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17.已知实数 $ n $ 满足等式 $ m = \sqrt{9 + 18n} $.
(1)当 $ m = 6 $ 时，求 $ n $ 的值；
(2)若 $ m, n $ 都是正整数，求 $ n $ 的最小值.
(1)当 $ m = 6 $ 时，求 $ n $ 的值；
(2)若 $ m, n $ 都是正整数，求 $ n $ 的最小值.
答案
17.(1)因为等式$m=\sqrt{9+18n}$,$m=6$,可得$9+18n=36$,解得$n=1.5$
(2)因为实数$n$满足等式$m=\sqrt{9+18n}=\sqrt{9(1+2n)}$,$m$,$n$都是正整数,所以$m≥81$,$n$最小时,$m$最小,可得$9(1+2n)=81$,解得$n=4$
(2)因为实数$n$满足等式$m=\sqrt{9+18n}=\sqrt{9(1+2n)}$,$m$,$n$都是正整数,所以$m≥81$,$n$最小时,$m$最小,可得$9(1+2n)=81$,解得$n=4$
解析
【分析】
(1) 第一问是基础代入求值问题，解题时先把已知的m值代入二次根式等式，利用算术平方根的性质，对等式两边同时平方去掉根号，将原式转化为关于n的一元一次方程，按解方程的步骤计算即可得到n的值。
(2) 第二问需要结合正整数的限制条件求解，首先利用二次根式的性质化简原式，把根号内的完全平方因数提前开方，得到$m=3\sqrt{1+2n}$，因为m是正整数，所以$\sqrt{1+2n}$必须为正整数，也就是$1+2n$是正的完全平方数；再结合n是正整数的要求，找到满足条件的最小完全平方数，代入计算就能得到n的最小值。
【解析】
(1) 将$m=6$代入等式$m = \sqrt{9 + 18n}$，可得：
$6 = \sqrt{9 + 18n}$
等式两边同时平方，得：
$36 = 9 + 18n$
移项计算得：
$18n = 36 - 9 = 27$
解得$n = \frac{27}{18} = 1.5$。
(2) 先化简原式：
$m = \sqrt{9 + 18n} = \sqrt{9(1 + 2n)} = 3\sqrt{1 + 2n}$
∵m、n都是正整数，
∴$\sqrt{1 + 2n}$必须是正整数，即$1+2n$是正的完全平方数；又因为$2n$是偶数，所以$1+2n$是奇数，对应完全平方数为奇数的平方。
当$\sqrt{1 + 2n}=1$时，$1+2n=1$，解得$n=0$，不是正整数，不符合要求；
当$\sqrt{1 + 2n}=3$时，$1+2n=9$，解得$n=\frac{9-1}{2}=4$，是正整数，符合要求。
因此n的最小值为4。
【答案】
(1) $n=1.5$；(2) $n$的最小值为$4$
【知识点】
二次根式的化简，算术平方根的性质，完全平方数特征
【点评】
本题围绕二次根式的核心性质出题，第一问侧重基础运算能力考察，属于基础题型；第二问需要结合整数限制分析完全平方数的取值，同时考察逻辑推理能力，是二次根式章节的典型综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是基础代入求值问题，解题时先把已知的m值代入二次根式等式，利用算术平方根的性质，对等式两边同时平方去掉根号，将原式转化为关于n的一元一次方程，按解方程的步骤计算即可得到n的值。
(2) 第二问需要结合正整数的限制条件求解，首先利用二次根式的性质化简原式，把根号内的完全平方因数提前开方，得到$m=3\sqrt{1+2n}$，因为m是正整数，所以$\sqrt{1+2n}$必须为正整数，也就是$1+2n$是正的完全平方数；再结合n是正整数的要求，找到满足条件的最小完全平方数，代入计算就能得到n的最小值。
【解析】
(1) 将$m=6$代入等式$m = \sqrt{9 + 18n}$，可得：
$6 = \sqrt{9 + 18n}$
等式两边同时平方，得：
$36 = 9 + 18n$
移项计算得：
$18n = 36 - 9 = 27$
解得$n = \frac{27}{18} = 1.5$。
(2) 先化简原式：
$m = \sqrt{9 + 18n} = \sqrt{9(1 + 2n)} = 3\sqrt{1 + 2n}$
∵m、n都是正整数，
∴$\sqrt{1 + 2n}$必须是正整数，即$1+2n$是正的完全平方数；又因为$2n$是偶数，所以$1+2n$是奇数，对应完全平方数为奇数的平方。
当$\sqrt{1 + 2n}=1$时，$1+2n=1$，解得$n=0$，不是正整数，不符合要求；
当$\sqrt{1 + 2n}=3$时，$1+2n=9$，解得$n=\frac{9-1}{2}=4$，是正整数，符合要求。
因此n的最小值为4。
【答案】
(1) $n=1.5$；(2) $n$的最小值为$4$
【知识点】
二次根式的化简，算术平方根的性质，完全平方数特征
【点评】
本题围绕二次根式的核心性质出题，第一问侧重基础运算能力考察，属于基础题型；第二问需要结合整数限制分析完全平方数的取值，同时考察逻辑推理能力，是二次根式章节的典型综合题。
【难度系数】
0.7
18.小明在学习中遇到这样一道题：“已知实数$ x $满足$|2025 - x| + \sqrt{x - 2026} = x$，求$ x - 2025^2 $的值.”他说这题错了，这种题等号右边一定要是0才能求出，这里不是，所以解不了.他说的对吗？如果不对，请求出$ x - 2025^2 $的值.
答案
18.不对.$\because x-2\ 026≥0$,$\therefore x≥2\ 026＞2\ 025$.$\therefore |2\ 025-x|+\sqrt{x-2\ 026}=x-2\ 025+\sqrt{x-2\ 026}=x$.$\therefore \sqrt{x-2\ 026}=2\ 025$.$\therefore x-2\ 026=2\ 025^2$.$\therefore x-2\ 025^2=2\ 026$
解析
【分析】
要判断小明的说法是否正确，首先找到题目中的隐含条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此先确定x的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简等式后即可求出目标式的值，不需要等号右边为0也能求解。
【解析】
小明的说法不对，解题过程如下：
1. 确定x的取值范围：
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得$x-2026≥0$，即$x≥2026$。
2. 化简绝对值：
因为$x≥2026＞2025$，所以$2025-x＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|2025-x|=x-2025$。
3. 代入原式化简：
将$|2025-x|=x-2025$代入原等式，得：
$x-2025+\sqrt{x-2026}=x$
两边同时减去x，得：
$\sqrt{x-2026}=2025$
4. 求目标式的值：
将上式两边同时平方，得：
$x-2026=2025^2$
移项可得：$x-2025^2=2026$
【答案】
不对，$x - 2025^2$的值为2026。
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；二次根式的化简
【点评】
本题的解题关键是挖掘二次根式存在的隐含条件，先确定未知数的取值范围，再去绝对值化简，不能忽略隐含条件直接对等式进行变形，这类题是二次根式性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断小明的说法是否正确，首先找到题目中的隐含条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此先确定x的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简等式后即可求出目标式的值，不需要等号右边为0也能求解。
【解析】
小明的说法不对，解题过程如下：
1. 确定x的取值范围：
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得$x-2026≥0$，即$x≥2026$。
2. 化简绝对值：
因为$x≥2026＞2025$，所以$2025-x＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|2025-x|=x-2025$。
3. 代入原式化简：
将$|2025-x|=x-2025$代入原等式，得：
$x-2025+\sqrt{x-2026}=x$
两边同时减去x，得：
$\sqrt{x-2026}=2025$
4. 求目标式的值：
将上式两边同时平方，得：
$x-2026=2025^2$
移项可得：$x-2025^2=2026$
【答案】
不对，$x - 2025^2$的值为2026。
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；二次根式的化简
【点评】
本题的解题关键是挖掘二次根式存在的隐含条件，先确定未知数的取值范围，再去绝对值化简，不能忽略隐含条件直接对等式进行变形，这类题是二次根式性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
19.若 $ b = \sqrt{ab - 10} + \sqrt{10 - ab} + 10 $。
(1)求 $ ab $ 及 $ a + b $ 的值；
(2)若 $ a,b $ 满足 $ x^2 - \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 1 $，试求 $ x $ 的值。
(1)求 $ ab $ 及 $ a + b $ 的值；
(2)若 $ a,b $ 满足 $ x^2 - \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 1 $，试求 $ x $ 的值。
答案
19.(1)由已知可得$ab-10≥0$,$10-ab≥0$,解得$ab=10$,$\therefore b=0+0+10$,$a=1$,$\therefore a+b=11$
(2)$\because a,b$满足$x^2-\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$,$\therefore x^2=\frac{b^2+a^2+ab}{ab}$,$\therefore x^2=\frac{(a+b)^2-ab}{ab}=\frac{121-10}{10}=\frac{111}{10}$,$\therefore x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
(2)$\because a,b$满足$x^2-\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$,$\therefore x^2=\frac{b^2+a^2+ab}{ab}$,$\therefore x^2=\frac{(a+b)^2-ab}{ab}=\frac{121-10}{10}=\frac{111}{10}$,$\therefore x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
解析
【分析】
第(1)问解题关键是利用二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。题中两个根号下的式子$ab-10$和$10-ab$互为相反数，要同时满足非负，只能都等于0，由此先求出$ab$的值，再代入原式求出$b$、$a$的值，最后计算$a+b$。第(2)问先对含$a$、$b$的分式通分化简，再利用完全平方公式的变形将分式转化为用$ab$和$a+b$表示的形式，代入第(1)问的结果求出$x^2$，最后开平方得到$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 根据二次根式被开方数非负的性质，可得：
$\begin{cases} ab - 10 ≥ 0 \\ 10 - ab ≥ 0 \end{cases}$
两个不等式同时成立，因此$ab-10=0$，即$ab=10$。
将$ab=10$代入原式，得$b=\sqrt{0}+\sqrt{0}+10=10$。
结合$ab=10$，得$a=10÷10=1$，因此$a+b=1+10=11$。
(2) 对$x^2 - \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 1$移项得：
$x^2 = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}$
将右边通分，结合完全平方公式变形：
$x^2 = \frac{ab + a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - ab}{ab}$
把$ab=10$，$a+b=11$代入上式：
$x^2 = \frac{121 - 10}{10} = \frac{111}{10}$
两边开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
【答案】
(1)$ab=10$，$a+b=11$；(2)$x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，平方根运算
【点评】
本题核心考点是二次根式的隐含性质，需要学生熟练掌握代数式通分、完全平方公式的变形应用，解题时要注意开平方时正负根都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题关键是利用二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。题中两个根号下的式子$ab-10$和$10-ab$互为相反数，要同时满足非负，只能都等于0，由此先求出$ab$的值，再代入原式求出$b$、$a$的值，最后计算$a+b$。第(2)问先对含$a$、$b$的分式通分化简，再利用完全平方公式的变形将分式转化为用$ab$和$a+b$表示的形式，代入第(1)问的结果求出$x^2$，最后开平方得到$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 根据二次根式被开方数非负的性质，可得：
$\begin{cases} ab - 10 ≥ 0 \\ 10 - ab ≥ 0 \end{cases}$
两个不等式同时成立，因此$ab-10=0$，即$ab=10$。
将$ab=10$代入原式，得$b=\sqrt{0}+\sqrt{0}+10=10$。
结合$ab=10$，得$a=10÷10=1$，因此$a+b=1+10=11$。
(2) 对$x^2 - \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = 1$移项得：
$x^2 = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}$
将右边通分，结合完全平方公式变形：
$x^2 = \frac{ab + a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - ab}{ab}$
把$ab=10$，$a+b=11$代入上式：
$x^2 = \frac{121 - 10}{10} = \frac{111}{10}$
两边开平方得$x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
【答案】
(1)$ab=10$，$a+b=11$；(2)$x=\pm\sqrt{\frac{111}{10}}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，平方根运算
【点评】
本题核心考点是二次根式的隐含性质，需要学生熟练掌握代数式通分、完全平方公式的变形应用，解题时要注意开平方时正负根都要考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.7
20.计算$\sqrt{3^2}$，$\sqrt{0.5^2}$，$\sqrt{(-6)^2}$，$\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2}$，$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}$，$\sqrt{0^2}$，根据计算结果，回答：
(1)$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算：
①若$x＜2$，则$\sqrt{(x-2)^2}=$______；②$\sqrt{(3.14-π)^2}=$______.
(3)若$a$，$b$，$c$为三角形的三边，化简$\sqrt{(a+b-c)^2}+\sqrt{(b-c-a)^2}+\sqrt{(b+c-a)^2}$.
(1)$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算：
①若$x＜2$，则$\sqrt{(x-2)^2}=$______；②$\sqrt{(3.14-π)^2}=$______.
(3)若$a$，$b$，$c$为三角形的三边，化简$\sqrt{(a+b-c)^2}+\sqrt{(b-c-a)^2}+\sqrt{(b+c-a)^2}$.
答案
20.$\sqrt{3^2}=3$,$\sqrt{0.5^2}=0.5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}=\frac{3}{4}$,$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$,$\sqrt{0^2}=0$
(1)$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$.当$a≥0$时,$\sqrt{a^2}=a$;当$a＜0$时,$\sqrt{a^2}=-a$
(2)①$2-x$;②$π-3.14$
(3)$\because a,b,c$为三角形的三边,$\therefore a+b＞c$,$a+c＞b$,$b+c＞a$,$\therefore$原式$=a+b-c+(c+a-b)+b+c-a=a+b+c$
(1)$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$.当$a≥0$时,$\sqrt{a^2}=a$;当$a＜0$时,$\sqrt{a^2}=-a$
(2)①$2-x$;②$π-3.14$
(3)$\because a,b,c$为三角形的三边,$\therefore a+b＞c$,$a+c＞b$,$b+c＞a$,$\therefore$原式$=a+b-c+(c+a-b)+b+c-a=a+b+c$
解析
【分析】
首先先计算题干给出的6个二次根式的结果，观察结果与被开方数底数的关系，归纳得出$\sqrt{a^2}$的化简规律：二次根式的结果是非负数，因此$\sqrt{a^2}$的化简结果等于$a$的绝对值，需根据$a$的正负性判断最终结果。解决(1)问时直接结合计算结果总结规律即可；解决(2)问时先判断根号内式子的正负，再套用总结的规律化简；解决(3)问时先利用三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别判断三个根号内式子的正负，再依次化简后合并同类项即可。
【解析】
先计算给出的二次根式：
$\sqrt{3^2}=3$，$\sqrt{0.5^2}=0.5$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$，$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{0^2}=0$
(1) 观察计算结果可知，当底数为非负数时，$\sqrt{a^2}$等于底数本身，当底数为负数时，$\sqrt{a^2}$等于底数的相反数，因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$。
规律：$\sqrt{a^2}=|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
(2) ① 已知$x＜2$，则$x-2＜0$，因此$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=2-x$；
② 因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，因此$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$。
(3) 根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，因此：
$a+b-c＞0$，$b-c-a=b-(c+a)＜0$，$b+c-a＞0$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|\\&=(a+b-c) + [-(b-c-a)] + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a+b+c\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3^2}=3$,$\sqrt{0.5^2}=0.5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}=\frac{3}{4}$,$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$,$\sqrt{0^2}=0$
(1)$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$.当$a≥0$时,$\sqrt{a^2}=a$;当$a＜0$时,$\sqrt{a^2}=-a$
(2)①$2-x$;②$π-3.14$
(3)$a+b+c$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质的探究与应用类题目，先通过具体计算归纳出$\sqrt{a^2}$的化简规律，再结合不等式性质、三角形三边关系判断被开方数的正负，进而完成化简，侧重考查规律探究能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先先计算题干给出的6个二次根式的结果，观察结果与被开方数底数的关系，归纳得出$\sqrt{a^2}$的化简规律：二次根式的结果是非负数，因此$\sqrt{a^2}$的化简结果等于$a$的绝对值，需根据$a$的正负性判断最终结果。解决(1)问时直接结合计算结果总结规律即可；解决(2)问时先判断根号内式子的正负，再套用总结的规律化简；解决(3)问时先利用三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别判断三个根号内式子的正负，再依次化简后合并同类项即可。
【解析】
先计算给出的二次根式：
$\sqrt{3^2}=3$，$\sqrt{0.5^2}=0.5$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-\dfrac{3}{4})^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$，$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{0^2}=0$
(1) 观察计算结果可知，当底数为非负数时，$\sqrt{a^2}$等于底数本身，当底数为负数时，$\sqrt{a^2}$等于底数的相反数，因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$。
规律：$\sqrt{a^2}=|a|$，即当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$。
(2) ① 已知$x＜2$，则$x-2＜0$，因此$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|=2-x$；
② 因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，因此$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$。
(3) 根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，因此：
$a+b-c＞0$，$b-c-a=b-(c+a)＜0$，$b+c-a＞0$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|\\&=(a+b-c) + [-(b-c-a)] + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a+b+c\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3^2}=3$,$\sqrt{0.5^2}=0.5$,$\sqrt{(-6)^2}=6$,$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}=\frac{3}{4}$,$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$,$\sqrt{0^2}=0$
(1)$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$.当$a≥0$时,$\sqrt{a^2}=a$;当$a＜0$时,$\sqrt{a^2}=-a$
(2)①$2-x$;②$π-3.14$
(3)$a+b+c$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质的探究与应用类题目，先通过具体计算归纳出$\sqrt{a^2}$的化简规律，再结合不等式性质、三角形三边关系判断被开方数的正负，进而完成化简，侧重考查规律探究能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
