一、选择题
1.下列二次根式中,与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是 （）

A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{0.3}$

1.B

【分析】
要判断哪个选项与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。因此解题时首先要把每个选项的二次根式化为最简形式，再对比化简后的被开方数是否和$\sqrt{3}$的被开方数3一致，即可选出正确答案。
【解析】
逐个化简各选项并判断：
A. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{1×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式；
C. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不是同类二次根式；
D. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\sqrt{\dfrac{3×10}{10×10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，化简后被开方数为30，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不是同类二次根式。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题的关键是牢记判断同类二次根式前必须先将所有二次根式化为最简形式，不可直接根据原式根号下的数字判断，避免出现误判。
【难度系数】
0.8

2.下列各式计算正确的是
（）

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=2$

2.D

【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的运算规则：1. 加减运算时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根式部分保持不变；2. 乘法运算时，系数与系数相乘，二次根式部分相乘，再将结果化简；3. 除法运算时，可以先将被开方数相除，再开方化简。接下来逐一验证每个选项的计算是否符合规则即可。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B选项：$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}$属于同类二次根式相减，合并时系数相减，根式不变，结果为$(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，因此B计算错误；
C选项：$2\sqrt{3}×3\sqrt{3}$按二次根式乘法规则计算：系数相乘得$2×3=6$，根式部分相乘得$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，最终结果为$6×3=18≠6\sqrt{3}$，因此C计算错误；
D选项：$\sqrt{12}÷\sqrt{3}$按二次根式除法规则计算：$\sqrt{12÷3}=\sqrt{4}=2$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 同类二次根式的识别
2. 二次根式的加减运算
3. 二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，解题时需注意区分加减、乘除的不同运算要求，避免出现非同类二次根式合并、乘除运算漏算系数或根式部分的错误，是巩固二次根式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

3.若$ x = \sqrt{m} - \sqrt{n} $，$ y = \sqrt{m} + \sqrt{n} $，则$ xy $的值是 （）

A.$ 2\sqrt{m} $
B.$ 2\sqrt{n} $
C.$ m + n $
D.$ m - n $

3.D

【分析】
首先观察x和y的代数式结构，发现二者分别是两数的差与两数的和的形式，完全符合平方差公式的运算结构，因此可以直接套用平方差公式计算xy，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$化简即可得到结果，不需要逐项展开计算，能简化运算步骤，降低出错概率。
【解析】
已知$x=\sqrt{m}-\sqrt{n}$，$y=\sqrt{m}+\sqrt{n}$，代入$xy$可得：
$xy=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，令$a=\sqrt{m}$，$b=\sqrt{n}$，代入得：
$xy=(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2$
根据二次根式的性质，二次根号下的被开方数为非负数，因此$(\sqrt{m})^2=m$，$(\sqrt{n})^2=n$，化简得：
$xy=m-n$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，将整式乘法公式应用到二次根式运算中，能有效简化计算过程，解题时要注意先观察代数式的结构特征，优先选择简便运算方法。
【难度系数】
0.8

4.若要使算式“$3\sqrt{2} ◯ \sqrt{8}$”的运算结果最小，则“$◯$”表示的运算符号应是 （）

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

4.B

【分析】
要找出使运算结果最小的符号，需先将$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再分别计算填入加、减、乘、除四个运算符号时的算式结果，最后比较四个结果的大小，最小结果对应的运算符号即为所求。
【解析】
首先化简二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
分别计算四个选项的运算结果：
A. 若填$+$：$3\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$；
B. 若填$-$：$3\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.414$；
C. 若填$×$：$3\sqrt{2}×\sqrt{8}=3\sqrt{2×8}=3\sqrt{16}=3×4=12$；
D. 若填$÷$：$3\sqrt{2}÷\sqrt{8}=3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=1.5$。
比较四个结果：$\sqrt{2}＜1.5＜5\sqrt{2}＜12$，可知填入减号时结果最小。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简；二次根式四则运算；实数大小比较
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是先把非最简二次根式化为最简形式再运算，通过逐一计算对比结果即可得出答案，有助于巩固二次根式的基本运算能力。
【难度系数】
0.8

5.若$ a = 3 - \sqrt{10} $，则代数式$ a^2 - 6a - 2 $的值为（）

A.0
B.－1
C.1
D.$ \sqrt{10} $

5.B

【分析】
本题有两种解题思路，思路一：直接将a的值代入代数式，按二次根式运算规则计算即可；思路二：观察代数式结构，$a^2-6a$可通过配方法凑成完全平方形式，结合a的表达式特征简化计算，更推荐第二种方法，计算量更小不易出错。具体步骤为：先对代数式配方变形，再将$a-3$的值整体代入计算，最终求出结果。
【解析】
方法一（配方法，简便）：
对代数式$a^2 - 6a - 2$配方变形：
$\begin{aligned}a^2 - 6a - 2&=(a^2 - 6a + 9) - 9 - 2\\&=(a - 3)^2 - 11\end{aligned}$
已知$a = 3 - \sqrt{10}$，可得$a - 3 = -\sqrt{10}$，代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\sqrt{10})^2 - 11\\&=10 - 11\\&=-1\end{aligned}$
方法二（直接代入法）：
将$a = 3 - \sqrt{10}$直接代入代数式计算：
$\begin{aligned}a^2 - 6a - 2&=(3 - \sqrt{10})^2 - 6×(3 - \sqrt{10}) - 2\\&=9 - 6\sqrt{10} + 10 - 18 + 6\sqrt{10} - 2\\&=(9+10-18-2)+(-6\sqrt{10}+6\sqrt{10})\\&=-1\end{aligned}$
【答案】B
【知识点】完全平方公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】本题是二次根式相关的代数式求值基础题，优先选用配方法整体代入可大幅简化计算过程，降低计算错误概率，是该类题型的常用技巧。
【难度系数】0.7

6.按如图所示的程序计算,若开始输入的$ n $值为$\sqrt{2}$,则最后输出的结果是 （）


A.14
B.16
C.$ 8+5\sqrt{2} $
D.$ 14+\sqrt{2} $

6.C

【分析】
解题首先要明确程序的运行逻辑：输入n后计算n(n+1)的值，若结果大于15则直接输出，若不大于15则将该结果作为新的n代入再次计算，直到结果大于15为止。我们按照这个逻辑逐步代入初始值$n=\sqrt{2}$计算即可。
【解析】
第一步，初始输入$ n=\sqrt{2} $，计算$ n(n+1) $：
$ \sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1=2+\sqrt{2} $
因为$ 2+\sqrt{2}\approx3.414＜15 $，不满足输出条件，将$ 2+\sqrt{2} $作为新的n代入计算。
第二步，代入$ n=2+\sqrt{2} $，计算$ n(n+1) $：
$ (2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2}) $
展开计算：
$ =2×3 + 2×\sqrt{2} + \sqrt{2}×3 + \sqrt{2}×\sqrt{2} $
$ =6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2 $
$ =8 + 5\sqrt{2} $
因为$ 8+5\sqrt{2}\approx15.07＞15 $，满足输出条件，所以输出该结果。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算，流程图计算
【点评】
本题将程序逻辑和二次根式运算结合，解题时要注意循环计算的规则，不要仅计算一次就直接判断结果，既考察了二次根式的运算能力，也考察了对程序逻辑的理解能力。
【难度系数】
0.7

7.对于任意的正数 $ m,n $，定义运算※为：$ m※n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n} & (m≥ n), \\\sqrt{m}+\sqrt{n} & (m＜ n),\end{cases}$ 计算$ (3※2)×(8※12) $的结果为 （ ）

A.$ 2-4\sqrt{6} $
B.$ 2 $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 20 $

7.B

【分析】
解题时首先要明确新定义运算※的规则：先比较参与运算的两个数的大小，若$m≥ n$则运算结果为$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，若$m＜n$则结果为$\sqrt{m}+\sqrt{n}$。解题步骤分为三步：第一步先计算$3※2$的值，比较3和2的大小选择对应公式；第二步计算$8※12$的值，同样先比较8和12的大小选公式，再化简二次根式；第三步将两个结果相乘，利用平方差公式简化计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算$3※2$：
因为$3＞2$，符合$m≥ n$的情况，所以$3※2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
2. 计算$8※12$：
因为$8＜12$，符合$m＜n$的情况，所以$8※12=\sqrt{8}+\sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$8※12=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
3. 计算乘积：
$(3※2)×(8※12)=(\sqrt{3}-\sqrt{2})×2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，这里$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，因此：
原式$=2×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]=2×(3-2)=2×1=2$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，平方差公式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的混合运算，解题的核心是准确理解新运算的规则，正确拆分运算步骤，计算时巧用乘法公式可大幅降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7

8.计算：$\sqrt{2} - \sqrt{18} = \_\_\_\_\_\_$；$\sqrt{9} - \sqrt{16} = \_\_\_\_\_\_$；$\sqrt{3} × \sqrt{6} - \sqrt{8} = \_\_\_\_\_\_$.

8.$-2\sqrt{2}$；$-1$；$\sqrt{2}$

【分析】
这三道题均属于二次根式的基础运算，解题思路清晰：①先将算式中所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②包含乘法运算的，先按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算乘法部分再化简；③最后合并同类二次根式，仅涉及算术平方根运算的直接求值后相减即可。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2} - \sqrt{18}$：
先化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
则原式$=\sqrt{2} - 3\sqrt{2}=(1-3)\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$；
2. 计算$\sqrt{9} - \sqrt{16}$：
直接求算术平方根得$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，
则原式$=3-4=-1$；
3. 计算$\sqrt{3} × \sqrt{6} - \sqrt{8}$：
先算乘法：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
再化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
则原式$=3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$-2\sqrt{2}$；$-1$；$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法运算、同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，核心是先把非最简二次根式化为最简形式，再按运算法则计算，熟练掌握二次根式化简规则和运算规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

9.老师书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：

解：
(1) 设所捂的二次三项式为A，
根据题意得：
$A = x^2 - 5x + 1 + 3x$
$= x^2 - 2x + 1$
(2) 当$x = \sqrt{2}$时，
$A = (\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2} + 1$
$= 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - 2\sqrt{2}$
综上，所捂二次三项式为$x^2 - 2x + 1$，对应值为$3 - 2\sqrt{2}$。

【分析】
解题分为两个步骤：第一步求被捂住的二次三项式，先设该多项式为A，根据题意可知“被捂住的多项式 - 3x = x² - 5x + 1”，根据减法中“被减数=差+减数”的运算关系，就能列出式子计算A，计算时遵循合并同类项的规则即可；第二步是代入求值，把x=√2代入第一步求出的多项式中，按照二次根式的运算规则计算就能得到最终结果。
【解析】
(1) 设所捂的二次三项式为A，
根据题意得：
$A = x^2 - 5x + 1 + 3x$
$= x^2 - 2x + 1$
(2) 当$x = \sqrt{2}$时，
$A = (\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2} + 1$
$= 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - 2\sqrt{2}$
【答案】
所捂二次三项式为$x^2 - 2x + 1$，当$x=\sqrt{2}$时对应值为$3 - 2\sqrt{2}$。
【知识点】
整式的加减，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题结合整式运算和二次根式计算两个考点，解题核心是利用加减法的互逆关系先求出未知多项式，再代入求值，计算过程中注意合并同类项和二次根式的化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

$-3x=x^2-5x+1$，若$x=\sqrt{6}+1$，则所捂二次三项式的值为________.

9.6

10.已知$a$，$b$分别是$6-\sqrt{13}$的整数部分和小数部分，那么$2a - b$的值是.

10.$\sqrt{13}$

【分析】
要解决这道题，首先需要确定无理数的整数部分和小数部分：第一步先估算$\sqrt{13}$的取值范围，再据此推出$6-\sqrt{13}$的取值范围，就能得到它的整数部分$a$；第二步用$6-\sqrt{13}$减去整数部分$a$即可得到小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入$2a-b$计算即可得到结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{13}$的范围：
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
2. 推导$6-\sqrt{13}$的范围：
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；
不等式两边同时加6，得$6-4＜6-\sqrt{13}＜6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$。
3. 确定$a$和$b$的值：
$6-\sqrt{13}$的整数部分$a=2$；
小数部分$b=(6-\sqrt{13})-a=6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$。
4. 计算$2a-b$：
将$a=2$，$b=4-\sqrt{13}$代入得：
$2a-b=2×2-(4-\sqrt{13})=4-4+\sqrt{13}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，二次根式的加减
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题的关键是正确估算出$\sqrt{13}$的取值范围，再按照规则计算即可，属于二次根式相关的基础常考题。
【难度系数】
0.7

11.如图,矩形内三个相邻的正方形面积分别为 4,3 和 2,则图中阴影部分的面积为 .

11.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$

【分析】
解题思路如下：1. 先根据正方形面积公式，求出三个正方形的边长，面积为4的正方形边长为2，面积为2的边长为√2，面积为3的边长为√3；2. 观察图形可知，阴影部分和面积为2、3的正方形共同组成一个长方形，该长方形的宽等于面积为4的正方形的边长（即2），长为面积2、3的正方形边长之和（即√2+√3）；3. 用该长方形的面积减去两个正方形的面积，即可得到阴影部分的面积，最后按照二次根式的运算法则计算结果即可。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$，可得各正方形的边长：
面积为2的正方形边长：$a_1=\sqrt{2}$
面积为3的正方形边长：$a_2=\sqrt{3}$
面积为4的正方形边长：$a_3=\sqrt{4}=2$
观察图形，包含阴影部分、面积为2和3的正方形的长方形的宽为2，长为$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，因此：
长方形面积 = 长×宽 = $2×(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
阴影部分面积 = 长方形面积 - 面积为2的正方形面积 - 面积为3的正方形面积
代入数值计算：
$S_{阴影}=2(\sqrt{2}+\sqrt{3}) - 2 - 3 = 2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-5$
【答案】
$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
【知识点】
正方形面积计算，矩形面积计算，二次根式的运算
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的实际应用，解题的核心是通过观察图形找到阴影部分面积的间接计算方法，避免直接拆分阴影计算的复杂度，掌握二次根式的加减运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.7