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11. [2026 杭州十四中附中期中] 如图,在直角三角形$ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,$AB=5$,按以下步骤作图:以点$C$为圆心,$BC$长为半径作弧,交$AB$于点$D$;分别以点$D$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧,两弧交于点$P$;连接$CP$交$AB$于点$E$.则$CE=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
解析
【分析】
首先根据题中的作图步骤，可判断出CP是线段BD的垂直平分线，由此可得CE⊥AB，即CE是Rt△ABC斜边AB上的高。接下来利用直角三角形面积的两种计算方式：两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半，二者面积相等，代入已知边长即可求出CE的长度。
【解析】
解：由作图规则可知，直线CP是线段BD的垂直平分线，因此$CE ⊥ AB$，即CE为Rt△ABC斜边AB上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CE$
将$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$代入上式：
$\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × CE$
化简得$12=5CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
尺规作垂直平分线；三角形面积计算；直角三角形的高
【点评】
本题结合尺规作图的性质考查线段长度的计算，解题关键是通过作图步骤推出CE垂直于AB，再利用等面积法即可快速求出结果，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的作图步骤，可判断出CP是线段BD的垂直平分线，由此可得CE⊥AB，即CE是Rt△ABC斜边AB上的高。接下来利用直角三角形面积的两种计算方式：两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半，二者面积相等，代入已知边长即可求出CE的长度。
【解析】
解：由作图规则可知，直线CP是线段BD的垂直平分线，因此$CE ⊥ AB$，即CE为Rt△ABC斜边AB上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CE$
将$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$代入上式：
$\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × CE$
化简得$12=5CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
尺规作垂直平分线；三角形面积计算；直角三角形的高
【点评】
本题结合尺规作图的性质考查线段长度的计算，解题关键是通过作图步骤推出CE垂直于AB，再利用等面积法即可快速求出结果，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
12. [2026无锡江阴期中]如图,在$△ ABC$中,D为BC边的中点,E为AC边靠近点C的三等分点,线段AD,BE交于点F.若$S_{△ ABC}=5$,则$S_{△ BDF}=$.
答案
解：连接CF，设$S_{△ BDF}=x$。
∵ D为BC的中点，
∴ $BD=CD$，
∴ $S_{△ CDF}=S_{△ BDF}=x$，
∴ $S_{△ BCF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=2x$。
∵ E为AC边上靠近点C的三等分点，
∴ $EC=\frac{1}{3}AC$，$AE=2EC$，
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{5}{3}$，$S_{△ AEF}=2S_{△ CEF}$。
设$S_{△ CEF}=y$，则$S_{△ AEF}=2y$。
由$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}$，得：
$2x + y = \frac{5}{3}$ ①
∵ D为BC中点，
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，
又∵ $S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ CEF}+S_{△ AEF}$，
∴ $x + 3y = \frac{5}{2}$ ②
联立①②，将$y=\frac{5}{3}-2x$代入②：
$x + 3(\frac{5}{3}-2x)=\frac{5}{2}$
$x + 5 - 6x = \frac{5}{2}$
解得$x=\frac{1}{2}$。
即$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}$。
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
∵ D为BC的中点，
∴ $BD=CD$，
∴ $S_{△ CDF}=S_{△ BDF}=x$，
∴ $S_{△ BCF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=2x$。
∵ E为AC边上靠近点C的三等分点，
∴ $EC=\frac{1}{3}AC$，$AE=2EC$，
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{5}{3}$，$S_{△ AEF}=2S_{△ CEF}$。
设$S_{△ CEF}=y$，则$S_{△ AEF}=2y$。
由$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}$，得：
$2x + y = \frac{5}{3}$ ①
∵ D为BC中点，
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，
又∵ $S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ CEF}+S_{△ AEF}$，
∴ $x + 3y = \frac{5}{2}$ ②
联立①②，将$y=\frac{5}{3}-2x$代入②：
$x + 3(\frac{5}{3}-2x)=\frac{5}{2}$
$x + 5 - 6x = \frac{5}{2}$
解得$x=\frac{1}{2}$。
即$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}$。
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题属于三角形面积计算问题，解题核心是运用“同高三角形的面积比等于对应底的比”的性质。首先观察到D是BC中点，可得△BDF和△CDF面积相等；E是AC靠近C的三等分点，可得△BCE面积是△ABC的$\frac{1}{3}$，且△AEF面积是△CEF的2倍。我们可以设两个未知量分别表示△BDF和△CEF的面积，再根据△BCE、△ADC的面积关系列方程组，联立求解即可得到△BDF的面积。
【解析】
解：连接CF，设$S_{△ BDF}=x$。
∵ D为BC的中点，
∴ $BD=CD$，△BDF和△CDF同高，
∴ $S_{△ CDF}=S_{△ BDF}=x$，
∴ $S_{△ BCF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=2x$。
∵ E为AC边上靠近点C的三等分点，
∴ $EC=\frac{1}{3}AC$，$AE=2EC$，
△BCE和△ABC同高，故$S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{5}{3}$；
△AEF和△CEF同高，故$S_{△ AEF}=2S_{△ CEF}$。
设$S_{△ CEF}=y$，则$S_{△ AEF}=2y$。
由$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}$，得：
$2x + y = \frac{5}{3}$ ①
∵ D为BC中点，△ADC和△ABC同高，
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，
又
∵ $S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ CEF}+S_{△ AEF}$，
∴ $x + y + 2y = \frac{5}{2}$，即$x + 3y = \frac{5}{2}$ ②
联立①②，将$y=\frac{5}{3}-2x$代入②：
$x + 3(\frac{5}{3}-2x)=\frac{5}{2}$
$x + 5 - 6x = \frac{5}{2}$
解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的三角形面积比例计算问题，通过中点、分点对应的底的比例关系转化为面积比例关系，结合方程思想求解，是解决这类小三角形面积问题的常用思路，需要熟练掌握同高（同底）三角形的面积比例规律。
【难度系数】
0.6
本题属于三角形面积计算问题，解题核心是运用“同高三角形的面积比等于对应底的比”的性质。首先观察到D是BC中点，可得△BDF和△CDF面积相等；E是AC靠近C的三等分点，可得△BCE面积是△ABC的$\frac{1}{3}$，且△AEF面积是△CEF的2倍。我们可以设两个未知量分别表示△BDF和△CEF的面积，再根据△BCE、△ADC的面积关系列方程组，联立求解即可得到△BDF的面积。
【解析】
解：连接CF，设$S_{△ BDF}=x$。
∵ D为BC的中点，
∴ $BD=CD$，△BDF和△CDF同高，
∴ $S_{△ CDF}=S_{△ BDF}=x$，
∴ $S_{△ BCF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=2x$。
∵ E为AC边上靠近点C的三等分点，
∴ $EC=\frac{1}{3}AC$，$AE=2EC$，
△BCE和△ABC同高，故$S_{△ BCE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{5}{3}$；
△AEF和△CEF同高，故$S_{△ AEF}=2S_{△ CEF}$。
设$S_{△ CEF}=y$，则$S_{△ AEF}=2y$。
由$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}$，得：
$2x + y = \frac{5}{3}$ ①
∵ D为BC中点，△ADC和△ABC同高，
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{5}{2}$，
又
∵ $S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ CEF}+S_{△ AEF}$，
∴ $x + y + 2y = \frac{5}{2}$，即$x + 3y = \frac{5}{2}$ ②
联立①②，将$y=\frac{5}{3}-2x$代入②：
$x + 3(\frac{5}{3}-2x)=\frac{5}{2}$
$x + 5 - 6x = \frac{5}{2}$
解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的三角形面积比例计算问题，通过中点、分点对应的底的比例关系转化为面积比例关系，结合方程思想求解，是解决这类小三角形面积问题的常用思路，需要熟练掌握同高（同底）三角形的面积比例规律。
【难度系数】
0.6
13. 如图,AD是△ABC的角平分线,点E在边AC上(不与点A,C重合),连接BE,交AD于点O.
(1)如图1,若BE是△ABC的中线,AB=8,BC=5,则△ABE与△BCE的周长差为;
(2)如图2,若∠BAC=28°,BE是△ABC的高,则∠AOB的度数为°;
(3)如图3,若∠C=64°,BE是△ABC的角平分线,求∠AOB的度数.
14.如图,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,CD
(1)如图1,若BE是△ABC的中线,AB=8,BC=5,则△ABE与△BCE的周长差为;
(2)如图2,若∠BAC=28°,BE是△ABC的高,则∠AOB的度数为°;
(3)如图3,若∠C=64°,BE是△ABC的角平分线,求∠AOB的度数.
14.如图,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,CD
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{104}$；(3) $\boldsymbol{122°}$。
解析
【分析】
(1) 要求△ABE与△BCE的周长差，先根据中线性质得AE=CE，两个三角形周长都包含公共边BE，所以周长差就是AB与BC的差，代入数值计算即可。
(2) 先根据角平分线性质求出∠OAB的度数，再由高的定义得∠AEB=90°，结合三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
(3) 先根据三角形内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再利用角平分线的性质得到∠OAB与∠OBA的和，最后在△AOB中用内角和定理求出∠AOB的度数。
【解析】
(1)
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE。
△ABE的周长=AB+BE+AE，△BCE的周长=BC+BE+CE，
∴周长差= (AB+BE+AE) - (BC+BE+CE) = AB - BC = 8 - 5 = 3。
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=28°，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC = 14°。
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB=90°，
在△ABE中，∠ABE = 90° - ∠BAC = 90° - 28° = 62°，
在△AOB中，∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠ABE = 180° - 14° - 62° = 104°。
(3) 在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
∵∠C=64°，
∴∠BAC + ∠ABC = 180° - 64° = 116°。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB + ∠OBA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×116° = 58°。
在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 58° = 122°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{104}$；(3) $\boldsymbol{122°}$
【知识点】
三角形中线性质，三角形角平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形的中线、角平分线、高的性质展开考查，结合三角形内角和定理求解周长差和角度，属于基础题型，解题的核心是熟练掌握各类三角形特殊线段的性质，灵活运用内角和定理进行角度推导。
【难度系数】
0.75
(1) 要求△ABE与△BCE的周长差，先根据中线性质得AE=CE，两个三角形周长都包含公共边BE，所以周长差就是AB与BC的差，代入数值计算即可。
(2) 先根据角平分线性质求出∠OAB的度数，再由高的定义得∠AEB=90°，结合三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
(3) 先根据三角形内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再利用角平分线的性质得到∠OAB与∠OBA的和，最后在△AOB中用内角和定理求出∠AOB的度数。
【解析】
(1)
∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE。
△ABE的周长=AB+BE+AE，△BCE的周长=BC+BE+CE，
∴周长差= (AB+BE+AE) - (BC+BE+CE) = AB - BC = 8 - 5 = 3。
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=28°，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC = 14°。
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB=90°，
在△ABE中，∠ABE = 90° - ∠BAC = 90° - 28° = 62°，
在△AOB中，∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠ABE = 180° - 14° - 62° = 104°。
(3) 在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°，
∵∠C=64°，
∴∠BAC + ∠ABC = 180° - 64° = 116°。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB + ∠OBA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×116° = 58°。
在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 58° = 122°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{104}$；(3) $\boldsymbol{122°}$
【知识点】
三角形中线性质，三角形角平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形的中线、角平分线、高的性质展开考查，结合三角形内角和定理求解周长差和角度，属于基础题型，解题的核心是熟练掌握各类三角形特殊线段的性质，灵活运用内角和定理进行角度推导。
【难度系数】
0.75
上的一点.
(1)若D,E,F分别为AB,AC,CD的中点，△ABC的面积是16,则四边形ADFE的面积是;
(2)若∠AED = ∠ACB,∠B = ∠DEF,试说明∠1 + ∠2 = 180°.
(1)若D,E,F分别为AB,AC,CD的中点，△ABC的面积是16,则四边形ADFE的面积是;
(2)若∠AED = ∠ACB,∠B = ∠DEF,试说明∠1 + ∠2 = 180°.
答案
(1) $\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：三角形的中线能将三角形分成面积相等的两个部分，我们可以利用这个性质逐步推导各部分面积：先由D是AB中点求出△ADC的面积，再由E是AC中点求出△ADE和△CDE的面积，最后由F是CD中点求出△DEF的面积，将△ADE和△DEF的面积相加即可得到四边形ADFE的面积。
(2) 解题思路：要证明∠1+∠2=180°，先从已知角相等的条件出发，先判定DE//BC得到∠ADE=∠B，结合∠B=∠DEF等量代换得到∠ADE=∠DEF，再判定AB//EF，得到∠2=∠DFE，最后利用∠1和∠DFE是邻补角的性质，等量代换即可得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵ D是AB的中点，CD是△ABC的中线
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$
∵ E是AC的中点，DE是△ADC的中线
∴ $S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×8=4$
∵ F是CD的中点，EF是△CDE的中线
∴ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $S_{四边形ADFE}=S_{△ ADE}+S_{△ DEF}=4+2=6$
(2) 证明：
∵ ∠AED = ∠ACB
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠DEF
∴ ∠ADE = ∠DEF（等量代换）
∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠2 = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠DFE + ∠1 = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（等量代换）
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 证明见上述解析
【知识点】
三角形中线的面积性质，平行线的判定与性质，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线的面积规律和平行线的相关性质，第一问需熟练掌握中线等分三角形面积的结论，分步推导即可求解；第二问需要灵活运用平行线的判定和性质完成角的等量代换，逻辑链条清晰，属于中等难度的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：三角形的中线能将三角形分成面积相等的两个部分，我们可以利用这个性质逐步推导各部分面积：先由D是AB中点求出△ADC的面积，再由E是AC中点求出△ADE和△CDE的面积，最后由F是CD中点求出△DEF的面积，将△ADE和△DEF的面积相加即可得到四边形ADFE的面积。
(2) 解题思路：要证明∠1+∠2=180°，先从已知角相等的条件出发，先判定DE//BC得到∠ADE=∠B，结合∠B=∠DEF等量代换得到∠ADE=∠DEF，再判定AB//EF，得到∠2=∠DFE，最后利用∠1和∠DFE是邻补角的性质，等量代换即可得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵ D是AB的中点，CD是△ABC的中线
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$
∵ E是AC的中点，DE是△ADC的中线
∴ $S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×8=4$
∵ F是CD的中点，EF是△CDE的中线
∴ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $S_{四边形ADFE}=S_{△ ADE}+S_{△ DEF}=4+2=6$
(2) 证明：
∵ ∠AED = ∠ACB
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠ADE = ∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠DEF
∴ ∠ADE = ∠DEF（等量代换）
∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠2 = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠DFE + ∠1 = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（等量代换）
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 证明见上述解析
【知识点】
三角形中线的面积性质，平行线的判定与性质，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线的面积规律和平行线的相关性质，第一问需熟练掌握中线等分三角形面积的结论，分步推导即可求解；第二问需要灵活运用平行线的判定和性质完成角的等量代换，逻辑链条清晰，属于中等难度的基础综合题。
【难度系数】
0.7
15. 推理能力 已知在$△ ABC$中，$∠ BAC = α$，$BF$为$△ ABC$的一条角平分线，过射线$AC$上一点$D$（不与点$A,C$重合）作$DE ⊥ BC$，垂足为$E$，射线$DG$平分$∠ ADE$.
(1)若$α = 90°$,如图，点$D$在边$AC$上，点$G$在边$BC$上且不与点$B$重合. 判断$∠ 1$与$∠ 2$的数量关系，并说明理由.
(2)若$0° ＜ α ＜ 90°$,射线$DG$与直线$FB$交于点$H$,用含$α$的代数式表示$∠ DHF$的度数,并说明理由.
(1)若$α = 90°$,如图，点$D$在边$AC$上，点$G$在边$BC$上且不与点$B$重合. 判断$∠ 1$与$∠ 2$的数量关系，并说明理由.
(2)若$0° ＜ α ＜ 90°$,射线$DG$与直线$FB$交于点$H$,用含$α$的代数式表示$∠ DHF$的度数,并说明理由.
答案
解：
(1) $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ CDE = 90°$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ ABC + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ CDE = ∠ ABC$。
∵ $∠ ADE = 180° - ∠ CDE$，$DG$ 平分 $∠ ADE$，
∴ $∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠ CDE) = 90° - \frac{1}{2}∠ CDE$。
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC + 90° - \frac{1}{2}∠ CDE = 90°$。
(2) $∠ DHF = 45° + \frac{1}{2}α$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$。
在 $△ ABF$ 中，
$∠ AFB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABF = 180° - α - \frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = 90°$，
∴ $∠ CDE = 90° - ∠ C$。
∵ $∠ ADE = 180° - ∠ CDE$，$DG$ 平分 $∠ ADE$，
∴ $∠ ADG = \frac{1}{2}∠ ADE = \frac{1}{2}[180° - (90° - ∠ C)] = 45° + \frac{1}{2}∠ C$。
在 $△ DHF$ 中，
$∠ DHF + ∠ ADG + ∠ AFB = 180°$，
∴ $∠ DHF = 180° - ∠ ADG - ∠ AFB$
$= 180° - (45° + \frac{1}{2}∠ C) - (180° - α - \frac{1}{2}∠ ABC)$
$= α - 45° + \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ C)$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC + ∠ C = 180° - α$，代入得：
$∠ DHF = α - 45° + \frac{1}{2}(180° - α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
(1) $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ CDE = 90°$。
∵ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ ABC + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ CDE = ∠ ABC$。
∵ $∠ ADE = 180° - ∠ CDE$，$DG$ 平分 $∠ ADE$，
∴ $∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠ CDE) = 90° - \frac{1}{2}∠ CDE$。
∴ $∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC + 90° - \frac{1}{2}∠ CDE = 90°$。
(2) $∠ DHF = 45° + \frac{1}{2}α$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$。
在 $△ ABF$ 中，
$∠ AFB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABF = 180° - α - \frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠ DEC = 90°$，
∴ $∠ CDE = 90° - ∠ C$。
∵ $∠ ADE = 180° - ∠ CDE$，$DG$ 平分 $∠ ADE$，
∴ $∠ ADG = \frac{1}{2}∠ ADE = \frac{1}{2}[180° - (90° - ∠ C)] = 45° + \frac{1}{2}∠ C$。
在 $△ DHF$ 中，
$∠ DHF + ∠ ADG + ∠ AFB = 180°$，
∴ $∠ DHF = 180° - ∠ ADG - ∠ AFB$
$= 180° - (45° + \frac{1}{2}∠ C) - (180° - α - \frac{1}{2}∠ ABC)$
$= α - 45° + \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ C)$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC + ∠ C = 180° - α$，代入得：
$∠ DHF = α - 45° + \frac{1}{2}(180° - α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
解析
【分析】
(1) 要判断∠1和∠2的数量关系，首先根据角平分线定义可得∠1是∠ABC的一半；再结合DE⊥BC、∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余推出∠CDE=∠ABC；接着根据平角定义和角平分线定义，将∠2用∠CDE表示，最后代入∠1+∠2化简即可得到二者的数量关系。
(2) 要求∠DHF的度数，首先利用角平分线定义分别表示出∠ABF和∠ADG；再在△ABF中借助三角形内角和定理表示出∠AFB；然后在△DHF中利用内角和定理，将∠DHF用α、∠ABC、∠C表示；最后结合△ABC的内角和，把∠ABC+∠C替换为180°-α，化简即可得到含α的∠DHF表达式。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1 + ∠2 = 90°}$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ABC$，
∴ $∠1 = \frac{1}{2}∠ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠DEC = 90°$，
∴ $∠C + ∠CDE = 90°$。
∵ $∠BAC = 90°$，
∴ $∠ABC + ∠C = 90°$，
∴ $∠CDE = ∠ABC$。
∵ $∠ADE = 180° - ∠CDE$，$DG$ 平分 $∠ADE$，
∴ $∠2 = \frac{1}{2}∠ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠CDE) = 90° - \frac{1}{2}∠CDE$。
∴ $∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}∠ABC + 90° - \frac{1}{2}∠CDE = 90°$。
(2) $\boldsymbol{∠DHF = 45° + \frac{1}{2}α}$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ABC$，
∴ $∠ABF = \frac{1}{2}∠ABC$。
在 $△ABF$ 中，
$∠AFB = 180° - ∠BAC - ∠ABF = 180° - α - \frac{1}{2}∠ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠DEC = 90°$，
∴ $∠CDE = 90° - ∠C$。
∵ $∠ADE = 180° - ∠CDE$，$DG$ 平分 $∠ADE$，
∴ $∠ADG = \frac{1}{2}∠ADE = \frac{1}{2}[180° - (90° - ∠C)] = 45° + \frac{1}{2}∠C$。
在 $△DHF$ 中，
$∠DHF + ∠ADG + ∠AFB = 180°$，
∴ $∠DHF = 180° - ∠ADG - ∠AFB$
$= 180° - (45° + \frac{1}{2}∠C) - (180° - α - \frac{1}{2}∠ABC)$
$= α - 45° + \frac{1}{2}(∠ABC + ∠C)$。
在 $△ABC$ 中，$∠ABC + ∠C = 180° - α$，代入得：
$∠DHF = α - 45° + \frac{1}{2}(180° - α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $∠1+∠2=90°$；
(2) $∠DHF=45°+\frac{1}{2}α$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考察逻辑推理能力，解题核心是利用角平分线完成角度的倍分转化，结合三角形内角和定理推导未知角的关系，需要熟练掌握角度间的和差、互余、互补等关联性质。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断∠1和∠2的数量关系，首先根据角平分线定义可得∠1是∠ABC的一半；再结合DE⊥BC、∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余推出∠CDE=∠ABC；接着根据平角定义和角平分线定义，将∠2用∠CDE表示，最后代入∠1+∠2化简即可得到二者的数量关系。
(2) 要求∠DHF的度数，首先利用角平分线定义分别表示出∠ABF和∠ADG；再在△ABF中借助三角形内角和定理表示出∠AFB；然后在△DHF中利用内角和定理，将∠DHF用α、∠ABC、∠C表示；最后结合△ABC的内角和，把∠ABC+∠C替换为180°-α，化简即可得到含α的∠DHF表达式。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1 + ∠2 = 90°}$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ABC$，
∴ $∠1 = \frac{1}{2}∠ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠DEC = 90°$，
∴ $∠C + ∠CDE = 90°$。
∵ $∠BAC = 90°$，
∴ $∠ABC + ∠C = 90°$，
∴ $∠CDE = ∠ABC$。
∵ $∠ADE = 180° - ∠CDE$，$DG$ 平分 $∠ADE$，
∴ $∠2 = \frac{1}{2}∠ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠CDE) = 90° - \frac{1}{2}∠CDE$。
∴ $∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}∠ABC + 90° - \frac{1}{2}∠CDE = 90°$。
(2) $\boldsymbol{∠DHF = 45° + \frac{1}{2}α}$，理由如下：
∵ $BF$ 平分 $∠ABC$，
∴ $∠ABF = \frac{1}{2}∠ABC$。
在 $△ABF$ 中，
$∠AFB = 180° - ∠BAC - ∠ABF = 180° - α - \frac{1}{2}∠ABC$。
∵ $DE ⊥ BC$，
∴ $∠DEC = 90°$，
∴ $∠CDE = 90° - ∠C$。
∵ $∠ADE = 180° - ∠CDE$，$DG$ 平分 $∠ADE$，
∴ $∠ADG = \frac{1}{2}∠ADE = \frac{1}{2}[180° - (90° - ∠C)] = 45° + \frac{1}{2}∠C$。
在 $△DHF$ 中，
$∠DHF + ∠ADG + ∠AFB = 180°$，
∴ $∠DHF = 180° - ∠ADG - ∠AFB$
$= 180° - (45° + \frac{1}{2}∠C) - (180° - α - \frac{1}{2}∠ABC)$
$= α - 45° + \frac{1}{2}(∠ABC + ∠C)$。
在 $△ABC$ 中，$∠ABC + ∠C = 180° - α$，代入得：
$∠DHF = α - 45° + \frac{1}{2}(180° - α) = 45° + \frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $∠1+∠2=90°$；
(2) $∠DHF=45°+\frac{1}{2}α$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考察逻辑推理能力，解题核心是利用角平分线完成角度的倍分转化，结合三角形内角和定理推导未知角的关系，需要熟练掌握角度间的和差、互余、互补等关联性质。
【难度系数】
0.6
