1. [2025连云港中考]下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ()

A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10

1. B

【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以先把三根木棒的长度从小到大排序，只需要验证较短的两根长度之和是否大于最长的那根即可：如果满足，就能构成三角形；如果不满足（小于或等于），就不能构成三角形，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系，简便判断规则：将三边从小到大排序后，较小两边之和大于最长边即可构成三角形。
A选项：长度为1,2,3，较小两边和为$1+2=3$，等于最长边3，不满足条件，不能构成三角形；
B选项：长度为2,3,4，较小两边和为$2+3=5＞4$，满足条件，可以构成三角形；
C选项：长度为3,5,8，较小两边和为$3+5=8$，等于最长边8，不满足条件，不能构成三角形；
D选项：长度为4,5,10，较小两边和为$4+5=9＜10$，不满足条件，不能构成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“较小两边之和大于最长边”的简便判断方法可以快速得出答案，做题时要注意两边之和等于第三边的情况也无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.9

2. 新情境 [2026 连云港外国语学校月考] 如图,有甲、乙两根小棒,现用剪刀把其中一根小棒剪开,若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形,则剪开的小棒是 ()


A.甲
B.乙
C.甲或乙
D.甲或乙均不可以

2. B

【分析】
要解决这道题，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们可以分两种假设情况讨论：分别假设剪开甲小棒和剪开乙小棒，判断两种情况是否满足三边关系即可。首先观察图形可知乙小棒长度大于甲小棒：如果剪开甲，那么甲的两段长度之和等于甲的总长，而甲比乙短，两段之和小于乙，必然不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；如果剪开乙，乙的两段总长大于甲，只要剪裁时让两段分别满足和甲相加大于另一段，就能构成三角形，是可行的。
【解析】
解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
由图可得，乙小棒的长度 ＞ 甲小棒的长度。
1. 若剪开甲小棒：剪开得到的两段长度之和等于甲的长度，因甲＜乙，故两段之和 ＜ 乙，不满足三角形三边关系，无法与乙组成三角形。
2. 若剪开乙小棒：设剪开后两段长度为x、y，则x+y=乙的长度。首先x+y=乙＞甲，满足两边之和大于第三边；只需满足x+甲＞y、y+甲＞x即可构成三角形，该条件可通过合理剪裁实现，因此剪开乙小棒符合要求。
综上，应剪开乙小棒。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合剪裁小棒的生活情境考查三角形三边关系的应用，解题时需要分情况讨论不同剪裁方案的可行性，核心是抓住“任意两边之和大于第三边”的判定规则，避免忽略两边之和与第三边的大小比较出现错选。
【难度系数】
0.7

3. [2026徐州泉山区期中]若长度分别为3,7,a的三条线段能组成一个三角形,则偶数a的值可以是.(写出一个即可)

3. 6(或8)
根据三角形的三边关系,得7-3＜a＜7+3,即4＜a＜10.
∵a是偶数,
∴a可以是6或8.

【分析】
要解决这道题，首先明确三条线段能组成三角形的核心条件是满足三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们首先根据已知的两条边长3和7，列出关于第三条边a的不等式，求出a的取值范围，再结合a是偶数的限制条件，就能筛选出符合要求的a的值，题目只要求写出一个，任选其一即可。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
$7-3 ＜ a ＜ 7+3$
计算得：$4 ＜ a ＜ 10$
因为a是偶数，所以在4到10之间的偶数有6、8，任选其一即可。
【答案】
6（或8）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题关键是先准确求出未知边的取值范围，再结合题干的附加条件筛选答案，题目只要求写出一个符合条件的值，进一步降低了解题难度。
【难度系数】
0.8

4.若$a,b,c$是三角形的三边长,化简:$|a+b-c|+|b-a-c|+|c-a+b|=$______.

4. a+b+c
∵a,b,c是三角形的三边长,
∴a+b-c＞0, b-a-c＜0,c-a+b＞0,
∴|a+b-c|+|b-a-c|+|c-a+b|=a+b-c+a+c-b+c-a+b=a+b+c.

【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形的三边长，可结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边长，根据三角形三边关系可得：
a+b＞c，即a+b-c＞0；
a+c＞b，即b-a-c = b-(a+c)＜0；
b+c＞a，即c-a+b = (b+c)-a＞0；
∴|a+b-c|+|b-a-c|+|c-a+b|
= (a+b-c) + [-(b-a-c)] + (c-a+b)
= a+b-c -b+a+c +c -a +b
= a+b+c
【答案】
a+b+c
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形三边性质和绝对值化简结合考察，解题关键是先利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 如图,三条线段的长度分别为$a,b,c$,其中$a ＜ b ＜ c$,且这三条线段首尾顺次连接能组成三角形.
(1)$a,b,c$只需要满足条件即可.(只填一个序号)
①$a + b ＞ c$;②$a + c ＞ b$;③$b + c ＞ a$.
(2)若$a=2,c=5,b$为整数,求组成的三角形的周长.

5. 解:(1)①
(2)由题意,得$\begin{cases} c-a ＜ b ＜ c+a,\\ a ＜ b ＜ c, \end{cases}$即$\begin{cases} 5-2 ＜ b ＜ 5+2,\\ 2 ＜ b ＜ 5, \end{cases}$
解得3 ＜ b ＜ 5.
∵b为整数,
∴b=4,
∴组成的三角形的周长为a+b+c=2+4+5=11.

【分析】
（1）第一问解题思路：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，已知$a＜b＜c$，$c$是最长边，此时$a+c＞b$、$b+c＞a$必然成立（因为$c＞b$且$a$为正数，故$a+c＞b$；$b、c$都大于$a$，故$b+c＞a$），因此只需要验证最小的两边之和大于最长边即可。
（2）第二问解题思路：先根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到$b$的初步范围，再结合题目给出的$a＜b＜c$的限定条件，联立得到$b$的最终取值范围，结合$b$是整数的条件确定$b$的取值，最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
（1）已知$a＜b＜c$，$c$为最长边，根据三角形三边关系，只需满足较小两边之和大于最大边，即$a+b＞c$，其余两个不等式天然成立，故选①。
（2）根据题意，结合三角形三边关系和$a＜b＜c$的条件，可列不等式组：
$\begin{cases} c-a ＜ b ＜ c+a\\ a ＜ b ＜ c \end{cases}$
将$a=2$，$c=5$代入，得：
$\begin{cases} 5-2 ＜ b ＜ 5+2\\ 2 ＜ b ＜ 5 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} 3 ＜ b ＜ 7\\ 2 ＜ b ＜ 5 \end{cases}$，取交集得$3＜b＜5$。
∵$b$为整数，
∴$b=4$。
∴三角形的周长为$a+b+c=2+4+5=11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①}$；(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形边的关系的基础应用题，核心是掌握已知三边大小顺序时，可简化三边关系的验证步骤，只需判断较小两边之和大于最长边即可；第二问求解时要注意不要遗漏题目给出的$a＜b＜c$的限定条件，避免得到错误的$b$的取值。
【难度系数】
0.8

6. 教材P5例1变式［2026南京联合体月考］如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O. 求证：$AB + CD ＜ AC + BD$.

6. 证明:在△AOB中,AB＜OA+OB;
在△COD中,CD＜OC+OD.
∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD,
∴AB+CD＜AC+BD.

【分析】
要证明线段和的不等关系，可利用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）求解。首先观察待证线段AB是△AOB的边，CD是△COD的边，先分别在两个三角形中列出三边关系的不等式，再将两个不等式相加，对右侧的线段进行合并，结合AC=OA+OC、BD=OB+OD，即可推导出最终结论。
【解析】
证明：在△AOB中，根据三角形三边关系可得AB＜OA+OB；
在△COD中，根据三角形三边关系可得CD＜OC+OD。
将两个不等式左右分别相加，得AB+CD＜OA+OB+OC+OD，
又因为OA+OC=AC，OB+OD=BD，因此可得AB+CD＜AC+BD。
【答案】
证明:在△AOB中,AB＜OA+OB;
在△COD中,CD＜OC+OD.
∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD,
∴AB+CD＜AC+BD.
【知识点】
1.三角形三边关系 2.线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查三角形三边关系的应用，解题关键是找准待证线段所在的三角形，将分散的线段不等式整合，结合线段和的关系化简得到结论，能有效检验对基础几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.8

7. [2026扬州邗江区期中]在$△ ABC$中,若$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,则$∠ A$ $∠ C$.(填“＞”“=”或“＜”)

7. ＜

【分析】
要比较∠A和∠C的大小，我们可以利用三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质解题，思路如下：第一步先确定两个角分别对应的对边：三角形中一个角的对边是不经过该角顶点的边，因此∠A的对边是BC，∠C的对边是AB；第二步比较两条对边的长度；第三步根据边角对应性质推导角的大小关系即可。
【解析】
在△ABC中：
∠A的对边为BC，长度是4cm；
∠C的对边为AB，长度是6cm；
∵6cm＞4cm，即AB＞BC，
根据三角形中大边对大角的性质，边越长对应的对角越大，
∴∠C＞∠A，即∠A＜∠C。
【答案】
＜
【知识点】
1. 三角形对边识别
2. 大边对大角性质
【点评】
本题是基础题，核心考查三角形边角关系的应用，解题关键是准确找到角对应的对边，通过边长的大小关系就能直接推出角的大小关系。
【难度系数】
0.9

8. 在$△ ABC$中，$AC = 3$，$BC = 5$，且$∠ C ＞ ∠ A ＞ ∠ B$，则$AB$的长度的取值范围为。

8. 5＜AB＜8
∵AC=3,BC=5,
∴2＜AB＜8.
∵∠C＞∠A＞∠B,
∴AB＞BC＞AC,
∴AB＞5＞3,
∴5＜AB＜8.

【分析】
解题时要分两步思考：第一步先利用三角形三边的基本关系，求出AB边长的初步取值范围；第二步结合“同一个三角形中大角对大边”的性质，根据已知的角的大小关系，得到对应边的大小关系，对初步范围进一步限制，最后取两个范围的公共部分即可得到答案。要注意先明确每个角对应的对边：∠C对边是AB，∠A对边是BC，∠B对边是AC，避免对应错误。
【解析】
首先根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$BC - AC ＜ AB ＜ BC + AC$
代入$AC=3$，$BC=5$，计算得：
$5-3 ＜ AB ＜ 5+3$，即$2 ＜ AB ＜ 8$。
再根据同一三角形中“大角对大边”的性质，已知$∠ C ＞ ∠ A ＞ ∠ B$，三个角对应的对边分别为$AB$、$BC$、$AC$，因此对应边的大小关系为：
$AB ＞ BC ＞ AC$
代入边长得$AB ＞ 5 ＞ 3$，即$AB ＞ 5$。
结合两个范围取交集，最终得$5 ＜ AB ＜ 8$。
【答案】
$5＜AB＜8$
【知识点】
三角形三边关系；大角对大边
【点评】
本题是三角形边与角性质的基础综合题，解题关键是准确找到每个角对应的对边，先通过三边关系得到初步范围，再结合角的大小关系限制边的范围，避免遗漏角的条件导致范围过大。
【难度系数】
0.7

9. [2026宿迁宿豫中学月考]如图,已知:AB与CD相交于点O,CO＞AC,∠B＞∠A,求证:OD＞BD.

9. 证明:在△AOC中,
∵CO＞AC,
∴∠A＞∠AOC.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A＞∠BOD.
∵∠B＞∠A,
∴∠B＞∠A＞∠BOD,
即∠B＞∠BOD,
∴OD＞BD.

【分析】
要证明OD＞BD，可利用三角形“大角对大边”的性质，只需证明△BOD中∠B＞∠BOD即可。首先根据已知条件CO＞AC，在△AOC中通过“大边对大角”得到∠A＞∠AOC；再借助对顶角相等的性质，将∠AOC转化为∠BOD，得到∠A＞∠BOD；最后结合已知∠B＞∠A，通过角的大小传递得到∠B＞∠BOD，即可推出边的不等关系。
【解析】
证明：在△AOC中，
∵CO＞AC，
∴∠A＞∠AOC（三角形中大边对大角）。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠A＞∠BOD。
又
∵∠B＞∠A，
∴∠B＞∠A＞∠BOD，即∠B＞∠BOD，
∴OD＞BD（三角形中大角对大边）。
【答案】
证明:在△AOC中,
∵CO＞AC,
∴∠A＞∠AOC.
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A＞∠BOD.
∵∠B＞∠A,
∴∠B＞∠A＞∠BOD,
即∠B＞∠BOD,
∴OD＞BD.
【知识点】
三角形边角不等关系；对顶角相等；不等式传递性
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用题，解题关键是借助对顶角的桥梁作用，将两个三角形的角的大小关系建立关联，结合角的大小传递性得到目标三角形内的角的大小关系，最终推出边的不等结论，逻辑清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

10. 天星原创 教材通过折纸的方式证明了“大边对大角”.“飞翔”数学兴趣小组的学生发现“大角对大边”也可利用线段的对称轴进行类似的证明. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB ＞ ∠ B$,为了证明$AB ＞ AC$,作$BC$的垂直平分线,交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,连接$DC$.请你帮助“飞翔”数学兴趣小组的学生完成证明过程.

10. 证明:
∵DE垂直平分线段BC,
∴BD=CD.
在△ACD中,AD+CD＞AC,
∴AD+BD＞AC,
∴AB＞AC.

【分析】
要证明$AB＞AC$，可通过线段转化结合三角形三边关系推导：首先观察到辅助线是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到等线段$BD=CD$；再将$AB$拆分为$AD+BD$，把$BD$替换为$CD$后，$AB$就转化为$AD+CD$；最后在$△ ACD$中利用三角形三边关系即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
$\because DE$垂直平分线段$BC$，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ACD$中，根据三角形三边关系得$AD+CD＞AC$，
将$CD$替换为等量$BD$，可得$AD+BD＞AC$，
又$\because AD+BD=AB$，
$\therefore AB＞AC$。
【答案】
证明过程见上述解析，最终得证$AB＞AC$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、等量代换
【点评】
本题通过构造垂直平分线实现线段的等量转化，结合三角形三边关系完成证明，能帮助理解几何证明中的转化思想，加深对三角形边角关系的认知。
【难度系数】
0.8