16.已知最简二次根式$\sqrt[{2a-b}]{3a+b-1}$与二次根式$\sqrt{28}$可合并.
(1)求实数$a$，$b$的值；
(2)求这两个二次根式的和、差、积、商.

16.(1)$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，根据题意得$\begin{cases}2a-b=2,\\3a+b-1=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 实数 $a,b$ 的值分别为 2,2
(2)把 $a=2,b=2$ 代入 $\sqrt[2a-b]{3a+b-1}$ 得$\sqrt{7}$，$\therefore \sqrt{7}+\sqrt{28}=\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}$；$\sqrt{7}-\sqrt{28}=\sqrt{7}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}$(或$2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$)；$\sqrt{7}×\sqrt{28}=\sqrt{7}×2\sqrt{7}=14$；$\sqrt{7}÷\sqrt{28}=\sqrt{7}÷2\sqrt{7}=\frac{1}{2}$(或$2\sqrt{7}÷\sqrt{7}=2$)

【分析】
(1) 解题先明确两个核心依据：一是二次根式的根指数为2，二是可以合并的最简二次根式属于同类二次根式，最简形式下被开方数相同。首先将$\sqrt{28}$化简为最简二次根式$2\sqrt{7}$，再根据上述两个依据列关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
(2) 先将求得的a、b代入已知的最简二次根式，得到具体的根式，再根据二次根式加、减、乘、除的运算法则分别计算对应结果即可，注意差和商未指明运算顺序时，两种情况都要考虑。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，
因为最简二次根式$\sqrt[{2a-b}]{3a+b-1}$与$\sqrt{28}$可合并，二者为同类二次根式，因此满足：
根指数为2：$2a-b=2$，
最简形式下被开方数相等：$3a+b-1=7$，
联立得方程组$\begin{cases}2a-b=2\\3a+b-1=7\end{cases}$，
两式相加消去b得：$5a-1=9$，解得$a=2$，
将$a=2$代入$2a-b=2$，得$4-b=2$，解得$b=2$。
(2) 将$a=2,b=2$代入$\sqrt[{2a-b}]{3a+b-1}$，得$\sqrt{3×2+2-1}=\sqrt{7}$，
分别计算运算结果：
和：$\sqrt{7}+\sqrt{28}=\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}$；
差：$\sqrt{7}-\sqrt{28}=\sqrt{7}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}$，若调换顺序则$\sqrt{28}-\sqrt{7}=2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$；
积：$\sqrt{7}×\sqrt{28}=\sqrt{7}×2\sqrt{7}=2×(\sqrt{7})^2=14$；
商：$\sqrt{7}÷\sqrt{28}=\sqrt{7}÷2\sqrt{7}=\frac{1}{2}$，若调换顺序则$\sqrt{28}÷\sqrt{7}=2\sqrt{7}÷\sqrt{7}=2$。
【答案】
(1)$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，根据题意得$\begin{cases}2a-b=2,\\3a+b-1=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 实数 $a,b$ 的值分别为 2,2
(2)把 $a=2,b=2$ 代入 $\sqrt[2a-b]{3a+b-1}$ 得$\sqrt{7}$，$\therefore \sqrt{7}+\sqrt{28}=\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}$；$\sqrt{7}-\sqrt{28}=\sqrt{7}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}$(或$2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$)；$\sqrt{7}×\sqrt{28}=\sqrt{7}×2\sqrt{7}=14$；$\sqrt{7}÷\sqrt{28}=\sqrt{7}÷2\sqrt{7}=\frac{1}{2}$(或$2\sqrt{7}÷\sqrt{7}=2$)
【知识点】
同类二次根式，二次根式运算，二元一次方程组解法
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定与二次根式的四则运算，解题关键是掌握可合并二次根式的特征：根指数相同、最简形式下被开方数相同，先求参数再计算运算结果，注意未指明顺序时差和商有两种情况。
【难度系数】
0.7

17.如图,已知等腰三角形 ABC 中,$AB=AC$,D 是 BC 边上的一点,$DE ⊥ AB,DF ⊥ AC$,点E,F 分别为垂足.$DE+DF=2\sqrt{2}$,$△ ABC$ 的面积为 $3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$,求 AB 的长.

17.连接 $AD$，$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AB · DE + \frac{1}{2}AC · DF = \frac{1}{2}AB(DE+DF)$，
$\because DE+DF=2\sqrt{2} ,\therefore \frac{1}{2}AB × 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
$\therefore AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{3}$

【分析】
本题可通过分割三角形面积建立等量关系求解：首先观察到DE、DF分别是点D到AB、AC的垂线段，考虑连接AD，将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和；再结合等腰三角形AB=AC的性质，可将两个小三角形的面积公式合并，代入已知的DE+DF与△ABC的面积，即可建立关于AB的方程，解方程求出AB的长。
【解析】
连接AD，
根据面积的和差关系可得：$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
由三角形面积公式得：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
$\because AB=AC$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF = \frac{1}{2}AB(DE+DF)$，
已知$DE+DF=2\sqrt{2}$，$S_{△ABC}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，代入得：
$\frac{1}{2}AB × 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
化简得：$\sqrt{2}·AB = 3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
解得：$AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{3}$。
【答案】
$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形面积计算、二次根式的运算
【点评】
本题将三角形面积计算与二次根式运算结合考查，解题的关键是合理添加辅助线，利用分割法表示出大三角形的面积，结合等腰三角形的性质简化式子，再通过二次根式的化简计算得到结果，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6

18.观察下列式子及其验证过程：
$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$.验证:$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^3}{3}}=\sqrt{\frac{(2^3 - 2)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{\frac{2(2^2 - 1)+2}{2^2 - 1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$.
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思路,猜想$3\sqrt{\frac{3}{8}}$的变形结果并进行验证；
(2)根据上面的规律,写出用$n(n≥2$且$n$为整数$)$表示的等式,并证明.

18.(1)猜想：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{(3^3-3)+3}{3^2-1}}=\sqrt{\frac{3(3^2-1)+3}{3^2-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$
(2) $n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$($n≥2$ 且 $n$ 为整数).证明：$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}} = \sqrt{\frac{(n^3-n)+n}{n^2-1}} = \sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}} = \sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$

【分析】
本题是二次根式相关的规律探究题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先观察给出的示例变形逻辑：将根号外的正整数平方后移入根号内，再把分子拆成“该整数的立方减该整数，再加该整数”的形式，对分子因式分解后拆分分式，即可得到“根号下整数加对应分数”的形式，按照这个思路猜想$3\sqrt{\frac{3}{8}}$的变形结果，再仿照示例步骤验证即可。
2. 解决第(2)问时，结合2、3的特例归纳通用规律：根号外的整数为$n$时，根号内的分子也为$n$，分母为$n^2-1$，对应右边为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$，证明时同样按照示例的变形步骤，利用二次根式的性质变形、拆分推导即可。
【解析】
(1) 猜想：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$
验证：
根据二次根式的性质，将根号外的3移入根号内：
$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3^2×\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}$
结合分母$8=3^2-1$拆分分子：
$\sqrt{\frac{(3^3 - 3)+3}{3^2 - 1}}=\sqrt{\frac{3(3^2 - 1)+3}{3^2 - 1}}$
拆分分式得：
$\sqrt{3 + \frac{3}{3^2 - 1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，验证成立。
(2) 通用等式：$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$且$n$为整数）
证明：
左边$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n^2 · \frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}$
拆分分子并因式分解：
$\sqrt{\frac{(n^3 - n)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}$
拆分分式得：
$\sqrt{n + \frac{n}{n^2-1}}$ = 右边，等式成立。
【答案】
(1)猜想：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{(3^3-3)+3}{3^2-1}}=\sqrt{\frac{3(3^2-1)+3}{3^2-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$
(2) $n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$($n≥2$ 且 $n$ 为整数)，证明：$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}} = \sqrt{\frac{(n^3-n)+n}{n^2-1}} = \sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}} = \sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$
【知识点】
二次根式化简，规律归纳探究，分式运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，要求学生从给定的特殊示例中总结变形逻辑，再迁移到同类特殊值和一般情况，既考察了二次根式性质的灵活运用，也锻炼了归纳推理和类比迁移的能力。
【难度系数】
0.7