登录
三、解答题
13.在下列各式中,哪些是最简二次根式? 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1)$\sqrt{45}$;(2)$\sqrt{\frac{1}{3}}$;(3)$\frac{\sqrt{5}}{2}$;(4)$\sqrt{0.5}$;(5)$\sqrt{1\frac{4}{5}}$.
13.在下列各式中,哪些是最简二次根式? 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1)$\sqrt{45}$;(2)$\sqrt{\frac{1}{3}}$;(3)$\frac{\sqrt{5}}{2}$;(4)$\sqrt{0.5}$;(5)$\sqrt{1\frac{4}{5}}$.
答案
13.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$是最简二次根式.$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$,$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{9}{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确最简二次根式的判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时先逐个对照条件判断是否为最简二次根式，对不符合条件的，利用二次根式的性质，先将被开方数的分母去掉（分母有理化），再将能开得尽方的因数开方到根号外，最终得到最简形式。
【解析】
我们逐个分析各式：
(1) $\sqrt{45}$：被开方数$45=9×5$，其中9是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数含有分母，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $\frac{\sqrt{5}}{2}$：被开方数是5，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式。
(4) $\sqrt{0.5}$：先将小数化为分数得$0.5=\frac{1}{2}$，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(5) $\sqrt{1\frac{4}{5}}$：先将带分数化为假分数得$1\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$，被开方数既有分母，分子9又是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{1\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$是最简二次根式.$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$,$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{9}{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题是二次根式的基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，化简时注意先将被开方数中的小数、带分数统一化为普通分数，再依次去掉被开方数的分母、开尽能开方的因数，确保最终结果符合最简要求。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确最简二次根式的判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时先逐个对照条件判断是否为最简二次根式，对不符合条件的，利用二次根式的性质，先将被开方数的分母去掉（分母有理化），再将能开得尽方的因数开方到根号外，最终得到最简形式。
【解析】
我们逐个分析各式：
(1) $\sqrt{45}$：被开方数$45=9×5$，其中9是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数含有分母，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $\frac{\sqrt{5}}{2}$：被开方数是5，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式。
(4) $\sqrt{0.5}$：先将小数化为分数得$0.5=\frac{1}{2}$，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(5) $\sqrt{1\frac{4}{5}}$：先将带分数化为假分数得$1\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$，被开方数既有分母，分子9又是能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式。
化简：$\sqrt{1\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$是最简二次根式.$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$,$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{1\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{9}{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题是二次根式的基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定标准，化简时注意先将被开方数中的小数、带分数统一化为普通分数，再依次去掉被开方数的分母、开尽能开方的因数，确保最终结果符合最简要求。
【难度系数】
0.8
14.计算:
(1)$\sqrt{25×16}$；
(2)$\sqrt{(-64)×(-81)}$；
(3)$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}$；
(4)$3\sqrt{45}÷\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$.
(1)$\sqrt{25×16}$；
(2)$\sqrt{(-64)×(-81)}$；
(3)$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}$；
(4)$3\sqrt{45}÷\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$.
答案
14.(1)20 (2)72 (3)$\sqrt{3}$ (4)$20\sqrt{6}$
解析
【分析】
解决这类二次根式乘除运算题，核心是运用二次根式的运算性质：①积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）；②二次根式乘除法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。解题时先保证被开方数非负（遇负因数先算乘积化正），乘除同级运算可以将被开方数统一运算后再开方，带系数的运算可以将系数和被开方数分开计算，最后结果要化为最简二次根式。
(1) 直接用积的算术平方根性质拆分计算即可；
(2) 先计算被开方数中两个负数的乘积得正，再拆分计算；
(3) 按从左到右的顺序，将被开方数统一乘除后开方；
(4) 系数和被开方数分别计算，先把带分数化为假分数，再合并被开方数运算，最后化简。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质：
$\sqrt{25×16}=\sqrt{25}×\sqrt{16}=5×4=20$
(2) 先确定被开方数符号，再拆分：
$\sqrt{(-64)×(-81)}=\sqrt{64×81}=\sqrt{64}×\sqrt{81}=8×9=72$
(3) 按二次根式乘除法则统一运算被开方数：
$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}=\sqrt{18×\frac{1}{2}÷3}=\sqrt{9÷3}=\sqrt{3}$
(4) 系数与被开方数分别运算，先把带分数化为假分数：
$3\sqrt{45}÷\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$
$=3×\frac{2}{3}×\sqrt{45÷\frac{1}{5}×\frac{8}{3}}$
$=2×\sqrt{45×5×\frac{8}{3}}$
$=2×\sqrt{600}$
$=2×\sqrt{100×6}$
$=2×10\sqrt{6}=20\sqrt{6}$
【答案】
(1)20；(2)72；(3)$\sqrt{3}$；(4)$20\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的除法，积的算术平方根的性质
【点评】
本题主要考查二次根式乘除运算的应用，解题时要注意先保证被开方数为非负数，带分数运算前先化为假分数，带系数的运算可以将系数和被开方数分开计算简化过程，最终结果必须化为最简二次根式，计算时要注意细心避免运算错误。
【难度系数】
0.75
解决这类二次根式乘除运算题，核心是运用二次根式的运算性质：①积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）；②二次根式乘除法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。解题时先保证被开方数非负（遇负因数先算乘积化正），乘除同级运算可以将被开方数统一运算后再开方，带系数的运算可以将系数和被开方数分开计算，最后结果要化为最简二次根式。
(1) 直接用积的算术平方根性质拆分计算即可；
(2) 先计算被开方数中两个负数的乘积得正，再拆分计算；
(3) 按从左到右的顺序，将被开方数统一乘除后开方；
(4) 系数和被开方数分别计算，先把带分数化为假分数，再合并被开方数运算，最后化简。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质：
$\sqrt{25×16}=\sqrt{25}×\sqrt{16}=5×4=20$
(2) 先确定被开方数符号，再拆分：
$\sqrt{(-64)×(-81)}=\sqrt{64×81}=\sqrt{64}×\sqrt{81}=8×9=72$
(3) 按二次根式乘除法则统一运算被开方数：
$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}=\sqrt{18×\frac{1}{2}÷3}=\sqrt{9÷3}=\sqrt{3}$
(4) 系数与被开方数分别运算，先把带分数化为假分数：
$3\sqrt{45}÷\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$
$=3×\frac{2}{3}×\sqrt{45÷\frac{1}{5}×\frac{8}{3}}$
$=2×\sqrt{45×5×\frac{8}{3}}$
$=2×\sqrt{600}$
$=2×\sqrt{100×6}$
$=2×10\sqrt{6}=20\sqrt{6}$
【答案】
(1)20；(2)72；(3)$\sqrt{3}$；(4)$20\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法，二次根式的除法，积的算术平方根的性质
【点评】
本题主要考查二次根式乘除运算的应用，解题时要注意先保证被开方数为非负数，带分数运算前先化为假分数，带系数的运算可以将系数和被开方数分开计算简化过程，最终结果必须化为最简二次根式，计算时要注意细心避免运算错误。
【难度系数】
0.75
15.小东在学习了$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$后，认为$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$也成立，因此他认为一个化简过程：$\sqrt{\frac{-20}{-5}}=\frac{\sqrt{-20}}{\sqrt{-5}}=\frac{\sqrt{-5×4}}{\sqrt{-5}}=\frac{\sqrt{-5}×\sqrt{4}}{\sqrt{-5}}=\sqrt{4}=2$是正确的.你认为他的化简对吗？说说理由.
答案
15.错误,原因是被开方数应该为非负数.$\sqrt{\dfrac{-20}{-5}}=\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\sqrt{\dfrac{5×4}{5}}=\sqrt{4}=2$
解析
【分析】
要判断该化简过程是否正确，首先需明确二次根式除法公式$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：被开方数$a≥0$，且分母$b＞0$，保证根号下的数非负、分母不为0。首先观察小东的化简步骤，他直接对负数开平方，而实数范围内负数没有平方根，所以他的运算过程不符合二次根式的定义。正确的解题思路是先处理被开方数里的负号，将分数转化为分子分母均为正的形式，再按照二次根式的除法法则化简。
【解析】
小东的化简是错误的，理由如下：
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是$a≥0$，$b＞0$，二次根式的被开方数必须为非负数，小东化简过程中出现的$\sqrt{-20}$、$\sqrt{-5}$的被开方数是负数，在实数范围内没有意义，因此该化简步骤错误。
正确的化简过程为：先计算被开方数的分数部分，负负得正转化为正数运算，即$\sqrt{\frac{-20}{-5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{\frac{5×4}{5}}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
错误,原因是被开方数应该为非负数.$\sqrt{\dfrac{-20}{-5}}=\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\sqrt{\dfrac{5×4}{5}}=\sqrt{4}=2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件 2. 二次根式的除法法则
【点评】
本题易忽略二次根式运算的前提条件直接套用公式导致出错，做题时要先确认所有二次根式的被开方数为非负数，再按照运算法则进行计算，保证运算过程的合法性。
【难度系数】
0.7
要判断该化简过程是否正确，首先需明确二次根式除法公式$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：被开方数$a≥0$，且分母$b＞0$，保证根号下的数非负、分母不为0。首先观察小东的化简步骤，他直接对负数开平方，而实数范围内负数没有平方根，所以他的运算过程不符合二次根式的定义。正确的解题思路是先处理被开方数里的负号，将分数转化为分子分母均为正的形式，再按照二次根式的除法法则化简。
【解析】
小东的化简是错误的，理由如下：
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是$a≥0$，$b＞0$，二次根式的被开方数必须为非负数，小东化简过程中出现的$\sqrt{-20}$、$\sqrt{-5}$的被开方数是负数，在实数范围内没有意义，因此该化简步骤错误。
正确的化简过程为：先计算被开方数的分数部分，负负得正转化为正数运算，即$\sqrt{\frac{-20}{-5}}=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{\frac{5×4}{5}}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
错误,原因是被开方数应该为非负数.$\sqrt{\dfrac{-20}{-5}}=\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\sqrt{\dfrac{5×4}{5}}=\sqrt{4}=2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件 2. 二次根式的除法法则
【点评】
本题易忽略二次根式运算的前提条件直接套用公式导致出错，做题时要先确认所有二次根式的被开方数为非负数，再按照运算法则进行计算，保证运算过程的合法性。
【难度系数】
0.7
16.一个底面为 30 cm×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10 cm 的铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了 20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米？
答案
16.设铁桶的正方形底面边长为$x$ cm,则$10x^2=30×30×20$,$x^2=1800$,解得$x_1=30\sqrt{2}$,$x_2=-30\sqrt{2}$(不合题意,舍去).答:铁桶的正方形底面边长是$30\sqrt{2}$ cm
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“等积变形”的等量关系：从玻璃容器中倒出的水的体积等于铁桶的容积。首先计算倒出的水的体积，这部分水在长方体玻璃容器中是底面积为30×30 cm²、高为20 cm的长方体，根据长方体体积=底面积×高可求出其体积。再设铁桶底面边长为x cm，铁桶为底面是正方形的长方体，其容积为底面积x²乘高10 cm，根据两者体积相等列方程求解即可，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设铁桶的正方形底面边长为$x$ cm。
根据倒出的水的体积等于铁桶的容积，列方程得：
$10x^2=30×30×20$
整理得：$x^2=1800$
解得：$x_1=30\sqrt{2}$，$x_2=-30\sqrt{2}$
由于边长为正数，因此$x_2=-30\sqrt{2}$不合题意，舍去。
答：铁桶的正方形底面边长是$30\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$30\sqrt{2}$ cm
【知识点】
长方体体积计算；一元二次方程应用；二次根式化简
【点评】
本题属于典型的等积变形应用题，解题关键是找准体积不变的等量关系建立方程，同时需要结合实际问题的意义对解进行取舍，能够有效考查方程思想在实际问题中的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“等积变形”的等量关系：从玻璃容器中倒出的水的体积等于铁桶的容积。首先计算倒出的水的体积，这部分水在长方体玻璃容器中是底面积为30×30 cm²、高为20 cm的长方体，根据长方体体积=底面积×高可求出其体积。再设铁桶底面边长为x cm，铁桶为底面是正方形的长方体，其容积为底面积x²乘高10 cm，根据两者体积相等列方程求解即可，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设铁桶的正方形底面边长为$x$ cm。
根据倒出的水的体积等于铁桶的容积，列方程得：
$10x^2=30×30×20$
整理得：$x^2=1800$
解得：$x_1=30\sqrt{2}$，$x_2=-30\sqrt{2}$
由于边长为正数，因此$x_2=-30\sqrt{2}$不合题意，舍去。
答：铁桶的正方形底面边长是$30\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$30\sqrt{2}$ cm
【知识点】
长方体体积计算；一元二次方程应用；二次根式化简
【点评】
本题属于典型的等积变形应用题，解题关键是找准体积不变的等量关系建立方程，同时需要结合实际问题的意义对解进行取舍，能够有效考查方程思想在实际问题中的应用能力。
【难度系数】
0.7
