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1 从一组数据中取出$a$个$x_1$，$b$个$x_2$，$c$个$x_3$，组成一个样本，那么这个样本的平均数是（
A.$\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
B.$\dfrac{a + b + c}{3}$
C.$\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{3}$
D.$\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}$
D
）。A.$\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
B.$\dfrac{a + b + c}{3}$
C.$\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{3}$
D.$\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}$
答案
1 D
解析
【分析】
要计算该样本的平均数，核心逻辑是：平均数=所有数据的总和÷数据的总个数，本题属于加权平均数计算场景，a、b、c分别是$x_1$、$x_2$、$x_3$的权。首先先计算所有样本数据的总和，再计算样本的总个数，最后用总和除以总个数即可得到平均数，对应选项判断即可。
【解析】
解：第一步：计算样本数据总和
a个$x_1$的和为$ax_1$，b个$x_2$的和为$bx_2$，c个$x_3$的和为$cx_3$，因此所有数据的总和为$ax_1 + bx_2 + cx_3$。
第二步：计算样本总个数
样本中共有$a+b+c$个数据。
第三步：代入平均数公式计算
样本平均数 = 数据总和÷总个数 = $\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}$，与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算，样本平均数
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，解题关键是牢记平均数的本质是总数量除以总份数，注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，避免直接对三个数据求平均的错误。
【难度系数】
0.9
要计算该样本的平均数，核心逻辑是：平均数=所有数据的总和÷数据的总个数，本题属于加权平均数计算场景，a、b、c分别是$x_1$、$x_2$、$x_3$的权。首先先计算所有样本数据的总和，再计算样本的总个数，最后用总和除以总个数即可得到平均数，对应选项判断即可。
【解析】
解：第一步：计算样本数据总和
a个$x_1$的和为$ax_1$，b个$x_2$的和为$bx_2$，c个$x_3$的和为$cx_3$，因此所有数据的总和为$ax_1 + bx_2 + cx_3$。
第二步：计算样本总个数
样本中共有$a+b+c$个数据。
第三步：代入平均数公式计算
样本平均数 = 数据总和÷总个数 = $\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}$，与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算，样本平均数
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，解题关键是牢记平均数的本质是总数量除以总份数，注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，避免直接对三个数据求平均的错误。
【难度系数】
0.9
2 如图是根据某地10天中的每天最高气温绘成的折线图。由图可知这段时间内最高气温和平均气温依次是(
A.$5°\mathrm{C}$，$4°\mathrm{C}$
B.$5°\mathrm{C}$，$4.5°\mathrm{C}$
C.$6°\mathrm{C}$，$4°\mathrm{C}$
D.$6°\mathrm{C}$，$4.5°\mathrm{C}$
C
)。A.$5°\mathrm{C}$，$4°\mathrm{C}$
B.$5°\mathrm{C}$，$4.5°\mathrm{C}$
C.$6°\mathrm{C}$，$4°\mathrm{C}$
D.$6°\mathrm{C}$，$4.5°\mathrm{C}$
答案
2 C
解析
【分析】
解题时首先需要从折线统计图中准确读取10天每天的最高气温数据，第一步先找这组数据的最大值得到最高气温；第二步根据算术平均数的计算公式，将10天的气温总和除以天数10，即可得到平均气温，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先读取折线图中10天的最高气温，依次为：2℃、5℃、5℃、6℃、4℃、5℃、4℃、6℃、2℃、1℃。
1. 求最高气温：观察上述数据，最大值为6℃，即这段时间最高气温是6℃。
2. 求平均气温：根据算术平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得：
气温总和为$2+5+5+6+4+5+4+6+2+1=40$（℃）
平均气温为$40÷10=4$（℃）
综上，最高气温为6℃，平均气温为4℃，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
折线统计图的应用、算术平均数的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查统计图信息提取能力和平均数的基本运算，只要准确读取图中数据、牢记平均数计算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要从折线统计图中准确读取10天每天的最高气温数据，第一步先找这组数据的最大值得到最高气温；第二步根据算术平均数的计算公式，将10天的气温总和除以天数10，即可得到平均气温，再匹配对应选项即可。
【解析】
首先读取折线图中10天的最高气温，依次为：2℃、5℃、5℃、6℃、4℃、5℃、4℃、6℃、2℃、1℃。
1. 求最高气温：观察上述数据，最大值为6℃，即这段时间最高气温是6℃。
2. 求平均气温：根据算术平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得：
气温总和为$2+5+5+6+4+5+4+6+2+1=40$（℃）
平均气温为$40÷10=4$（℃）
综上，最高气温为6℃，平均气温为4℃，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
折线统计图的应用、算术平均数的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查统计图信息提取能力和平均数的基本运算，只要准确读取图中数据、牢记平均数计算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3 在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85的差是：2、3、－3、－5、12、12、8、2、－1、4、－10、－2、5、5，那么这个小组的平均分约为(
A.97.2分
B.87.29分
C.92.32分
D.82.86分
B
)。A.97.2分
B.87.29分
C.92.32分
D.82.86分
答案
3 B
解析
【分析】
要计算该小组的平均分，可借助题目给出的学生成绩与全班平均分的差值简化运算：每个学生的成绩为85加上对应差值，因此小组平均分等于全班平均分85加上所有差值的平均值，无需逐个计算学生成绩再求和，能大幅降低运算量。
【解析】
第一步：计算14个差值的总和：
$2 + 3 - 3 - 5 + 12 + 12 + 8 + 2 - 1 + 4 - 10 - 2 + 5 + 5 = 32$
第二步：计算差值的平均值：
$32÷14\approx2.29$
第三步：计算小组平均分：
$85 + 2.29 = 87.29$（分）
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数计算、利用偏差简化运算
【点评】
本题考查平均数的灵活应用，掌握利用偏差计算平均数的方法可以简化计算过程，避免大量求和运算出错，核心是对平均数基本概念的理解和运用。
【难度系数】
0.7
要计算该小组的平均分，可借助题目给出的学生成绩与全班平均分的差值简化运算：每个学生的成绩为85加上对应差值，因此小组平均分等于全班平均分85加上所有差值的平均值，无需逐个计算学生成绩再求和，能大幅降低运算量。
【解析】
第一步：计算14个差值的总和：
$2 + 3 - 3 - 5 + 12 + 12 + 8 + 2 - 1 + 4 - 10 - 2 + 5 + 5 = 32$
第二步：计算差值的平均值：
$32÷14\approx2.29$
第三步：计算小组平均分：
$85 + 2.29 = 87.29$（分）
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数计算、利用偏差简化运算
【点评】
本题考查平均数的灵活应用，掌握利用偏差计算平均数的方法可以简化计算过程，避免大量求和运算出错，核心是对平均数基本概念的理解和运用。
【难度系数】
0.7
④ 若1、2、3、a的平均数为a，且1、2、3、a、b的平均数为6，则b=
⑤ 已知三个数a、b、c的平均数是6，则a－1，b＋4，c＋6的平均数是
⑥ 若有m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这(m+n)个数的平均数是
22
。⑤ 已知三个数a、b、c的平均数是6，则a－1，b＋4，c＋6的平均数是
9
。⑥ 若有m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这(m+n)个数的平均数是
$\dfrac{mx+ny}{m+n}$
。答案
4 22
5 9
6 $\dfrac{mx+ny}{m+n}$
5 9
6 $\dfrac{mx+ny}{m+n}$
解析
【分析】
这三道题均围绕平均数的核心公式“数据总和=平均数×数据个数”展开求解：
1. 第④题：先根据第一组数据的平均数为a的条件，列方程求出a的值，再代入第二组数据的平均数公式，即可解出b的值；
2. 第⑤题：先由三个数的平均数值求出三个数的总和，再计算变换后三个新数的总数值，最后除以数据个数得到新的平均数；
3. 第⑥题：分别求出两组数据的总和，相加得到所有数据的总总和，再除以总个数（m+n），即可得到加权平均数。
【解析】
④ 解：根据平均数的定义，1、2、3、a的平均数为a，可得：
$\frac{1+2+3+a}{4}=a$
化简得：$6+a=4a$，解得$a=2$。
已知1、2、3、a、b的平均数为6，将$a=2$代入得：
$\frac{1+2+3+2+b}{5}=6$
化简得：$8+b=30$，解得$b=22$。
⑤ 解：已知a、b、c的平均数是6，可得：
$a+b+c=6×3=18$
则$a-1$、$b+4$、$c+6$的总和为：
$(a-1)+(b+4)+(c+6)=(a+b+c)+(-1+4+6)=18+9=27$
因此新的平均数为：$\frac{27}{3}=9$。
⑥ 解：m个数的平均数为x，故这m个数的总和为$mx$；n个数的平均数为y，故这n个数的总和为$ny$。
则这$(m+n)$个数的总总和为$mx+ny$，总个数为$m+n$，因此平均数为$\frac{mx+ny}{m+n}$。
【答案】
④$22$；⑤$9$；⑥$\dfrac{mx+ny}{m+n}$
【知识点】
平均数的定义、总和与平均数的转换、加权平均数计算
【点评】
这三道题是平均数章节的基础常规题，侧重考察对平均数公式的理解与运用，只要掌握“总和等于平均数乘个数”的核心关系，代入计算即可顺利求解，是巩固平均数概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
这三道题均围绕平均数的核心公式“数据总和=平均数×数据个数”展开求解：
1. 第④题：先根据第一组数据的平均数为a的条件，列方程求出a的值，再代入第二组数据的平均数公式，即可解出b的值；
2. 第⑤题：先由三个数的平均数值求出三个数的总和，再计算变换后三个新数的总数值，最后除以数据个数得到新的平均数；
3. 第⑥题：分别求出两组数据的总和，相加得到所有数据的总总和，再除以总个数（m+n），即可得到加权平均数。
【解析】
④ 解：根据平均数的定义，1、2、3、a的平均数为a，可得：
$\frac{1+2+3+a}{4}=a$
化简得：$6+a=4a$，解得$a=2$。
已知1、2、3、a、b的平均数为6，将$a=2$代入得：
$\frac{1+2+3+2+b}{5}=6$
化简得：$8+b=30$，解得$b=22$。
⑤ 解：已知a、b、c的平均数是6，可得：
$a+b+c=6×3=18$
则$a-1$、$b+4$、$c+6$的总和为：
$(a-1)+(b+4)+(c+6)=(a+b+c)+(-1+4+6)=18+9=27$
因此新的平均数为：$\frac{27}{3}=9$。
⑥ 解：m个数的平均数为x，故这m个数的总和为$mx$；n个数的平均数为y，故这n个数的总和为$ny$。
则这$(m+n)$个数的总总和为$mx+ny$，总个数为$m+n$，因此平均数为$\frac{mx+ny}{m+n}$。
【答案】
④$22$；⑤$9$；⑥$\dfrac{mx+ny}{m+n}$
【知识点】
平均数的定义、总和与平均数的转换、加权平均数计算
【点评】
这三道题是平均数章节的基础常规题，侧重考察对平均数公式的理解与运用，只要掌握“总和等于平均数乘个数”的核心关系，代入计算即可顺利求解，是巩固平均数概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
7 某学校决定招聘一位数学教师，对应聘者进行笔试和试教两项综合考核，根据重要性，笔试成绩占30%，试教成绩占70%。应聘者张宇、李明两人的得分如右表，如果你是校长，你会录用
张宇
李明
笔试
92
试教
94
80
张宇
。张宇
李明
笔试
92
试教
94
80
答案
7 张宇 [提示:张宇最终得分为$78×30\%+94×70\%=89.2$;李明最终得分为$92×30\%+80×70\%=83.6$。]
解析
【分析】
要确定录用哪位应聘者，需要先计算两人的综合考核得分。本题中笔试和试教的重要性不同，对应不同权重，因此要采用加权平均数的计算方法：将两项成绩分别乘以对应的权重占比，求和后得到综合得分，最终录用综合得分更高的人。
【解析】
第一步：计算张宇的综合得分
笔试成绩占30%，试教成绩占70%，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{张宇综合得分}&=78×30\% + 94×70\%\\&=78×0.3 + 94×0.7\\&=23.4 + 65.8\\&=89.2\end{aligned}$
第二步：计算李明的综合得分
代入李明的两项成绩计算：
$\begin{aligned}\mathrm{李明综合得分}&=92×30\% + 80×70\%\\&=92×0.3 + 80×0.7\\&=27.6 + 56\\&=83.6\end{aligned}$
第三步：比较两人得分，$89.2＞83.6$，张宇的综合得分更高。
【答案】
张宇
【知识点】
加权平均数计算，百分数运算
【点评】
本题是加权平均数在实际生活中的典型应用，解题关键是明确不同考核项目对应的权重，正确代入加权平均数公式计算后比较得分即可，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
要确定录用哪位应聘者，需要先计算两人的综合考核得分。本题中笔试和试教的重要性不同，对应不同权重，因此要采用加权平均数的计算方法：将两项成绩分别乘以对应的权重占比，求和后得到综合得分，最终录用综合得分更高的人。
【解析】
第一步：计算张宇的综合得分
笔试成绩占30%，试教成绩占70%，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{张宇综合得分}&=78×30\% + 94×70\%\\&=78×0.3 + 94×0.7\\&=23.4 + 65.8\\&=89.2\end{aligned}$
第二步：计算李明的综合得分
代入李明的两项成绩计算：
$\begin{aligned}\mathrm{李明综合得分}&=92×30\% + 80×70\%\\&=92×0.3 + 80×0.7\\&=27.6 + 56\\&=83.6\end{aligned}$
第三步：比较两人得分，$89.2＞83.6$，张宇的综合得分更高。
【答案】
张宇
【知识点】
加权平均数计算，百分数运算
【点评】
本题是加权平均数在实际生活中的典型应用，解题关键是明确不同考核项目对应的权重，正确代入加权平均数公式计算后比较得分即可，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
8 某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，那么由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为
11.5
元/千克。答案
8 11.5 [提示:什锦糖的单价为$\dfrac{15×10+12×20+10×30}{10+20+30}=11.5$(元/千克)。]
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确什锦糖的单价等于三种糖果的总价格除以三种糖果的总质量，这里每种糖果的重量就是加权平均数中的“权”，我们需要先分别计算三种糖果的总价求和得到总价格，再计算三种糖果的总重量，最后用总价格除以总重量即可得到什锦糖的单价。
【解析】
解：首先计算三种糖果的总价格：
甲糖果总价：$15 × 10 = 150$（元）
乙糖果总价：$12 × 20 = 240$（元）
丙糖果总价：$10 × 30 = 300$（元）
三种糖果总价格：$150 + 240 + 300 = 690$（元）
三种糖果总重量：$10 + 20 + 30 = 60$（千克）
什锦糖单价 = 总价格÷总重量 = $\dfrac{690}{60} = 11.5$（元/千克）
【答案】
11.5
【知识点】
加权平均数；平均数的实际应用
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题型，解题核心是正确理解加权平均数中“权”的含义，结合实际问题的数量关系代入加权平均数公式计算即可，掌握基础公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确什锦糖的单价等于三种糖果的总价格除以三种糖果的总质量，这里每种糖果的重量就是加权平均数中的“权”，我们需要先分别计算三种糖果的总价求和得到总价格，再计算三种糖果的总重量，最后用总价格除以总重量即可得到什锦糖的单价。
【解析】
解：首先计算三种糖果的总价格：
甲糖果总价：$15 × 10 = 150$（元）
乙糖果总价：$12 × 20 = 240$（元）
丙糖果总价：$10 × 30 = 300$（元）
三种糖果总价格：$150 + 240 + 300 = 690$（元）
三种糖果总重量：$10 + 20 + 30 = 60$（千克）
什锦糖单价 = 总价格÷总重量 = $\dfrac{690}{60} = 11.5$（元/千克）
【答案】
11.5
【知识点】
加权平均数；平均数的实际应用
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题型，解题核心是正确理解加权平均数中“权”的含义，结合实际问题的数量关系代入加权平均数公式计算即可，掌握基础公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
