB+AD＞BD=OB+OD，
在△ODC中，由三角形三边关系得OD+CD＞OC，
将两个不等式左右相加，得AB+AD+OD+CD＞OB+OD+OC，
消去两边的OD，且AD+CD=AC，整理得AB+AC＞OB+OC；
再在△OBC中，由三角形三边关系得OB+OC＞BC；
已知AB=5，AC=6，BC=7，所以AB+AC=11，代入得7＜OB+OC＜11。
【答案】
(1) BD；PC；BD+PC；BP+PC
(2) 证明:在△AMN中,AM+AN＞MN,
在△MPB中,MP+MB＞PB,
在△NPC中,NP+NC＞PC,
将三个不等式左边、右边分别相加,得AM+AN+MB+MP+NP+NC＞MN+PB+PC,
即AB+AC＞PB+PC.
(3) 解:如图,延长BO交AC于点D,由AB+AD＞BD,OD+CD＞OC,可得AB+AC＞OB+OC.
根据三角形的三边关系可得OB+OC＞BC.
∵AB=5,AC=6,BC=7,
∴7＜OB+OC＜11.
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质；线段和差运算
【点评】
本题由浅入深设置问题，引导学生逐步掌握利用三角形三边关系推导线段不等关系的方法，核心思路是拆分三角形列三边不等式，再累加化简消去公共线段，是三角形边相关性质的典型应用题目，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕三角形三边关系“两边之和大于第三边”设计，层层递进考查该性质的应用：
(1) 第一问直接对△ABD、△PDC分别应用三角形三边关系，再将两个不等式左右分别相加，合并化简即可得到结果；
(2) 第二问仿照第一问的思路，分别对△AMN、△MPB、△NPC应用三边关系列出不等式，再将三个不等式左右相加，消去两边共有的MP、NP，合并线段即可得到要证的结论；
(3) 第三问先沿用前两问的推导方法，延长BO交AC于D，通过两个三角形的三边关系累加得到OB+OC＜AB+AC，再结合△OBC的三边关系得到OB+OC＞BC，最后代入已知边长即可求出取值范围。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得AB+AD＞BD；在△PDC中，得PD+CD＞PC；
将两个不等式左右分别相加，得AB + AD + PD + CD ＞ BD+PC；
其中AD+CD=AC，BD=BP+PD，代入后左右两边的PD抵消，即得AB + AC ＞ BP+PC。
(2) 证明：
在△AMN中，由三角形三边关系得：AM+AN＞MN，
在△MPB中，由三角形三边关系得：MP+MB＞PB，
在△NPC中，由三角形三边关系得：NP+NC＞PC，
将三个不等式左、右两边分别相加，得：
AM+AN+MB+MP+NP+NC ＞ MN+PB+PC，
其中AM+MB=AB，AN+NC=AC，MN=MP+NP，代入后两边的MP、NP抵消，整理得：AB+AC＞PB+PC。
(3) 解：
延长BO交AC于点D，
在△ABD中，由三角形三边关系得AB+AD＞BD=OB+OD，
在△ODC中，由三角形三边关系得OD+CD＞OC，
将两个不等式左右相加，得AB+AD+OD+CD＞OB+OD+OC，
消去两边的OD，且AD+CD=AC，整理得AB+AC＞OB+OC；
再在△OBC中，由三角形三边关系得OB+OC＞BC；
已知AB=5，AC=6，BC=7，所以AB+AC=11，代入得7＜OB+OC＜11。
【答案】
(1) BD；PC；BD+PC；BP+PC
(2) 证明:在△AMN中,AM+AN＞MN,
在△MPB中,MP+MB＞PB,
在△NPC中,NP+NC＞PC,
将三个不等式左边、右边分别相加,得AM+AN+MB+MP+NP+NC＞MN+PB+PC,
即AB+AC＞PB+PC.
(3) 解:如图,延长BO交AC于点D,由AB+AD＞BD,OD+CD＞OC,可得AB+AC＞OB+OC.
根据三角形的三边关系可得OB+OC＞BC.
∵AB=5,AC=6,BC=7,
∴7＜OB+OC＜11.
【知识点】
三角形三边关系；不等式的性质；线段和差运算
【点评】
本题由浅入深设置问题，引导学生逐步掌握利用三角形三边关系推导线段不等关系的方法，核心思路是拆分三角形列三边不等式，再累加化简消去公共线段，是三角形边相关性质的典型应用题目，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
