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1. [2025无锡宜兴期中]三角形一边上的中线把原三角形分成两个 （
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
B
）A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点与它对边中点的线段。接下来逐一分析选项：①形状相同需要两个三角形全等，仅特殊三角形的中线能分出全等三角形，普通三角形不满足，排除A；②没有条件说明原三角形是直角三角形，不可能保证分出的是直角三角形，排除C；③两个三角形的周长差等于原三角形两条邻边的差，邻边不一定相等，周长不一定相等，排除D；④两个三角形等底（中点分对边为相等的两段）、同高（公共的高），根据面积公式可知面积相等，因此选B。
【解析】
首先明确三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边中点的线段叫做三角形的中线。
1. 对选项A：只有当原三角形是等腰或等边三角形时，中线分成的两个三角形才全等、形状相同，普通三角形不满足该结论，因此A错误。
2. 对选项C：题目没有给出原三角形是直角三角形的条件，无法保证中线分出的是直角三角形，因此C错误。
3. 对选项D：中线分出的两个三角形的周长分别为“原三角形的一条邻边+半条对边+中线长”和“原三角形的另一条邻边+半条对边+中线长”，原三角形的两条邻边不一定相等，因此两个三角形周长不一定相等，D错误。
4. 对选项B：中线将对边分为长度相等的两段，即两个三角形的底相等，且两个三角形的高均为原三角形该顶点到对边的垂线段，是同一条高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知两个三角形面积相等，因此B正确。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形面积计算，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形中线的性质，解题的关键是明确中线分对边为等长线段，结合面积公式判断面积关系，同时注意区分面积、周长、形状的不同结论，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点与它对边中点的线段。接下来逐一分析选项：①形状相同需要两个三角形全等，仅特殊三角形的中线能分出全等三角形，普通三角形不满足，排除A；②没有条件说明原三角形是直角三角形，不可能保证分出的是直角三角形，排除C；③两个三角形的周长差等于原三角形两条邻边的差，邻边不一定相等，周长不一定相等，排除D；④两个三角形等底（中点分对边为相等的两段）、同高（公共的高），根据面积公式可知面积相等，因此选B。
【解析】
首先明确三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边中点的线段叫做三角形的中线。
1. 对选项A：只有当原三角形是等腰或等边三角形时，中线分成的两个三角形才全等、形状相同，普通三角形不满足该结论，因此A错误。
2. 对选项C：题目没有给出原三角形是直角三角形的条件，无法保证中线分出的是直角三角形，因此C错误。
3. 对选项D：中线分出的两个三角形的周长分别为“原三角形的一条邻边+半条对边+中线长”和“原三角形的另一条邻边+半条对边+中线长”，原三角形的两条邻边不一定相等，因此两个三角形周长不一定相等，D错误。
4. 对选项B：中线将对边分为长度相等的两段，即两个三角形的底相等，且两个三角形的高均为原三角形该顶点到对边的垂线段，是同一条高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知两个三角形面积相等，因此B正确。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形面积计算，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形中线的性质，解题的关键是明确中线分对边为等长线段，结合面积公式判断面积关系，同时注意区分面积、周长、形状的不同结论，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 一题多解 如图，已知AD为$△ ABC$的中线，$AB = 10\ \mathrm{cm},AC = 7\ \mathrm{cm},△ ACD$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，则$△ ABD$的周长为
23
cm.答案
2.23
通解 因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD,所以△ABD和△ACD周长的差为(AB + BD + AD) - (AC + AD + CD) = AB - AC = 10 - 7 = 3(cm). 因为△ACD的周长为20 cm,所以△ABD的周长为20 + 3 = 23(cm).
另解 因为D是BC边上的中点,所以BD = CD. 因为△ACD的周长为20 cm,所以AC + AD + CD = 20 cm. 又因为AC =7 cm,所以AD + BD = AD + CD = 13 cm. 又因为AB =10 cm,所以△ABD的周长为AB + AD + BD =23 cm.
通解 因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD,所以△ABD和△ACD周长的差为(AB + BD + AD) - (AC + AD + CD) = AB - AC = 10 - 7 = 3(cm). 因为△ACD的周长为20 cm,所以△ABD的周长为20 + 3 = 23(cm).
另解 因为D是BC边上的中点,所以BD = CD. 因为△ACD的周长为20 cm,所以AC + AD + CD = 20 cm. 又因为AC =7 cm,所以AD + BD = AD + CD = 13 cm. 又因为AB =10 cm,所以△ABD的周长为AB + AD + BD =23 cm.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将对边分成两条相等的线段，可得BD=CD。观察△ABD和△ACD的周长组成，两个三角形有公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差就等于AB与AC的长度差，已知△ACD的周长后，加上该差值即可得到△ABD的周长；也可以先从△ACD的周长中算出AD+CD的长度，替换为AD+BD后，结合AB的长度计算△ABD的周长。
【解析】
方法1：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD，
△ABD的周长 = $AB + BD + AD$，
△ACD的周长 = $AC + CD + AD$，
两个周长相减可得：$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$，
代入$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，得两个三角形的周长差为$10 - 7 = 3\ \mathrm{cm}$，
已知△ACD的周长为$20\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABD的周长为$20 + 3 = 23\ \mathrm{cm}$。
方法2：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD，
∵ △ACD的周长为$20\ \mathrm{cm}$，即$AC + AD + CD = 20\ \mathrm{cm}$，
又$AC=7\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD + CD = 20 - 7 =13\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD + BD = AD + CD =13\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABD的周长 = $AB + AD + BD = 10 +13 =23\ \mathrm{cm}$。
【答案】
23
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中线性质的应用，解题关键是找到两个三角形周长的公共部分，利用中线得到的相等线段简化计算，属于基础题型，熟练掌握中线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将对边分成两条相等的线段，可得BD=CD。观察△ABD和△ACD的周长组成，两个三角形有公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差就等于AB与AC的长度差，已知△ACD的周长后，加上该差值即可得到△ABD的周长；也可以先从△ACD的周长中算出AD+CD的长度，替换为AD+BD后，结合AB的长度计算△ABD的周长。
【解析】
方法1：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD，
△ABD的周长 = $AB + BD + AD$，
△ACD的周长 = $AC + CD + AD$，
两个周长相减可得：$(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC$，
代入$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，得两个三角形的周长差为$10 - 7 = 3\ \mathrm{cm}$，
已知△ACD的周长为$20\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABD的周长为$20 + 3 = 23\ \mathrm{cm}$。
方法2：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD，
∵ △ACD的周长为$20\ \mathrm{cm}$，即$AC + AD + CD = 20\ \mathrm{cm}$，
又$AC=7\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD + CD = 20 - 7 =13\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD + BD = AD + CD =13\ \mathrm{cm}$，
∴ △ABD的周长 = $AB + AD + BD = 10 +13 =23\ \mathrm{cm}$。
【答案】
23
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中线性质的应用，解题关键是找到两个三角形周长的公共部分，利用中线得到的相等线段简化计算，属于基础题型，熟练掌握中线性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. [2026 盐城盐都区期中] 如图,在$△ ABC$中,E是中线AD的中点.若$△ AEC$的面积是1,则$△ ABD$的面积是.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先看E是AD中点，可知CE是△ACD的中线，可先求出△ACD的面积；再根据AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD面积相等，即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，根据中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ACD}=2S_{△ AEC}$，
已知$S_{△ AEC}=1$，
∴$S_{△ ACD}=2×1=2$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，△ABD与△ACD等底（BD=CD）同高（点A到BC的公共高），
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形中线的面积性质逐步推导，解题的关键是准确判断每条中线所属的三角形，理清各三角形面积之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先看E是AD中点，可知CE是△ACD的中线，可先求出△ACD的面积；再根据AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD面积相等，即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，根据中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ACD}=2S_{△ AEC}$，
已知$S_{△ AEC}=1$，
∴$S_{△ ACD}=2×1=2$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，△ABD与△ACD等底（BD=CD）同高（点A到BC的公共高），
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形中线的面积性质逐步推导，解题的关键是准确判断每条中线所属的三角形，理清各三角形面积之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$，下列结论错误的是（）
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分内角”和“另一端点在角的对边上”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，逐一验证每个选项是否符合要求，就能找到错误结论。
【解析】
根据三角形角平分线的定义，逐一分析选项：
A. 由∠1=∠2可知BD平分∠ABC，且点D在∠ABC的对边AC上，因此BD是△ABC的角平分线，该选项正确，不符合题意。
B. 由∠3=∠4可知CE平分∠BCD，且点E在∠BCD的对边BD上，因此CE是△BCD的角平分线，该选项正确，不符合题意。
C. 由∠3=∠4可得∠ACB=∠3+∠4=2∠3，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，该选项正确，不符合题意。
D. CE虽然平分∠ACB，但CE的另一端点E不在∠ACB的对边AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆角平分线和三角形角平分线的概念，要注意三角形的角平分线是线段，且端点必须在三角形的顶点和对应对边上，不能仅依据角相等就判定为三角形的角平分线。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分内角”和“另一端点在角的对边上”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，逐一验证每个选项是否符合要求，就能找到错误结论。
【解析】
根据三角形角平分线的定义，逐一分析选项：
A. 由∠1=∠2可知BD平分∠ABC，且点D在∠ABC的对边AC上，因此BD是△ABC的角平分线，该选项正确，不符合题意。
B. 由∠3=∠4可知CE平分∠BCD，且点E在∠BCD的对边BD上，因此CE是△BCD的角平分线，该选项正确，不符合题意。
C. 由∠3=∠4可得∠ACB=∠3+∠4=2∠3，因此$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，该选项正确，不符合题意。
D. CE虽然平分∠ACB，但CE的另一端点E不在∠ACB的对边AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆角平分线和三角形角平分线的概念，要注意三角形的角平分线是线段，且端点必须在三角形的顶点和对应对边上，不能仅依据角相等就判定为三角形的角平分线。
【难度系数】
0.8
5. 教材P10习题T7变式 如图，D,E,F分别是$△ ABC$的边$BC,AB,AC$上的点，且$DE// AC,DF// AB$.若$∠ 1=∠ 2$,求证:$AD$是$△ ABC$的角平分线.
答案
证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ 1 = ∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ BAD = ∠ DAC$。
∴ $AD$是$△ ABC$的角平分线。
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ 1 = ∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ BAD = ∠ DAC$。
∴ $AD$是$△ ABC$的角平分线。
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠BAD=∠DAC即可。题目给出了两组平行线，可先利用平行线的内错角相等的性质，分别建立∠1和∠DAC、∠2和∠BAD的等量关系，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换就能得到∠BAD=∠DAC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ 1 = ∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ BAD = ∠ DAC$。
∴ $AD$是$△ ABC$的角平分线。
【答案】
证明如上，AD是△ABC的角平分线。
【知识点】
平行线的性质、等量代换、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用平行线的性质完成角的等量转化，再结合已知条件推导得到待证结论，主要考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠BAD=∠DAC即可。题目给出了两组平行线，可先利用平行线的内错角相等的性质，分别建立∠1和∠DAC、∠2和∠BAD的等量关系，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换就能得到∠BAD=∠DAC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ 1 = ∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ 2 = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ BAD = ∠ DAC$。
∴ $AD$是$△ ABC$的角平分线。
【答案】
证明如上，AD是△ABC的角平分线。
【知识点】
平行线的性质、等量代换、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用平行线的性质完成角的等量转化，再结合已知条件推导得到待证结论，主要考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
6. [2026 东莞瑞风实验学校一模] 如图,在$△ ABC$中,BC边上的高为 ()
A.CE
B.AF
C.DB
D.AB
A.CE
B.AF
C.DB
D.AB
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是牢记三角形高的定义：三角形某条边上的高，是从这条边所对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高。首先确定BC边所对的顶点是点A，再找过点A且垂直于BC所在直线的线段即可得到答案。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高需要同时满足两个条件：①过BC边的对顶点A；②与BC所在直线垂直。
对各选项逐一分析：
A选项：CE垂直于AE，是AB边上的高，不符合要求；
B选项：AF是过点A作的CB延长线的垂线，符合BC边上高的定义，满足要求；
C选项：DB垂直于AE，未过顶点A，不是BC边上的高，不符合要求；
D选项：AB是三角形的边，不是高，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的理解，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，判断时只要满足“过对应顶点、垂直于对应边所在直线”两个条件即可，不要被高的位置干扰。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记三角形高的定义：三角形某条边上的高，是从这条边所对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高。首先确定BC边所对的顶点是点A，再找过点A且垂直于BC所在直线的线段即可得到答案。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高需要同时满足两个条件：①过BC边的对顶点A；②与BC所在直线垂直。
对各选项逐一分析：
A选项：CE垂直于AE，是AB边上的高，不符合要求；
B选项：AF是过点A作的CB延长线的垂线，符合BC边上高的定义，满足要求；
C选项：DB垂直于AE，未过顶点A，不是BC边上的高，不符合要求；
D选项：AB是三角形的边，不是高，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的理解，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，判断时只要满足“过对应顶点、垂直于对应边所在直线”两个条件即可，不要被高的位置干扰。
【难度系数】
0.8
7. [2026宿迁宿城区期中] 三角形的角平分线、中线、高都是 （）
A.线段
B.射线
C.直线
D.线段或射线
A.线段
B.射线
C.直线
D.线段或射线
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的角平分线、中线、高的定义，再结合线段、射线、直线的特征进行判断：线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。明确三角形的三类线都分别有两个端点（一个是三角形的顶点，另一个在对边或对边所在直线上），由此可得出结论。
【解析】
我们分别对照三类线的定义判断：
1. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线；
2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线；
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边（或对边所在直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。
可见三者都有两个明确的端点，都属于线段，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易将三角形的角平分线和单独的角平分线（射线）混淆，只要准确掌握三角形三类线的定义就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆三角形的角平分线、中线、高的定义，再结合线段、射线、直线的特征进行判断：线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。明确三角形的三类线都分别有两个端点（一个是三角形的顶点，另一个在对边或对边所在直线上），由此可得出结论。
【解析】
我们分别对照三类线的定义判断：
1. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线；
2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线；
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边（或对边所在直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。
可见三者都有两个明确的端点，都属于线段，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易将三角形的角平分线和单独的角平分线（射线）混淆，只要准确掌握三角形三类线的定义就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
8. [2026镇江丹阳期中]如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,$AB=6$,$AC=8$,$DF=\dfrac{12}{5}$,则$DE=$.
答案
解：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD = CD，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
∵ $DF ⊥ AC$，$AC=8$，$DF=\dfrac{12}{5}$，
∴ $S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} · AC · DF = \dfrac{1}{2} × 8 × \dfrac{12}{5} = \dfrac{48}{5}$。
∵ $DE ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} · AB · DE = \dfrac{1}{2} × 6 × DE = 3DE$。
又∵ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$，
∴ $3DE = \dfrac{48}{5}$，
解得 $DE = \dfrac{16}{5}$。
$\dfrac{16}{5}$
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD = CD，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
∵ $DF ⊥ AC$，$AC=8$，$DF=\dfrac{12}{5}$，
∴ $S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} · AC · DF = \dfrac{1}{2} × 8 × \dfrac{12}{5} = \dfrac{48}{5}$。
∵ $DE ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} · AB · DE = \dfrac{1}{2} × 6 × DE = 3DE$。
又∵ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$，
∴ $3DE = \dfrac{48}{5}$，
解得 $DE = \dfrac{16}{5}$。
$\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AD为BC边上的中线”切入，根据三角形中线的性质可知，中线可将原三角形分成两个面积相等的小三角形，即$△ ABD$和$△ ACD$面积相等。接下来两个小三角形的面积都可以用三角形面积公式“$\frac{1}{2}×底×高$”计算：先利用已知的AC和DF求出$△ ACD$的面积，再结合$△ ABD$的面积表达式，利用两个三角形面积相等的等量关系列方程，即可求解DE的长度。
【解析】
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BD = CD$，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
∵ $DF ⊥ AC$，$AC=8$，$DF=\dfrac{12}{5}$，
∴ $S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} · AC · DF = \dfrac{1}{2} × 8 × \dfrac{12}{5} = \dfrac{48}{5}$。
∵ $DE ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} · AB · DE = \dfrac{1}{2} × 6 × DE = 3DE$。
又
∵ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$，
∴ $3DE = \dfrac{48}{5}$，
解得 $DE = \dfrac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用题目，核心是利用中线等分面积的特点构建等量关系，结合面积公式求解未知线段，这类等面积法是几何中求解线段长度的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AD为BC边上的中线”切入，根据三角形中线的性质可知，中线可将原三角形分成两个面积相等的小三角形，即$△ ABD$和$△ ACD$面积相等。接下来两个小三角形的面积都可以用三角形面积公式“$\frac{1}{2}×底×高$”计算：先利用已知的AC和DF求出$△ ACD$的面积，再结合$△ ABD$的面积表达式，利用两个三角形面积相等的等量关系列方程，即可求解DE的长度。
【解析】
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BD = CD$，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
∵ $DF ⊥ AC$，$AC=8$，$DF=\dfrac{12}{5}$，
∴ $S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} · AC · DF = \dfrac{1}{2} × 8 × \dfrac{12}{5} = \dfrac{48}{5}$。
∵ $DE ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} · AB · DE = \dfrac{1}{2} × 6 × DE = 3DE$。
又
∵ $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$，
∴ $3DE = \dfrac{48}{5}$，
解得 $DE = \dfrac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用题目，核心是利用中线等分面积的特点构建等量关系，结合面积公式求解未知线段，这类等面积法是几何中求解线段长度的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9. [2025苏州外国语学校月考]如图,在$△ ABC$中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,$∠ CAB=50°$,$∠ C=60°$,求$∠ DAE$和$∠ BOA$的度数.
答案
解：
在$△ ABC$中，
$\because ∠ CAB=50°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ C=180°-50°-60°=70°$。
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-90°-∠ C=30°$。
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ CAE=30°-25°=5°$。
$\because BF$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在$△ ABO$中，
$∠ BOA=180°-∠ BAE-∠ ABF=180°-25°-35°=120°$。
综上，$∠ DAE=5°$，$∠ BOA=120°$。
在$△ ABC$中，
$\because ∠ CAB=50°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ C=180°-50°-60°=70°$。
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-90°-∠ C=30°$。
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ CAE=30°-25°=5°$。
$\because BF$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在$△ ABO$中，
$∠ BOA=180°-∠ BAE-∠ ABF=180°-25°-35°=120°$。
综上，$∠ DAE=5°$，$∠ BOA=120°$。
解析
【分析】
要求∠DAE和∠BOA的度数，可按以下思路逐步推导：1. 先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠CAB和∠C的度数，求出∠ABC的度数；2. 根据AD是高的性质，得到∠ADC=90°，进而求出∠DAC的度数；3. 结合AE是角平分线的性质，求出∠CAE的度数，用∠DAC减去∠CAE即可得到∠DAE；4. 求∠BOA时，先根据BF是角平分线求出∠ABF的度数，再在△ABO中利用三角形内角和定理即可算出∠BOA的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，
$\because ∠ CAB=50°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ C=180°-50°-60°=70°$。
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-90°-∠ C=30°$。
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ CAE=30°-25°=5°$。
$\because BF$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在$△ ABO$中，
$∠ BOA=180°-∠ BAE-∠ ABF=180°-25°-35°=120°$。
【答案】
$∠ DAE=5°$，$∠ BOA=120°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的高的性质，三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用考题，解题核心是熟练掌握三角形高、角平分线的定义，结合内角和定理梳理清楚各角之间的数量关系，计算难度不大，理清角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求∠DAE和∠BOA的度数，可按以下思路逐步推导：1. 先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠CAB和∠C的度数，求出∠ABC的度数；2. 根据AD是高的性质，得到∠ADC=90°，进而求出∠DAC的度数；3. 结合AE是角平分线的性质，求出∠CAE的度数，用∠DAC减去∠CAE即可得到∠DAE；4. 求∠BOA时，先根据BF是角平分线求出∠ABF的度数，再在△ABO中利用三角形内角和定理即可算出∠BOA的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，
$\because ∠ CAB=50°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ C=180°-50°-60°=70°$。
$\because AD$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=180°-90°-∠ C=30°$。
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC-∠ CAE=30°-25°=5°$。
$\because BF$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在$△ ABO$中，
$∠ BOA=180°-∠ BAE-∠ ABF=180°-25°-35°=120°$。
【答案】
$∠ DAE=5°$，$∠ BOA=120°$
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的高的性质，三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用考题，解题核心是熟练掌握三角形高、角平分线的定义，结合内角和定理梳理清楚各角之间的数量关系，计算难度不大，理清角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. [2026北京日坛中学期中]如图,下面是三位同学的折纸示意图,则AD依次是△ABC的 ()
A.中线、角平分线、高线
B.角平分线、高线、中线
C.角平分线、中线、高线
D.高线、中线、角平分线
A.中线、角平分线、高线
B.角平分线、高线、中线
C.角平分线、中线、高线
D.高线、中线、角平分线
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确三角形角平分线、中线、高线的定义，再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等、对应边相等）逐个分析三个图形中AD的特征：
1. 先看图形1：折叠后AB与AB'重合，可推出AD平分∠BAC，符合角平分线的定义；
2. 再看图形2：折叠后点B落在BC边上，可推出D是BC的中点，符合中线的定义；
3. 最后看图形3：折叠后点C与点B重合，可推出AD与BC垂直，符合高线的定义；
结合以上分析即可选出正确选项。
【解析】
首先明确三角形三类线段的定义：
①角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段；
②中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；
③高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
结合折叠性质逐一分析：
图1中，折叠后AB与∠BAC内部的AB'重合，可得∠BAD=∠B'AD，即AD平分∠BAC，因此AD是△ABC的角平分线；
图2中，折叠后点B落在BC边上的B'处，由折叠性质得BD=DC，即D为BC的中点，因此AD是△ABC的中线；
图3中，折叠后点C的对应点与B重合，可得∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，因此AD是△ABC的高线。
综上，AD依次为角平分线、中线、高线，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形三类重要线段的识别，解题的核心是熟练掌握三类线段的定义，结合折叠前后对应角、对应边相等的性质进行判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确三角形角平分线、中线、高线的定义，再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等、对应边相等）逐个分析三个图形中AD的特征：
1. 先看图形1：折叠后AB与AB'重合，可推出AD平分∠BAC，符合角平分线的定义；
2. 再看图形2：折叠后点B落在BC边上，可推出D是BC的中点，符合中线的定义；
3. 最后看图形3：折叠后点C与点B重合，可推出AD与BC垂直，符合高线的定义；
结合以上分析即可选出正确选项。
【解析】
首先明确三角形三类线段的定义：
①角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段；
②中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；
③高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
结合折叠性质逐一分析：
图1中，折叠后AB与∠BAC内部的AB'重合，可得∠BAD=∠B'AD，即AD平分∠BAC，因此AD是△ABC的角平分线；
图2中，折叠后点B落在BC边上的B'处，由折叠性质得BD=DC，即D为BC的中点，因此AD是△ABC的中线；
图3中，折叠后点C的对应点与B重合，可得∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，因此AD是△ABC的高线。
综上，AD依次为角平分线、中线、高线，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形三类重要线段的识别，解题的核心是熟练掌握三类线段的定义，结合折叠前后对应角、对应边相等的性质进行判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
