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12.若等腰三角形两边的长分别是$2\sqrt{3},3\sqrt{2}$，则这个三角形的周长是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12.$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目没有明确给出哪条边是腰、哪条边是底，因此需要分两种情况讨论：①腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$；②腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。其次，需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，若可以构成则将三边长度相加，最后合并同类二次根式得到周长结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为$2\sqrt{3}$时，三角形三边长为$2\sqrt{3}$、$2\sqrt{3}$、$3\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，满足构成三角形的条件。
此时周长为：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
② 当腰长为$3\sqrt{2}$时，三角形三边长为$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，满足构成三角形的条件。
此时周长为：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
综上，该三角形的周长为$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$或$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；二次根式的加减
【点评】
本题易错点是漏分类讨论腰和底的情况，解题时要牢记涉及等腰三角形边长的问题需先分类，再验证三边是否满足构成三角形的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目没有明确给出哪条边是腰、哪条边是底，因此需要分两种情况讨论：①腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$；②腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$。其次，需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，若可以构成则将三边长度相加，最后合并同类二次根式得到周长结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为$2\sqrt{3}$时，三角形三边长为$2\sqrt{3}$、$2\sqrt{3}$、$3\sqrt{2}$。
验证三边关系：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，满足构成三角形的条件。
此时周长为：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
② 当腰长为$3\sqrt{2}$时，三角形三边长为$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{3}$。
验证三边关系：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，满足构成三角形的条件。
此时周长为：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
综上，该三角形的周长为$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$或$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；二次根式的加减
【点评】
本题易错点是漏分类讨论腰和底的情况，解题时要牢记涉及等腰三角形边长的问题需先分类，再验证三边是否满足构成三角形的条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13.计算:
(1)$9\sqrt{3} + 5\sqrt{12} - 3\sqrt{48}$；
(2)$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}$；
(3)$2\sqrt{12} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{50} × 2\sqrt{\frac{3}{4}}$；
(4)$(2\sqrt{6} + 5)^{100}(2\sqrt{6} - 5)^{100} - (\sqrt{2} - 1)^2$。
13.计算:
(1)$9\sqrt{3} + 5\sqrt{12} - 3\sqrt{48}$；
(2)$3\sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{27}$；
(3)$2\sqrt{12} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{50} × 2\sqrt{\frac{3}{4}}$；
(4)$(2\sqrt{6} + 5)^{100}(2\sqrt{6} - 5)^{100} - (\sqrt{2} - 1)^2$。
答案
13.(1)$7\sqrt{3}$
(2)$-\sqrt{2}$
(3)$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
(4)$2\sqrt{2}-2$
(2)$-\sqrt{2}$
(3)$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
(4)$2\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
这是一组二次根式的运算题，解题思路如下：1. 二次根式的加减运算，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；2. 二次根式的乘除混合运算，可将系数和被开方数分别进行乘除运算，最后将结果化为最简；3. 包含高次幂和特殊结构的运算，先观察式子特点，逆用积的乘方性质，结合平方差、完全平方公式简化计算，能大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先化简非最简二次根式：
$5\sqrt{12}=5×2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
代入原式计算：
$9\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 12\sqrt{3}=(9+10-12)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
(2) 先化简非最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-3\sqrt{3})+(-2\sqrt{2}+\sqrt{2})=-\sqrt{2}$
(3) 按二次根式乘除运算法则，系数、被开方数分别运算：
原式$=(2÷\frac{1}{2}×2)×\sqrt{12÷50×\frac{3}{4}}$
计算系数：$2÷\frac{1}{2}×2=8$
计算被开方数：$\sqrt{12×\frac{1}{50}×\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{50}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$
合并结果后分母有理化：$8×\frac{3}{5\sqrt{2}}=\frac{24}{5\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{5×2}=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
(4) 逆用积的乘方公式和乘法公式简化计算：
第一部分逆用$a^n b^n=(ab)^n$：$(2\sqrt{6} + 5)^{100}(2\sqrt{6} - 5)^{100}=[(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)]^{100}$
用平方差公式计算括号内：$(2\sqrt{6})^2 - 5^2=24-25=-1$，因此第一部分$=(-1)^{100}=1$
第二部分用完全平方公式展开：$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2=3-2\sqrt{2}$
代入原式计算：$1 - (3-2\sqrt{2})=1-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2$
【答案】
(1)$7\sqrt{3}$；(2)$-\sqrt{2}$；(3)$\frac{12\sqrt{2}}{5}$；(4)$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
最简二次根式，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本组题目属于二次根式运算的常规题型，解题核心是先把所有二次根式化为最简形式，再按运算顺序计算，遇到结构特殊的式子优先考虑用运算律或乘法公式简化计算，注意计算过程中符号的处理，避免失误。
【难度系数】
0.7
这是一组二次根式的运算题，解题思路如下：1. 二次根式的加减运算，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；2. 二次根式的乘除混合运算，可将系数和被开方数分别进行乘除运算，最后将结果化为最简；3. 包含高次幂和特殊结构的运算，先观察式子特点，逆用积的乘方性质，结合平方差、完全平方公式简化计算，能大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先化简非最简二次根式：
$5\sqrt{12}=5×2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
代入原式计算：
$9\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 12\sqrt{3}=(9+10-12)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
(2) 先化简非最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-3\sqrt{3})+(-2\sqrt{2}+\sqrt{2})=-\sqrt{2}$
(3) 按二次根式乘除运算法则，系数、被开方数分别运算：
原式$=(2÷\frac{1}{2}×2)×\sqrt{12÷50×\frac{3}{4}}$
计算系数：$2÷\frac{1}{2}×2=8$
计算被开方数：$\sqrt{12×\frac{1}{50}×\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{50}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$
合并结果后分母有理化：$8×\frac{3}{5\sqrt{2}}=\frac{24}{5\sqrt{2}}=\frac{24\sqrt{2}}{5×2}=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
(4) 逆用积的乘方公式和乘法公式简化计算：
第一部分逆用$a^n b^n=(ab)^n$：$(2\sqrt{6} + 5)^{100}(2\sqrt{6} - 5)^{100}=[(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)]^{100}$
用平方差公式计算括号内：$(2\sqrt{6})^2 - 5^2=24-25=-1$，因此第一部分$=(-1)^{100}=1$
第二部分用完全平方公式展开：$(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2=3-2\sqrt{2}$
代入原式计算：$1 - (3-2\sqrt{2})=1-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2$
【答案】
(1)$7\sqrt{3}$；(2)$-\sqrt{2}$；(3)$\frac{12\sqrt{2}}{5}$；(4)$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
最简二次根式，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本组题目属于二次根式运算的常规题型，解题核心是先把所有二次根式化为最简形式，再按运算顺序计算，遇到结构特殊的式子优先考虑用运算律或乘法公式简化计算，注意计算过程中符号的处理，避免失误。
【难度系数】
0.7
14.先化简,再求值:$(1+\dfrac{1}{a-1})÷(a-\dfrac{a}{a-1})$,其中$a=\sqrt{2}+2$.
答案
14.$原式=\frac{a-1+1}{a-1} ÷ \frac{a(a-1)-a}{a-1} = \frac{a}{a-1} ÷ \frac{a(a-2)}{a-1} = \frac{a}{a-1} · \frac{a-1}{a(a-2)} = \frac{1}{a-2}$.当 $a=\sqrt{2}+2$ 时，原式$=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题可按三步进行：第一步计算括号内的异分母分式加减，先通分为分母是$a-1$的同分母分式，再计算分子的加减运算；第二步将分式除法转化为乘法，约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步将$a$的取值代入最简分式，对结果做分母有理化得到最终答案。计算时要注意通分不要漏乘，约分要确认公因式不为0。
【解析】
化简原式：
先对括号内的分式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-1)+1}{a-1} ÷ \frac{a(a-1)-a}{a-1} \\&=\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a^2 -a -a}{a-1} \\&=\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a(a-2)}{a-1} \\\end{aligned}$
将除法转化为乘法，乘以除数的倒数：
$\begin{aligned}&=\frac{a}{a-1} · \frac{a-1}{a(a-2)} \\&=\frac{1}{a-2}\end{aligned}$
代入$a=\sqrt{2}+2$计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sqrt{2}+2-2} \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，化简求值，二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，主要考察分式的通分、约分规则和二次根式的分母有理化方法，解题时优先化简再代入求值，能有效降低计算量，避免出错，计算过程中要注意运算顺序和符号处理。
【难度系数】
0.75
本题是分式化简求值类题目，解题可按三步进行：第一步计算括号内的异分母分式加减，先通分为分母是$a-1$的同分母分式，再计算分子的加减运算；第二步将分式除法转化为乘法，约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步将$a$的取值代入最简分式，对结果做分母有理化得到最终答案。计算时要注意通分不要漏乘，约分要确认公因式不为0。
【解析】
化简原式：
先对括号内的分式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a-1)+1}{a-1} ÷ \frac{a(a-1)-a}{a-1} \\&=\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a^2 -a -a}{a-1} \\&=\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a(a-2)}{a-1} \\\end{aligned}$
将除法转化为乘法，乘以除数的倒数：
$\begin{aligned}&=\frac{a}{a-1} · \frac{a-1}{a(a-2)} \\&=\frac{1}{a-2}\end{aligned}$
代入$a=\sqrt{2}+2$计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{\sqrt{2}+2-2} \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，化简求值，二次根式化简
【点评】
本题是基础运算题，主要考察分式的通分、约分规则和二次根式的分母有理化方法，解题时优先化简再代入求值，能有效降低计算量，避免出错，计算过程中要注意运算顺序和符号处理。
【难度系数】
0.75
15.已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，求下列各式的值：
(1)$x^2+y^2$；
(2)$x^2-y^2$；
(3)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$.
(1)$x^2+y^2$；
(2)$x^2-y^2$；
(3)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$.
答案
15.$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，
$\therefore x+y=\sqrt{7} ,x-y=\sqrt{5} ,xy=\frac{1}{2}$.
(1)$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-2×\frac{1}{2}=6$
(2)$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
$\therefore x+y=\sqrt{7} ,x-y=\sqrt{5} ,xy=\frac{1}{2}$.
(1)$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-2×\frac{1}{2}=6$
(2)$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
解析
【分析】
观察x和y的表达式，发现二者为共轭二次根式，直接代入求值计算量较大。因此可以先计算出x+y、x-y、xy的整体值，再将所求代数式利用乘法公式、分式性质变形为含上述整体的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算。
【解析】
已知$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，先计算三个整体的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})-\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{5}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})×\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
(1) 利用完全平方公式变形：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-2×\frac{1}{2}=7-1=6$
(2) 利用平方差公式变形：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3) 先通分化简：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}$，代入已得$x^2+y^2=6$，$xy=\frac{1}{2}$，则原式$=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{35}$；(3)$12$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 乘法公式应用
3. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查整体代入思想的应用，通过乘法公式对所求代数式变形，避免了直接代入计算的繁琐，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的变形形式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
观察x和y的表达式，发现二者为共轭二次根式，直接代入求值计算量较大。因此可以先计算出x+y、x-y、xy的整体值，再将所求代数式利用乘法公式、分式性质变形为含上述整体的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算。
【解析】
已知$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，先计算三个整体的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{7}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})-\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\sqrt{5}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})×\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$
(1) 利用完全平方公式变形：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(\sqrt{7})^2-2×\frac{1}{2}=7-1=6$
(2) 利用平方差公式变形：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\sqrt{7}×\sqrt{5}=\sqrt{35}$
(3) 先通分化简：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}$，代入已得$x^2+y^2=6$，$xy=\frac{1}{2}$，则原式$=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$
【答案】
(1)$6$；(2)$\sqrt{35}$；(3)$12$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 乘法公式应用
3. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查整体代入思想的应用，通过乘法公式对所求代数式变形，避免了直接代入计算的繁琐，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的变形形式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
