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17.先阅读,后解答:$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{3+\sqrt{6}}{3-2}=3+\sqrt{6}$,上述解题过程中,$\sqrt{3}-\sqrt{2}$与$\sqrt{3}+\sqrt{2}$相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程也称为分母有理化.
(1)$\sqrt{3}$的有理化因式是________;$\sqrt{5}+2$的有理化因式是________;
(2)将下列式子进行分母有理化:
$\frac{2}{\sqrt{5}}=\_\_\_\_\_\_$;$\frac{1}{3+\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_$;
(3)已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}},b=2-\sqrt{3}$,比较$a$与$b$的大小关系.
(1)$\sqrt{3}$的有理化因式是________;$\sqrt{5}+2$的有理化因式是________;
(2)将下列式子进行分母有理化:
$\frac{2}{\sqrt{5}}=\_\_\_\_\_\_$;$\frac{1}{3+\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_$;
(3)已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}},b=2-\sqrt{3}$,比较$a$与$b$的大小关系.
答案
17.(1)$\sqrt{3}$ $\sqrt{5}-2$
(2)$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(3)$\because a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$,$\therefore a=b$
(2)$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(3)$\because a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$,$\therefore a=b$
解析
【分析】
解题时先明确有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。解题思路如下：
1. 第(1)问：单一根式的有理化因式是它本身；形如$\sqrt{a}+b$的式子，利用平方差公式的特征，有理化因式为$\sqrt{a}-b$，相乘后可消去根号。
2. 第(2)问：分母有理化的核心是给分子分母同乘分母的有理化因式，消去分母中的根号，再化简计算即可。
3. 第(3)问：先将$a$的分母有理化，化简为最简形式后，直接和$b$对比就能得出大小关系。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{3} × \sqrt{3} = 3$，乘积不含二次根式，所以$\sqrt{3}$的有理化因式是$\sqrt{3}$；
因为$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，乘积不含二次根式，所以$\sqrt{5} + 2$的有理化因式是$\sqrt{5} - 2$。
(2) 对$\frac{2}{\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
对$\frac{1}{3+\sqrt{6}}$分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{6}$：
$\frac{1}{3+\sqrt{6}} = \frac{1 × (3 - \sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(3) 先将$a$分母有理化：
$a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 × (2 - \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$，
又因为$b = 2 - \sqrt{3}$，所以$a = b$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；$\sqrt{5}-2$
(2)$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；$1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(3)$a=b$
【知识点】
有理化因式；分母有理化；二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，重点考查对分母有理化方法的掌握，核心是利用平方差公式找到分母的有理化因式，消去分母中的根号，熟练掌握该方法可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时先明确有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。解题思路如下：
1. 第(1)问：单一根式的有理化因式是它本身；形如$\sqrt{a}+b$的式子，利用平方差公式的特征，有理化因式为$\sqrt{a}-b$，相乘后可消去根号。
2. 第(2)问：分母有理化的核心是给分子分母同乘分母的有理化因式，消去分母中的根号，再化简计算即可。
3. 第(3)问：先将$a$的分母有理化，化简为最简形式后，直接和$b$对比就能得出大小关系。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{3} × \sqrt{3} = 3$，乘积不含二次根式，所以$\sqrt{3}$的有理化因式是$\sqrt{3}$；
因为$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$，乘积不含二次根式，所以$\sqrt{5} + 2$的有理化因式是$\sqrt{5} - 2$。
(2) 对$\frac{2}{\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$：
$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；
对$\frac{1}{3+\sqrt{6}}$分母有理化，分子分母同乘$3 - \sqrt{6}$：
$\frac{1}{3+\sqrt{6}} = \frac{1 × (3 - \sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$。
(3) 先将$a$分母有理化：
$a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 × (2 - \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$，
又因为$b = 2 - \sqrt{3}$，所以$a = b$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；$\sqrt{5}-2$
(2)$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；$1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
(3)$a=b$
【知识点】
有理化因式；分母有理化；二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，重点考查对分母有理化方法的掌握，核心是利用平方差公式找到分母的有理化因式，消去分母中的根号，熟练掌握该方法可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
18.小明做数学题时,发现:$\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$;$\sqrt{2-\dfrac{2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$;$\sqrt{3-\dfrac{3}{10}}=3\sqrt{\dfrac{3}{10}}$;$\sqrt{4-\dfrac{4}{17}}=4\sqrt{\dfrac{4}{17}}$;$···$.
(1)按照此规律,写出第6个等式为________;
(2)请写出第$n(n≥ 1$且$n$为整数$)$个等式,并将等式的右边化成最简二次根式;
(3)按此规律,若$\sqrt{a-\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}(a,b$为正整数$)$,则$a+b$的值为________.
(1)按照此规律,写出第6个等式为________;
(2)请写出第$n(n≥ 1$且$n$为整数$)$个等式,并将等式的右边化成最简二次根式;
(3)按此规律,若$\sqrt{a-\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}(a,b$为正整数$)$,则$a+b$的值为________.
答案
18.(1)$\sqrt{6-\dfrac{6}{37}}=6\sqrt{\dfrac{6}{37}}$
(2)第$n$($n≥1$且$n$为整数)个等式为$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$,$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$化成最简二次根式为$\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3)根据题中的规律,得$a=8$,$b=8^2+1=65$,则$a+b=8+65=73$,故答案为73
(2)第$n$($n≥1$且$n$为整数)个等式为$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$,$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$化成最简二次根式为$\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3)根据题中的规律,得$a=8$,$b=8^2+1=65$,则$a+b=8+65=73$,故答案为73
解析
【分析】
本题是二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：1. 先观察给出的4个等式，对比等式左右两边各部分和等式序号的关系：等式左边根号内的被减数、减数的分子，等式右边根号外的系数、根号内的分子都等于等式的序号，减数的分母、根号内的分母都等于“序号的平方+1”；2. 第（1）问将序号n=6代入找到的规律即可写出等式；3. 第（2）问将规律用含n的式子表示，再根据二次根式的性质把根号内的分母去掉，化为最简二次根式；4. 第（3）问将给出的式子和规律对比，确定a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个（n=1）：$\sqrt{1-\dfrac{1}{1^2+1}}=1\sqrt{\dfrac{1}{1^2+1}}$，即$\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
第2个（n=2）：$\sqrt{2-\dfrac{2}{2^2+1}}=2\sqrt{\dfrac{2}{2^2+1}}$，即$\sqrt{2-\dfrac{2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
……
当n=6时，分母为$6^2+1=37$，因此第6个等式为$\sqrt{6-\dfrac{6}{37}}=6\sqrt{\dfrac{6}{37}}$。
(2) 根据上述规律，第$n$（$n≥1$且$n$为整数）个等式为：
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$
将右边化为最简二次根式：
$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n(n^2+1)}{(n^2+1)^2}}=\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n(n^2+1)}=\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3) 对比规律式和$\sqrt{a-\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$，可得$a=8$，$b=a^2+1=8^2+1=65$，因此$a+b=8+65=73$。
【答案】
(1) $\sqrt{6-\dfrac{6}{37}}=6\sqrt{\dfrac{6}{37}}$
(2) 第$n$个等式为$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$，最简二次根式为$\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3) 73
【知识点】
规律探究；二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题结合规律探究考查二次根式的相关运算，解题关键是准确观察已知等式的结构特征，总结出通用的规律，再结合二次根式的性质完成化简和计算，掌握规律探究的方法和二次根式化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：1. 先观察给出的4个等式，对比等式左右两边各部分和等式序号的关系：等式左边根号内的被减数、减数的分子，等式右边根号外的系数、根号内的分子都等于等式的序号，减数的分母、根号内的分母都等于“序号的平方+1”；2. 第（1）问将序号n=6代入找到的规律即可写出等式；3. 第（2）问将规律用含n的式子表示，再根据二次根式的性质把根号内的分母去掉，化为最简二次根式；4. 第（3）问将给出的式子和规律对比，确定a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个（n=1）：$\sqrt{1-\dfrac{1}{1^2+1}}=1\sqrt{\dfrac{1}{1^2+1}}$，即$\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
第2个（n=2）：$\sqrt{2-\dfrac{2}{2^2+1}}=2\sqrt{\dfrac{2}{2^2+1}}$，即$\sqrt{2-\dfrac{2}{5}}=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
……
当n=6时，分母为$6^2+1=37$，因此第6个等式为$\sqrt{6-\dfrac{6}{37}}=6\sqrt{\dfrac{6}{37}}$。
(2) 根据上述规律，第$n$（$n≥1$且$n$为整数）个等式为：
$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$
将右边化为最简二次根式：
$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n(n^2+1)}{(n^2+1)^2}}=\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n(n^2+1)}=\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3) 对比规律式和$\sqrt{a-\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$，可得$a=8$，$b=a^2+1=8^2+1=65$，因此$a+b=8+65=73$。
【答案】
(1) $\sqrt{6-\dfrac{6}{37}}=6\sqrt{\dfrac{6}{37}}$
(2) 第$n$个等式为$\sqrt{n-\dfrac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2+1}}$，最简二次根式为$\dfrac{n}{n^2+1}\sqrt{n^3+n}$
(3) 73
【知识点】
规律探究；二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题结合规律探究考查二次根式的相关运算，解题关键是准确观察已知等式的结构特征，总结出通用的规律，再结合二次根式的性质完成化简和计算，掌握规律探究的方法和二次根式化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
