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9 已知数据$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$的平均数为$a$，试求：
(1) 数据$x_1 + 3, x_2 + 3, x_3 + 3, \dots, x_n + 3$的平均数。
(2) 数据$x_1 - 3, x_2 - 3, x_3 - 3, \dots, x_n - 3$的平均数。
(3) 数据$4x_1, 4x_2, 4x_3, \dots, 4x_n$的平均数。
(4) 数据$2x_1 - 3, 2x_2 - 3, 2x_3 - 3, \dots, 2x_n - 3$的平均数。
(1) 数据$x_1 + 3, x_2 + 3, x_3 + 3, \dots, x_n + 3$的平均数。
(2) 数据$x_1 - 3, x_2 - 3, x_3 - 3, \dots, x_n - 3$的平均数。
(3) 数据$4x_1, 4x_2, 4x_3, \dots, 4x_n$的平均数。
(4) 数据$2x_1 - 3, 2x_2 - 3, 2x_3 - 3, \dots, 2x_n - 3$的平均数。
答案
9 (1) $a+3$ (2) $a-3$ (3) $4a$ (4) $2a-3$
解析
【分析】
解题核心是利用平均数的定义，首先由已知原数据的平均数可得到原数据的总和为$na$，再分别计算每组新数据的总和，用新总和除以数据个数$n$即可得到对应新数据的平均数；也可以直接利用平均数的变化规律：若原数据平均数为$a$，则数据$kx_i+b$的平均数为$ka+b$，直接推导结果。
【解析】
由题意可知，原数据的平均数满足：$\frac{x_1+x_2+x_3+\dots+x_n}{n}=a$，因此可得原数据总和：$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=na$。
(1) 新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的总和为：
$(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)=(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n=na+3n$
其平均数为：$\frac{na+3n}{n}=a+3$
(2) 新数据$x_1-3,x_2-3,\dots,x_n-3$的总和为：
$(x_1-3)+(x_2-3)+\dots+(x_n-3)=(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n=na-3n$
其平均数为：$\frac{na-3n}{n}=a-3$
(3) 新数据$4x_1,4x_2,\dots,4x_n$的总和为：
$4x_1+4x_2+\dots+4x_n=4(x_1+x_2+\dots+x_n)=4na$
其平均数为：$\frac{4na}{n}=4a$
(4) 新数据$2x_1-3,2x_2-3,\dots,2x_n-3$的总和为：
$(2x_1-3)+(2x_2-3)+\dots+(2x_n-3)=2(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n=2na-3n$
其平均数为：$\frac{2na-3n}{n}=2a-3$
【答案】
(1) $a+3$ (2) $a-3$ (3) $4a$ (4) $2a-3$
【知识点】
1. 平均数的定义 2. 平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数的基础应用题型，既可以通过定义逐步推导，也可以直接利用平均数的线性变换规律快速求解，掌握该规律可大幅提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用平均数的定义，首先由已知原数据的平均数可得到原数据的总和为$na$，再分别计算每组新数据的总和，用新总和除以数据个数$n$即可得到对应新数据的平均数；也可以直接利用平均数的变化规律：若原数据平均数为$a$，则数据$kx_i+b$的平均数为$ka+b$，直接推导结果。
【解析】
由题意可知，原数据的平均数满足：$\frac{x_1+x_2+x_3+\dots+x_n}{n}=a$，因此可得原数据总和：$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=na$。
(1) 新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的总和为：
$(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)=(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n=na+3n$
其平均数为：$\frac{na+3n}{n}=a+3$
(2) 新数据$x_1-3,x_2-3,\dots,x_n-3$的总和为：
$(x_1-3)+(x_2-3)+\dots+(x_n-3)=(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n=na-3n$
其平均数为：$\frac{na-3n}{n}=a-3$
(3) 新数据$4x_1,4x_2,\dots,4x_n$的总和为：
$4x_1+4x_2+\dots+4x_n=4(x_1+x_2+\dots+x_n)=4na$
其平均数为：$\frac{4na}{n}=4a$
(4) 新数据$2x_1-3,2x_2-3,\dots,2x_n-3$的总和为：
$(2x_1-3)+(2x_2-3)+\dots+(2x_n-3)=2(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n=2na-3n$
其平均数为：$\frac{2na-3n}{n}=2a-3$
【答案】
(1) $a+3$ (2) $a-3$ (3) $4a$ (4) $2a-3$
【知识点】
1. 平均数的定义 2. 平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数的基础应用题型，既可以通过定义逐步推导，也可以直接利用平均数的线性变换规律快速求解，掌握该规律可大幅提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
10 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，组织200名职工对三人用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分。
（1）请算出三人的民主评议得分。
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
根据录用程序，组织200名职工对三人用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分。
（1）请算出三人的民主评议得分。
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
答案
10 (1) 甲、乙、丙的民主评议得分分别为：$200×25\%=50$(分),$200×40\%=80$(分),$200×35\%=70$(分)。
(2) 甲的平均成绩为：$\dfrac{75+93+50}{3}=\dfrac{218}{3}\approx72.67$(分)；
乙的平均成绩为：$\dfrac{80+70+80}{3}=\dfrac{230}{3}\approx76.67$(分)；
丙的平均成绩为：$\dfrac{90+68+70}{3}=\dfrac{228}{3}=76.00$(分)。
因为$76.67＞76＞72.67$，所以乙将被录用。
(3) 甲的个人成绩为：$75×0.4+93×0.3+50×0.3=72.9$(分)；
乙的个人成绩为：$80×0.4+70×0.3+80×0.3=77$(分)；
丙的个人成绩为：$90×0.4+68×0.3+70×0.3=77.4$(分)。
因为$77.4＞77＞72.9$，所以丙将被录用。
(2) 甲的平均成绩为：$\dfrac{75+93+50}{3}=\dfrac{218}{3}\approx72.67$(分)；
乙的平均成绩为：$\dfrac{80+70+80}{3}=\dfrac{230}{3}\approx76.67$(分)；
丙的平均成绩为：$\dfrac{90+68+70}{3}=\dfrac{228}{3}=76.00$(分)。
因为$76.67＞76＞72.67$，所以乙将被录用。
(3) 甲的个人成绩为：$75×0.4+93×0.3+50×0.3=72.9$(分)；
乙的个人成绩为：$80×0.4+70×0.3+80×0.3=77$(分)；
丙的个人成绩为：$90×0.4+68×0.3+70×0.3=77.4$(分)。
因为$77.4＞77＞72.9$，所以丙将被录用。
解析
【分析】
（1）民主评议得分等于总投票人数乘对应得票率，已知共200名职工参与投票，无弃权票，结合三人得票率直接计算即可；
（2）三项测试的平均成绩为三项得分之和除以3，分别计算三人平均成绩后比较大小，成绩最高者被录用；
（3）按4:3:3的比例计算成绩属于加权平均数的应用，先将比例转化为各项目权重：笔试占$\frac{4}{10}=0.4$，面试占$\frac{3}{10}=0.3$，民主评议占$\frac{3}{10}=0.3$，分别用三项得分乘对应权重求和得到个人成绩，比较后最高分者被录用。
【解析】
（1）总投票人数为200人，每得1票记1分：
甲的民主评议得分：$200×25\%=50$（分）
乙的民主评议得分：$200×40\%=80$（分）
丙的民主评议得分：$200×35\%=70$（分）
（2）计算三人三项测试的平均成绩：
甲的平均成绩：$\dfrac{75+93+50}{3}=\dfrac{218}{3}\approx72.67$（分）
乙的平均成绩：$\dfrac{80+70+80}{3}=\dfrac{230}{3}\approx76.67$（分）
丙的平均成绩：$\dfrac{90+68+70}{3}=\dfrac{228}{3}=76.00$（分）
因为$76.67＞76.00＞72.67$，乙的平均成绩最高，所以乙将被录用。
（3）三项测试得分权重为$4:3:3$，总权重为$4+3+3=10$：
甲的个人成绩：$75×0.4+93×0.3+50×0.3=72.9$（分）
乙的个人成绩：$80×0.4+70×0.3+80×0.3=77$（分）
丙的个人成绩：$90×0.4+68×0.3+70×0.3=77.4$（分）
因为$77.4＞77＞72.9$，丙的个人成绩最高，所以丙将被录用。
【答案】
（1）甲民主评议得分50分，乙80分，丙70分；
（2）乙将被录用；
（3）丙将被录用。
【知识点】
百分数应用、算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合实际招聘的生活场景，考查了平均数的两类计算方法，解题时要注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，计算过程中注意数值运算的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
（1）民主评议得分等于总投票人数乘对应得票率，已知共200名职工参与投票，无弃权票，结合三人得票率直接计算即可；
（2）三项测试的平均成绩为三项得分之和除以3，分别计算三人平均成绩后比较大小，成绩最高者被录用；
（3）按4:3:3的比例计算成绩属于加权平均数的应用，先将比例转化为各项目权重：笔试占$\frac{4}{10}=0.4$，面试占$\frac{3}{10}=0.3$，民主评议占$\frac{3}{10}=0.3$，分别用三项得分乘对应权重求和得到个人成绩，比较后最高分者被录用。
【解析】
（1）总投票人数为200人，每得1票记1分：
甲的民主评议得分：$200×25\%=50$（分）
乙的民主评议得分：$200×40\%=80$（分）
丙的民主评议得分：$200×35\%=70$（分）
（2）计算三人三项测试的平均成绩：
甲的平均成绩：$\dfrac{75+93+50}{3}=\dfrac{218}{3}\approx72.67$（分）
乙的平均成绩：$\dfrac{80+70+80}{3}=\dfrac{230}{3}\approx76.67$（分）
丙的平均成绩：$\dfrac{90+68+70}{3}=\dfrac{228}{3}=76.00$（分）
因为$76.67＞76.00＞72.67$，乙的平均成绩最高，所以乙将被录用。
（3）三项测试得分权重为$4:3:3$，总权重为$4+3+3=10$：
甲的个人成绩：$75×0.4+93×0.3+50×0.3=72.9$（分）
乙的个人成绩：$80×0.4+70×0.3+80×0.3=77$（分）
丙的个人成绩：$90×0.4+68×0.3+70×0.3=77.4$（分）
因为$77.4＞77＞72.9$，丙的个人成绩最高，所以丙将被录用。
【答案】
（1）甲民主评议得分50分，乙80分，丙70分；
（2）乙将被录用；
（3）丙将被录用。
【知识点】
百分数应用、算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合实际招聘的生活场景，考查了平均数的两类计算方法，解题时要注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，计算过程中注意数值运算的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
