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1.计算$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{6}}$的结果是 （
A.4
B.$\pm\sqrt{4}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
C
）A.4
B.$\pm\sqrt{4}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：两个非负二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。首先判断本题中两个被开方数均为非负数，符合运算法则的使用条件，先将两个被开方数相乘后放在同一个根号下，计算乘积后再化简算术平方根即可，同时注意算术平方根的结果为非负数，可直接排除带正负号的错误选项。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{6}} = \sqrt{24 × \dfrac{1}{6}} = \sqrt{4} = 2$
因此结果为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；算术平方根的化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础考查题，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则，同时要明确算术平方根的结果是非负的，避免错选带正负符号的选项。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：两个非负二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。首先判断本题中两个被开方数均为非负数，符合运算法则的使用条件，先将两个被开方数相乘后放在同一个根号下，计算乘积后再化简算术平方根即可，同时注意算术平方根的结果为非负数，可直接排除带正负号的错误选项。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{6}} = \sqrt{24 × \dfrac{1}{6}} = \sqrt{4} = 2$
因此结果为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；算术平方根的化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础考查题，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则，同时要明确算术平方根的结果是非负的，避免错选带正负符号的选项。
【难度系数】
0.9
2.计算$\sqrt{\dfrac{x^3}{9}} ÷ \sqrt{x}$的结果是 （
A.$\dfrac{x}{3}$
B.$\dfrac{1}{3x}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\pm\dfrac{x}{3}$
A
）A.$\dfrac{x}{3}$
B.$\dfrac{1}{3x}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\pm\dfrac{x}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，再利用二次根式的除法运算法则，将两个二次根式的除法转化为同一个二次根式下被开方数的除法，化简被开方数后再开方，注意算术平方根的结果是非负的，以此排除错误选项。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件：被开方数非负且除数不为0，可得$x＞0$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），计算得：
$\sqrt{\dfrac{x^3}{9}} ÷ \sqrt{x}=\sqrt{\dfrac{x^3}{9}÷ x}=\sqrt{\dfrac{x^3}{9x}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{9}}$
因为$x＞0$，所以$\sqrt{\dfrac{x^2}{9}}=\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{9}}=\dfrac{x}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式除法运算，二次根式化简，分式约分
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题关键是牢记二次根式除法法则，同时注意二次根式的被开方数取值范围，算术平方根结果为非负数，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，再利用二次根式的除法运算法则，将两个二次根式的除法转化为同一个二次根式下被开方数的除法，化简被开方数后再开方，注意算术平方根的结果是非负的，以此排除错误选项。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件：被开方数非负且除数不为0，可得$x＞0$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），计算得：
$\sqrt{\dfrac{x^3}{9}} ÷ \sqrt{x}=\sqrt{\dfrac{x^3}{9}÷ x}=\sqrt{\dfrac{x^3}{9x}}=\sqrt{\dfrac{x^2}{9}}$
因为$x＞0$，所以$\sqrt{\dfrac{x^2}{9}}=\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{9}}=\dfrac{x}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式除法运算，二次根式化简，分式约分
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题关键是牢记二次根式除法法则，同时注意二次根式的被开方数取值范围，算术平方根结果为非负数，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.8
3.下列根式中,是最简二次根式的是
（
A.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{12}$
（
B
）A.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{12}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需对照这两个条件，逐个排查选项，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式条件，可化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{3}$的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的全部条件，是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{9}$的被开方数9是能开得尽方的数（$9=3^2$），可化简为3，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{12}$的被开方数12含有能开得尽方的因数4（$12=4×3$，$4=2^2$），可化简为$2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的判定规则，逐一排查选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需对照这两个条件，逐个排查选项，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式条件，可化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{3}$的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的全部条件，是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{9}$的被开方数9是能开得尽方的数（$9=3^2$），可化简为3，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{12}$的被开方数12含有能开得尽方的因数4（$12=4×3$，$4=2^2$），可化简为$2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的判定规则，逐一排查选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.下列各式的计算中,正确的是（
A.$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=6$
B.$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=3+4=7$
C.$\sqrt{41^{2}-40^{2}}=\sqrt{81}×\sqrt{1}=9$
D.$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2}$
C
）A.$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=6$
B.$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=3+4=7$
C.$\sqrt{41^{2}-40^{2}}=\sqrt{81}×\sqrt{1}=9$
D.$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需逐个验证每个选项：首先回忆二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数；其次牢记二次根式的运算法则，根号下的加减运算需先计算整体再开方，乘除运算可以拆分开方但要保证被开方数非负，化简时也要遵循运算规则，逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负，无意义，正确运算应为$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$，中间步骤错误，故A不符合题意。
选项B：根号内是加法运算，不能拆分分别开方，正确运算为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，故B不符合题意。
选项C：先利用平方差公式计算根号内的式子：$41^2-40^2=(41+40)(41-40)=81×1$，再根据二次根式乘法法则得$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81×1}=\sqrt{81}×\sqrt{1}=9×1=9$，运算正确，故C符合题意。
选项D：化简$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}$时，$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}=3×\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}≠\sqrt{2}$，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的运算，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，易错点在于容易忽略二次根式被开方数的非负性，或错误拆分根号内的加减运算，做题时要严格按照运算法则逐步演算，避免跳步出错。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关运算，解题时需逐个验证每个选项：首先回忆二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数；其次牢记二次根式的运算法则，根号下的加减运算需先计算整体再开方，乘除运算可以拆分开方但要保证被开方数非负，化简时也要遵循运算规则，逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负，无意义，正确运算应为$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$，中间步骤错误，故A不符合题意。
选项B：根号内是加法运算，不能拆分分别开方，正确运算为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，故B不符合题意。
选项C：先利用平方差公式计算根号内的式子：$41^2-40^2=(41+40)(41-40)=81×1$，再根据二次根式乘法法则得$\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81×1}=\sqrt{81}×\sqrt{1}=9×1=9$，运算正确，故C符合题意。
选项D：化简$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}$时，$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}=3×\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}≠\sqrt{2}$，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的运算，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，易错点在于容易忽略二次根式被开方数的非负性，或错误拆分根号内的加减运算，做题时要严格按照运算法则逐步演算，避免跳步出错。
【难度系数】
0.7
5.已知$ m = (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) $，则有 （
A.$ 5 ＜ m ＜ 6 $
B.$ 4 ＜ m ＜ 5 $
C.$ -5 ＜ m ＜ -4 $
D.$ -6 ＜ m ＜ -5 $
A
）A.$ 5 ＜ m ＜ 6 $
B.$ 4 ＜ m ＜ 5 $
C.$ -5 ＜ m ＜ -4 $
D.$ -6 ＜ m ＜ -5 $
答案
5.A
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先根据有理数乘法的符号法则判断m的正负，排除符号不符的选项；第二步按照二次根式的乘法运算法则计算并化简m的结果；第三步将化简后的无理数转化为根号下的形式，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的取值范围，最终确定m所在的区间即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定m的符号：
两个负数相乘结果为正，因此$m＞0$，可直接排除取值为负数的C、D选项。
2. 计算并化简m：
根据二次根式乘法法则$a\sqrt{b} × c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd} \ (b≥0,d≥0)$：
$\begin{aligned}m &= (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) \\&= \frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21} \\&= \frac{2}{3} × \sqrt{3×21} \\&= \frac{2}{3} × \sqrt{63} \\&= \frac{2}{3} × 3\sqrt{7} \\&= 2\sqrt{7}\end{aligned}$
3. 估算m的范围：
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$
因为$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{36}=6$，且$25＜28＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次根式的运算和无理数大小估算能力，解题关键是先正确化简二次根式，再通过相邻完全平方数确定无理数的范围，掌握相关基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先根据有理数乘法的符号法则判断m的正负，排除符号不符的选项；第二步按照二次根式的乘法运算法则计算并化简m的结果；第三步将化简后的无理数转化为根号下的形式，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，估算出无理数的取值范围，最终确定m所在的区间即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定m的符号：
两个负数相乘结果为正，因此$m＞0$，可直接排除取值为负数的C、D选项。
2. 计算并化简m：
根据二次根式乘法法则$a\sqrt{b} × c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd} \ (b≥0,d≥0)$：
$\begin{aligned}m &= (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) \\&= \frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21} \\&= \frac{2}{3} × \sqrt{3×21} \\&= \frac{2}{3} × \sqrt{63} \\&= \frac{2}{3} × 3\sqrt{7} \\&= 2\sqrt{7}\end{aligned}$
3. 估算m的范围：
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$
因为$\sqrt{25}=5$，$\sqrt{36}=6$，且$25＜28＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次根式的运算和无理数大小估算能力，解题关键是先正确化简二次根式，再通过相邻完全平方数确定无理数的范围，掌握相关基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
6.若$\dfrac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{6-x}}=\sqrt{\dfrac{x-4}{6-x}}$成立，则$x$的取值范围是 （
A.$x＜6$
B.$0≤ x＜6$
C.$x≥4$
D.$4≤ x＜6$
D
）A.$x＜6$
B.$0≤ x＜6$
C.$x≥4$
D.$4≤ x＜6$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到二次根式除法法则的成立条件：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$成立的前提是分子的被开方数非负，且分母的被开方数为正数（分母不能为0）。对应到本题，我们只需把分子的被开方数$x-4$、分母的被开方数$6-x$分别代入条件列不等式组，求解集的公共部分即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使等式$\dfrac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{6-x}}=\sqrt{\dfrac{x-4}{6-x}}$成立，需同时满足二次根式有意义、分母不为0的要求，据此列不等式组：
$\begin{cases}x-4≥0 \quad \mathrm{①}\\6-x＞0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$x≥4$
解不等式②得：$x＜6$
取两个解集的公共部分，可得$x$的取值范围是$4≤ x＜6$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是容易误将分母的被开方数条件写为$6-x≥0$，忽略分母不能为0的要求，只要牢记二次根式被开方数非负、分母不为0的基本规则，就能正确求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到二次根式除法法则的成立条件：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$成立的前提是分子的被开方数非负，且分母的被开方数为正数（分母不能为0）。对应到本题，我们只需把分子的被开方数$x-4$、分母的被开方数$6-x$分别代入条件列不等式组，求解集的公共部分即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使等式$\dfrac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{6-x}}=\sqrt{\dfrac{x-4}{6-x}}$成立，需同时满足二次根式有意义、分母不为0的要求，据此列不等式组：
$\begin{cases}x-4≥0 \quad \mathrm{①}\\6-x＞0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$x≥4$
解不等式②得：$x＜6$
取两个解集的公共部分，可得$x$的取值范围是$4≤ x＜6$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，易错点是容易误将分母的被开方数条件写为$6-x≥0$，忽略分母不能为0的要求，只要牢记二次根式被开方数非负、分母不为0的基本规则，就能正确求解。
【难度系数】
0.8
7.已知 $ a = \frac{\sqrt{2}}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{3}, c = \frac{\sqrt{5}}{5} $，则下列大小关系正确的是 （
A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ a ＞ c ＞ b $
A
）A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ a ＞ c ＞ b $
答案
7.A
解析
【分析】
要比较a、b、c三个正数的大小，由于三个数都是带二次根式的正分数，直接通分比较较麻烦，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，先计算三个数的平方，将二次根式转化为有理数，再通过比较平方的大小，反推原数的大小关系，这种方法可以避免复杂的根式运算，符合当前学段的解题要求。
【解析】
解：
∵a、b、c均为正数，正数的平方越大，原数越大
∴分别计算三个数的平方：
$a^2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$b^2=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
$c^2=(\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{(\sqrt{5})^2}{5^2}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$
∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}＞\frac{1}{5}$，即$a^2＞b^2＞c^2$
∴$a＞b＞c$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算、实数大小比较
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题型，核心考查带二次根式的正数的大小比较技巧，解题时通过平方法将无理数比较转化为有理数比较，能有效简化运算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c三个正数的大小，由于三个数都是带二次根式的正分数，直接通分比较较麻烦，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，先计算三个数的平方，将二次根式转化为有理数，再通过比较平方的大小，反推原数的大小关系，这种方法可以避免复杂的根式运算，符合当前学段的解题要求。
【解析】
解：
∵a、b、c均为正数，正数的平方越大，原数越大
∴分别计算三个数的平方：
$a^2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$b^2=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
$c^2=(\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{(\sqrt{5})^2}{5^2}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$
∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}＞\frac{1}{5}$，即$a^2＞b^2＞c^2$
∴$a＞b＞c$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算、实数大小比较
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题型，核心考查带二次根式的正数的大小比较技巧，解题时通过平方法将无理数比较转化为有理数比较，能有效简化运算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
二、填空题
8.化简：$\sqrt{20}=$ ______；$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}=$ ______；$\sqrt{3^2×5^3×6}=$ ______.
8.化简：$\sqrt{20}=$ ______；$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}=$ ______；$\sqrt{3^2×5^3×6}=$ ______.
答案
8.$2\sqrt{5}$；$\dfrac{7}{3}$；$15\sqrt{30}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心是运用二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）、$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），将被开方数中能开得尽方的因数全部开出来，最终化为最简二次根式。解题思路如下：①化简$\sqrt{20}$时，先将20拆分为完全平方数4和5的乘积，再分别开方；②化简带分数的二次根式时，先把带分数化为假分数，再对分子分母分别开方；③化简含乘方因数的二次根式时，先把被开方数中各因数拆成偶次幂和剩余因数的乘积，再把偶次幂开方后相乘，剩余因数相乘后留在根号内。
【解析】
1. 化简$\sqrt{20}$：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
2. 化简$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}$：
先将带分数化为假分数：$5\dfrac{4}{9}=\dfrac{5×9+4}{9}=\dfrac{49}{9}$
则$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}=\dfrac{7}{3}$
3. 化简$\sqrt{3^2×5^3×6}$：
先拆分被开方数的幂次：$5^3=5^2×5$
则$\sqrt{3^2×5^3×6}=\sqrt{3^2×5^2×5×6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5^2}×\sqrt{30}=3×5×\sqrt{30}=15\sqrt{30}$
【答案】
$2\sqrt{5}$；$\dfrac{7}{3}$；$15\sqrt{30}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；二次根式乘除法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，重点考查二次根式相关性质的运用能力。化简时需注意：带分数要先转化为假分数再开方，不要直接对整数部分和分数部分分别开方；被开方数要先分解质因数，将所有能开得尽方的因数全部移出根号，最终结果要为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的化简，解题核心是运用二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）、$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），将被开方数中能开得尽方的因数全部开出来，最终化为最简二次根式。解题思路如下：①化简$\sqrt{20}$时，先将20拆分为完全平方数4和5的乘积，再分别开方；②化简带分数的二次根式时，先把带分数化为假分数，再对分子分母分别开方；③化简含乘方因数的二次根式时，先把被开方数中各因数拆成偶次幂和剩余因数的乘积，再把偶次幂开方后相乘，剩余因数相乘后留在根号内。
【解析】
1. 化简$\sqrt{20}$：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
2. 化简$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}$：
先将带分数化为假分数：$5\dfrac{4}{9}=\dfrac{5×9+4}{9}=\dfrac{49}{9}$
则$\sqrt{5\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}=\dfrac{7}{3}$
3. 化简$\sqrt{3^2×5^3×6}$：
先拆分被开方数的幂次：$5^3=5^2×5$
则$\sqrt{3^2×5^3×6}=\sqrt{3^2×5^2×5×6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5^2}×\sqrt{30}=3×5×\sqrt{30}=15\sqrt{30}$
【答案】
$2\sqrt{5}$；$\dfrac{7}{3}$；$15\sqrt{30}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；二次根式乘除法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，重点考查二次根式相关性质的运用能力。化简时需注意：带分数要先转化为假分数再开方，不要直接对整数部分和分数部分分别开方；被开方数要先分解质因数，将所有能开得尽方的因数全部移出根号，最终结果要为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
9.如果一个三角形的面积为$\sqrt{15}$，一边长为$\sqrt{3}$，那么这边上的高为________.
答案
9.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形面积公式，我们已知三角形的面积和一条边的长度，要求这条边上的高，可先对面积公式做变形：高=2×面积÷底边长，再代入已知数值，按照二次根式的除法法则计算并化简，就能得到最终结果。
【解析】
设这条边长为$\sqrt{3}$的边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×这条边上的高$，代入已知条件：
$\sqrt{15}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}× h$
将公式变形求解$h$：
$h=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$
根据二次根式的除法运算法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$计算：
$h=2×\sqrt{\frac{15}{3}}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式的除法，二次根式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形面积公式的变形，以及二次根式除法的运算法则，运算时注意化简结果为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形面积公式，我们已知三角形的面积和一条边的长度，要求这条边上的高，可先对面积公式做变形：高=2×面积÷底边长，再代入已知数值，按照二次根式的除法法则计算并化简，就能得到最终结果。
【解析】
设这条边长为$\sqrt{3}$的边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×这条边上的高$，代入已知条件：
$\sqrt{15}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}× h$
将公式变形求解$h$：
$h=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$
根据二次根式的除法运算法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$计算：
$h=2×\sqrt{\frac{15}{3}}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式的除法，二次根式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形面积公式的变形，以及二次根式除法的运算法则，运算时注意化简结果为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
10.若点$P(x,y)$在第二象限内,则化简$\sqrt{x^2 y}$的结果是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.$-x\sqrt{y}$
解析
【分析】
解题时首先根据第二象限内点的坐标符号特征，确定x、y的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将被开方数中的$x^2$开方，最后根据x的正负性去掉绝对值符号，即可完成化简。
【解析】
解：$\because$点$P(x,y)$在第二象限，
$\therefore x＜0$，$y＞0$，
$\therefore \sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}=|x|·\sqrt{y}$，
又$\because x＜0$，$\therefore |x|=-x$，
$\therefore$原式$=-x\sqrt{y}$。
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
象限内点的坐标特征；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简与平面直角坐标系知识的结合应用，解题的核心是先确定被开方数中所含字母的正负性，再根据二次根式的性质化简，需注意开方所得的结果一定是非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据第二象限内点的坐标符号特征，确定x、y的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将被开方数中的$x^2$开方，最后根据x的正负性去掉绝对值符号，即可完成化简。
【解析】
解：$\because$点$P(x,y)$在第二象限，
$\therefore x＜0$，$y＞0$，
$\therefore \sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}=|x|·\sqrt{y}$，
又$\because x＜0$，$\therefore |x|=-x$，
$\therefore$原式$=-x\sqrt{y}$。
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
象限内点的坐标特征；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简与平面直角坐标系知识的结合应用，解题的核心是先确定被开方数中所含字母的正负性，再根据二次根式的性质化简，需注意开方所得的结果一定是非负数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11.观察分析下列数据：$0,-\sqrt{3},\sqrt{6},-3,2\sqrt{3},-\sqrt{15},3\sqrt{2}\dots$根据数据排列的规律得到第16个数据应是________.(结果需化简)
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline3\sqrt{2}&2&\sqrt{3}\\\hline\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline3\sqrt{2}&2&\sqrt{3}\\\hline\end{array}$
答案
11.$-3\sqrt{5}$
解析
【分析】
遇到二次根式数列找规律的问题，可从两个维度拆解分析：一是符号变化规律，二是去掉符号后的数值变化规律。首先把所有已知数统一写成“符号+二次根式”的形式，方便对比数值特征；其次观察符号：偶数项为负、奇数项（除第1项为0外）为正，可用$(-1)$的乘方表示符号规律；再观察被开方数，推导被开方数和项数$n$的关系，得到通项公式后代入$n=16$计算，最后化简二次根式即可。
【解析】
先将数列中各数统一整理为带根号的形式，推导规律：
第1个数据：$0 = (-1)^{1+1}\sqrt{3×(1-1)}$
第2个数据：$-\sqrt{3} = (-1)^{2+1}\sqrt{3×(2-1)}$
第3个数据：$\sqrt{6} = (-1)^{3+1}\sqrt{3×(3-1)}$
第4个数据：$-3 = -\sqrt{9} = (-1)^{4+1}\sqrt{3×(4-1)}$
第5个数据：$2\sqrt{3} = \sqrt{12} = (-1)^{5+1}\sqrt{3×(5-1)}$
……
由此可得第$n$个数据的通项公式：$a_n = (-1)^{n+1}·\sqrt{3(n-1)}$
将$n=16$代入公式计算：
$a_{16}=(-1)^{16+1}·\sqrt{3×(16-1)} = (-1)^{17}·\sqrt{45} = -\sqrt{9×5} = -3\sqrt{5}$
【答案】
$-3\sqrt{5}$
【知识点】
数列规律探究，二次根式化简，符号规律判断
【点评】
本题重点考查归纳推理能力和二次根式的运算能力，解题的关键是统一数列的表达形式，分别从符号、被开方数两部分归纳规律，计算时注意不要弄错符号，二次根式要化到最简。
【难度系数】
0.7
遇到二次根式数列找规律的问题，可从两个维度拆解分析：一是符号变化规律，二是去掉符号后的数值变化规律。首先把所有已知数统一写成“符号+二次根式”的形式，方便对比数值特征；其次观察符号：偶数项为负、奇数项（除第1项为0外）为正，可用$(-1)$的乘方表示符号规律；再观察被开方数，推导被开方数和项数$n$的关系，得到通项公式后代入$n=16$计算，最后化简二次根式即可。
【解析】
先将数列中各数统一整理为带根号的形式，推导规律：
第1个数据：$0 = (-1)^{1+1}\sqrt{3×(1-1)}$
第2个数据：$-\sqrt{3} = (-1)^{2+1}\sqrt{3×(2-1)}$
第3个数据：$\sqrt{6} = (-1)^{3+1}\sqrt{3×(3-1)}$
第4个数据：$-3 = -\sqrt{9} = (-1)^{4+1}\sqrt{3×(4-1)}$
第5个数据：$2\sqrt{3} = \sqrt{12} = (-1)^{5+1}\sqrt{3×(5-1)}$
……
由此可得第$n$个数据的通项公式：$a_n = (-1)^{n+1}·\sqrt{3(n-1)}$
将$n=16$代入公式计算：
$a_{16}=(-1)^{16+1}·\sqrt{3×(16-1)} = (-1)^{17}·\sqrt{45} = -\sqrt{9×5} = -3\sqrt{5}$
【答案】
$-3\sqrt{5}$
【知识点】
数列规律探究，二次根式化简，符号规律判断
【点评】
本题重点考查归纳推理能力和二次根式的运算能力，解题的关键是统一数列的表达形式，分别从符号、被开方数两部分归纳规律，计算时注意不要弄错符号，二次根式要化到最简。
【难度系数】
0.7
12.在如图所示的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格中的实数之积为________.
答案
12.$6\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察方格，第一行的三个数全部已知，我们可以先计算第一行三个数的乘积，得到横、竖、斜对角三个数相乘的共同结果。再分别根据第二行、第一列的已知数，求出两个空格对应的数值，最后将两个空格的数值相乘并化简，即可得到答案。
【解析】
第一步：计算公共乘积：
第一行三个数相乘：$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{2×3}=6\sqrt{6}$，即所有横、竖、斜对角三个数的乘积都为$6\sqrt{6}$。
第二步：求第二行中间的空格数值，设为$x$：
第二行已知数为1和6，因此$1× x × 6 = 6\sqrt{6}$，解得$x=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$。
第三步：求第三行第一个的空格数值，设为$y$：
第一列已知数为$3\sqrt{2}$和1，因此$3\sqrt{2}×1× y=6\sqrt{6}$，解得$y=\frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{\frac{6}{2}}=2\sqrt{3}$。
第四步：计算两个空格的乘积：
$x× y=\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2\sqrt{18}=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算；实数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是先找到已知完整行列的乘积作为公共值，再结合二次根式的乘除法则求解未知量，计算过程中要注意二次根式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察方格，第一行的三个数全部已知，我们可以先计算第一行三个数的乘积，得到横、竖、斜对角三个数相乘的共同结果。再分别根据第二行、第一列的已知数，求出两个空格对应的数值，最后将两个空格的数值相乘并化简，即可得到答案。
【解析】
第一步：计算公共乘积：
第一行三个数相乘：$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{2×3}=6\sqrt{6}$，即所有横、竖、斜对角三个数的乘积都为$6\sqrt{6}$。
第二步：求第二行中间的空格数值，设为$x$：
第二行已知数为1和6，因此$1× x × 6 = 6\sqrt{6}$，解得$x=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$。
第三步：求第三行第一个的空格数值，设为$y$：
第一列已知数为$3\sqrt{2}$和1，因此$3\sqrt{2}×1× y=6\sqrt{6}$，解得$y=\frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{\frac{6}{2}}=2\sqrt{3}$。
第四步：计算两个空格的乘积：
$x× y=\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2\sqrt{18}=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算；实数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是先找到已知完整行列的乘积作为公共值，再结合二次根式的乘除法则求解未知量，计算过程中要注意二次根式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
