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1 下列命题中，错误的是(
A.抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$ 不与 $x$ 轴相交
B.抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$ 与 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x -1)^2$ 形状相同，位置不同
C.抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2$ 的顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$
D.抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2})^2$ 的对称轴是直线 $x=\frac{1}{2}$
D
)。A.抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$ 不与 $x$ 轴相交
B.抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$ 与 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x -1)^2$ 形状相同，位置不同
C.抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2$ 的顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, 0)$
D.抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2})^2$ 的对称轴是直线 $x=\frac{1}{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道考查二次函数基本性质的选择题，解题思路为逐个验证每个选项的正确性：结合二次函数与x轴交点的判断方法、图像形状的决定因素、顶点式中顶点坐标和对称轴的对应规则，逐一排查选项描述，最终找出错误的命题。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：对抛物线$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$，令$y=0$，可得方程$-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1=0$，整理得$x^2=-\frac{2}{\sqrt{3}}＜0$，方程无实数根，因此该抛物线不与x轴相交，A描述正确。
2. 选项B：二次函数图像的形状由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线的二次项系数绝对值均为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此形状相同；二者顶点分别为$(0,-1)$和$(1,0)$，位置不同，B描述正确。
3. 选项C：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，抛物线$y=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2$中$h=\frac{1}{2}、k=0$，因此顶点坐标为$(\frac{1}{2}, 0)$，C描述正确。
4. 选项D：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，抛物线$y=-\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2})^2$可变形为$y=-\frac{1}{2}[x-(-\frac{1}{2})]^2$，即$h=-\frac{1}{2}$，因此对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，不是直线$x=\frac{1}{2}$，D描述错误。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数与x轴交点判断 3.二次函数图像特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心考点是二次函数顶点式各参数对应的图像特征，熟练掌握相关知识点即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
这是一道考查二次函数基本性质的选择题，解题思路为逐个验证每个选项的正确性：结合二次函数与x轴交点的判断方法、图像形状的决定因素、顶点式中顶点坐标和对称轴的对应规则，逐一排查选项描述，最终找出错误的命题。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：对抛物线$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1$，令$y=0$，可得方程$-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 -1=0$，整理得$x^2=-\frac{2}{\sqrt{3}}＜0$，方程无实数根，因此该抛物线不与x轴相交，A描述正确。
2. 选项B：二次函数图像的形状由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线的二次项系数绝对值均为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此形状相同；二者顶点分别为$(0,-1)$和$(1,0)$，位置不同，B描述正确。
3. 选项C：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，抛物线$y=-\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})^2$中$h=\frac{1}{2}、k=0$，因此顶点坐标为$(\frac{1}{2}, 0)$，C描述正确。
4. 选项D：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，抛物线$y=-\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2})^2$可变形为$y=-\frac{1}{2}[x-(-\frac{1}{2})]^2$，即$h=-\frac{1}{2}$，因此对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，不是直线$x=\frac{1}{2}$，D描述错误。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数与x轴交点判断 3.二次函数图像特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心考点是二次函数顶点式各参数对应的图像特征，熟练掌握相关知识点即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
② 对于$y=-2(x-3)^2 +4$的图像，下列结论正确的是（
A.y的值随x的增大而减小
B.当$x≥4$时，y的值随x的增大而增大
C.当$x≥3$时，y的值随x的增大而增大
D.当$x≤3$时，y的值随x的增大而增大
D
）。A.y的值随x的增大而减小
B.当$x≥4$时，y的值随x的增大而增大
C.当$x≥3$时，y的值随x的增大而增大
D.当$x≤3$时，y的值随x的增大而增大
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二次函数的增减性判断，解题思路如下：第一步，先根据给出的二次函数顶点式，确定开口方向和对称轴；第二步，结合开口方向，明确二次函数在对称轴左右两侧的增减性规律；第三步，逐一核对四个选项，选出符合规律的正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x-3)^2 +4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 确定参数：$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；对称轴为直线$x=h=3$。
2. 增减性规律：开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x≤3$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x≥3$）时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 逐一判断选项：
A选项：未限定x的范围，直接说y随x增大而减小，不符合规律，错误；
B选项：$x≥4$属于$x≥3$的范围，此时y随x增大而减小，描述错误；
C选项：$x≥3$时y随x增大而减小，描述错误；
D选项：$x≤3$时y随x增大而增大，符合规律，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点要求学生掌握从顶点式中快速提取开口方向、对称轴的方法，牢记开口方向与增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的增减性判断，解题思路如下：第一步，先根据给出的二次函数顶点式，确定开口方向和对称轴；第二步，结合开口方向，明确二次函数在对称轴左右两侧的增减性规律；第三步，逐一核对四个选项，选出符合规律的正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-2(x-3)^2 +4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 确定参数：$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；对称轴为直线$x=h=3$。
2. 增减性规律：开口向下的抛物线，在对称轴左侧（$x≤3$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x≥3$）时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 逐一判断选项：
A选项：未限定x的范围，直接说y随x增大而减小，不符合规律，错误；
B选项：$x≥4$属于$x≥3$的范围，此时y随x增大而减小，描述错误；
C选项：$x≥3$时y随x增大而减小，描述错误；
D选项：$x≤3$时y随x增大而增大，符合规律，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点要求学生掌握从顶点式中快速提取开口方向、对称轴的方法，牢记开口方向与增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 已知二次函数$y=a(x+1)^2+c$的图像如图所示，则函数$y=ax+c$的图像可能是（
（A）
（C）
（D）
D
）。（A）
（C）
（D）
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从已知的二次函数图像入手提取参数信息：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负，第二步根据顶点式的顶点坐标特征判断c的正负；再结合一次函数的图像性质，由a、c的符号分别确定一次函数的倾斜方向和与y轴的交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
观察二次函数$y=a(x+1)^2+c$的图像：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 该二次函数的顶点式对应顶点坐标为$(-1,c)$，顶点位于x轴上方，因此$c＞0$。
分析一次函数$y=ax+c$的图像特征：
一次项系数$a＜0$，直线从左上向右下倾斜，排除斜率为正的选项A、B；
常数项$c＞0$，直线与y轴交于正半轴，排除交点在y轴负半轴的选项C。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型题型，核心是建立函数参数和图像特征的对应关系，只要熟练掌握两类函数的参数意义，就能快速推导得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的二次函数图像入手提取参数信息：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负，第二步根据顶点式的顶点坐标特征判断c的正负；再结合一次函数的图像性质，由a、c的符号分别确定一次函数的倾斜方向和与y轴的交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
观察二次函数$y=a(x+1)^2+c$的图像：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 该二次函数的顶点式对应顶点坐标为$(-1,c)$，顶点位于x轴上方，因此$c＞0$。
分析一次函数$y=ax+c$的图像特征：
一次项系数$a＜0$，直线从左上向右下倾斜，排除斜率为正的选项A、B；
常数项$c＞0$，直线与y轴交于正半轴，排除交点在y轴负半轴的选项C。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型题型，核心是建立函数参数和图像特征的对应关系，只要熟练掌握两类函数的参数意义，就能快速推导得到结果。
【难度系数】
0.7
④ 抛物线 $ y = -3x^2 $ 上一点到x轴的距离是3，则该点的横坐标是
±1
。答案
4.±1
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，明确点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，由此得到该点纵坐标的可能取值；第二步，结合抛物线$y=-3x^2$的取值范围，排除不符合的纵坐标值，确定纵坐标的准确值；第三步，将确定的纵坐标代入抛物线解析式，求解一元二次方程得到横坐标。
【解析】
设该点的坐标为$(x,y)$。
1. 由点到x轴的距离为3，可得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
2. 抛物线解析式为$y=-3x^2$，由于$x^2≥0$，因此$y=-3x^2≤0$，故$y=3$不符合取值范围，舍去，得$y=-3$。
3. 将$y=-3$代入$y=-3x^2$，得：
$-3=-3x^2$
两边同时除以$-3$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$。
【答案】
±1
【知识点】
二次函数的性质；点到坐标轴的距离；一元二次方程的求解
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时需注意结合二次函数的取值范围筛选合理的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，明确点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，由此得到该点纵坐标的可能取值；第二步，结合抛物线$y=-3x^2$的取值范围，排除不符合的纵坐标值，确定纵坐标的准确值；第三步，将确定的纵坐标代入抛物线解析式，求解一元二次方程得到横坐标。
【解析】
设该点的坐标为$(x,y)$。
1. 由点到x轴的距离为3，可得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
2. 抛物线解析式为$y=-3x^2$，由于$x^2≥0$，因此$y=-3x^2≤0$，故$y=3$不符合取值范围，舍去，得$y=-3$。
3. 将$y=-3$代入$y=-3x^2$，得：
$-3=-3x^2$
两边同时除以$-3$，得$x^2=1$，解得$x=\pm1$。
【答案】
±1
【知识点】
二次函数的性质；点到坐标轴的距离；一元二次方程的求解
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时需注意结合二次函数的取值范围筛选合理的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5 抛物线 $y=3(x-2)^2$ 的图像可由抛物线 $y=3x^2$ 的图像向
右
平移 2
个单位得到。答案
5.右,2
解析
【分析】
解决这类二次函数图像平移问题，有两种常用思路：一是利用平移口诀“左加右减，上加下减”判断，其中“左加右减”针对自变量x的变化，“上加下减”针对函数整体的常数项变化；二是通过对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离。本题可以先观察两个抛物线的自变量变化，或者先求各自顶点坐标，再判断平移方式。
【解析】
方法1（平移口诀法）：二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中针对自变量x的变换，x加上m（m＞0）则向左平移m个单位，x减去m（m＞0）则向右平移m个单位。
原抛物线为$y=3x^2$，变换后的抛物线为$y=3(x-2)^2$，即自变量x替换为了$x-2$，符合“右减”的规则，因此是向右平移2个单位。
方法2（顶点坐标法）：抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$。
$y=3x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=3(x-2)^2$的顶点为$(2,0)$，点$(0,0)$向右平移2个单位可得到$(2,0)$，因此抛物线整体向右平移2个单位。
【答案】
右，2
【知识点】
二次函数图像平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律的理解和应用，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规则或通过顶点坐标判断平移，都能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决这类二次函数图像平移问题，有两种常用思路：一是利用平移口诀“左加右减，上加下减”判断，其中“左加右减”针对自变量x的变化，“上加下减”针对函数整体的常数项变化；二是通过对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离。本题可以先观察两个抛物线的自变量变化，或者先求各自顶点坐标，再判断平移方式。
【解析】
方法1（平移口诀法）：二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中针对自变量x的变换，x加上m（m＞0）则向左平移m个单位，x减去m（m＞0）则向右平移m个单位。
原抛物线为$y=3x^2$，变换后的抛物线为$y=3(x-2)^2$，即自变量x替换为了$x-2$，符合“右减”的规则，因此是向右平移2个单位。
方法2（顶点坐标法）：抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$。
$y=3x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=3(x-2)^2$的顶点为$(2,0)$，点$(0,0)$向右平移2个单位可得到$(2,0)$，因此抛物线整体向右平移2个单位。
【答案】
右，2
【知识点】
二次函数图像平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律的理解和应用，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规则或通过顶点坐标判断平移，都能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6 任给一些不同的实数$n$，得到不同的抛物线$y=2x^2 +n$，如当$n=0$或$\pm2$时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中正确的序号是
①②③④
。答案
6.①②③④
解析
【分析】
解题时首先观察给出的抛物线解析式均为$y=ax^2+k$的形式，其中二次项系数$a=2$固定，仅常数项$n$变化，说明这些抛物线是上下平移得到的。接下来我们结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐一判断四个结论：1. 开口方向由二次项系数$a$的正负决定；2. 对称轴为直线$x=0$，与常数项无关；3. 抛物线的形状由$|a|$决定，$|a|$相同则形状相同；4. 开口向上的抛物线顶点为最低点，开口向下的为最高点，按这个思路逐一验证即可。
【解析】
对四个结论逐一分析：
① 所有抛物线的二次项系数$a=2＞0$，因此开口方向均向上，结论①正确；
② 二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），与$n$的取值无关，因此所有抛物线对称轴相同，结论②正确；
③ 抛物线的形状由$|a|$决定，本题中所有抛物线的$a$均为2，因此形状都相同，结论③正确；
④ 由于抛物线开口均向上，因此顶点为图像的最低点，即所有抛物线都有最低点，结论④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数图像性质、抛物线形状影响因素、二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数平移过程中的不变性质，解题关键是明确二次项系数$a$决定抛物线的开口方向、形状和开口大小，上下平移仅改变抛物线的位置，不改变对称轴、开口方向等性质，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察给出的抛物线解析式均为$y=ax^2+k$的形式，其中二次项系数$a=2$固定，仅常数项$n$变化，说明这些抛物线是上下平移得到的。接下来我们结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐一判断四个结论：1. 开口方向由二次项系数$a$的正负决定；2. 对称轴为直线$x=0$，与常数项无关；3. 抛物线的形状由$|a|$决定，$|a|$相同则形状相同；4. 开口向上的抛物线顶点为最低点，开口向下的为最高点，按这个思路逐一验证即可。
【解析】
对四个结论逐一分析：
① 所有抛物线的二次项系数$a=2＞0$，因此开口方向均向上，结论①正确；
② 二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），与$n$的取值无关，因此所有抛物线对称轴相同，结论②正确；
③ 抛物线的形状由$|a|$决定，本题中所有抛物线的$a$均为2，因此形状都相同，结论③正确；
④ 由于抛物线开口均向上，因此顶点为图像的最低点，即所有抛物线都有最低点，结论④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
二次函数图像性质、抛物线形状影响因素、二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数平移过程中的不变性质，解题关键是明确二次项系数$a$决定抛物线的开口方向、形状和开口大小，上下平移仅改变抛物线的位置，不改变对称轴、开口方向等性质，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
7 使二次函数$y=x^2 -5x -6$的函数值为0的x的值是
-1或6
。答案
7.-1或6
解析
【分析】
要找到使二次函数函数值为0的x的值，本质是令y=0，将函数问题转化为求解一元二次方程的问题。首先根据题意列出方程$x^2 -5x -6=0$，本题的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，能快速求出方程的解，即为所求的x的值。
【解析】
令二次函数的函数值$y=0$，可得到一元二次方程：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左侧二次三项式用十字相乘法因式分解，可得：
$(x+1)(x-6)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-6=0$
分别求解两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=6$。
【答案】
-1或6
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是理解二次函数函数值为0的含义，能将函数问题转化为一元二次方程求解问题，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要找到使二次函数函数值为0的x的值，本质是令y=0，将函数问题转化为求解一元二次方程的问题。首先根据题意列出方程$x^2 -5x -6=0$，本题的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，能快速求出方程的解，即为所求的x的值。
【解析】
令二次函数的函数值$y=0$，可得到一元二次方程：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左侧二次三项式用十字相乘法因式分解，可得：
$(x+1)(x-6)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-6=0$
分别求解两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=6$。
【答案】
-1或6
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是理解二次函数函数值为0的含义，能将函数问题转化为一元二次方程求解问题，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
⑧ 若抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - a$的顶点坐标在$x$轴上，则$a=$
$\dfrac{9}{2}$
。答案
8.$\dfrac{9}{2}$
解析
【分析】
解题的突破口是明确抛物线顶点在x轴上的性质：顶点的纵坐标为0。我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0即可列方程求解a；也可以直接套用二次函数顶点纵坐标公式列方程计算，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
对抛物线解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2 - 6x) - a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2 -6x +9 -9) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{9}{2} - a\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(3, \dfrac{9}{2} - a)$。
因为顶点在x轴上，所以顶点纵坐标为0，列方程：
$\dfrac{9}{2} - a = 0$
解得$a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
1.二次函数顶点性质
2.二次函数配方法
3.二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是掌握顶点在坐标轴上的坐标特征，熟练运用配方法或顶点坐标公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是明确抛物线顶点在x轴上的性质：顶点的纵坐标为0。我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0即可列方程求解a；也可以直接套用二次函数顶点纵坐标公式列方程计算，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
对抛物线解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2 - 6x) - a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2 -6x +9 -9) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{9}{2} - a\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(3, \dfrac{9}{2} - a)$。
因为顶点在x轴上，所以顶点纵坐标为0，列方程：
$\dfrac{9}{2} - a = 0$
解得$a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
1.二次函数顶点性质
2.二次函数配方法
3.二次函数与x轴交点特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是掌握顶点在坐标轴上的坐标特征，熟练运用配方法或顶点坐标公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，$a＞0,b＜0,c=0$，则其图像的顶点在第
四
象限。答案
9.四 [提示:因为$a ＞ 0, b ＜ 0$,所以$-\dfrac{b}{2a} ＞ 0$,所以对称轴在$y$轴右侧,顶点纵坐标为$\dfrac{4ac - b^2}{4a} =\dfrac{-b^2}{4a} ＜ 0$,所以顶点在第四象限。]
解析
【分析】
要判断二次函数顶点所在象限，首先要明确各象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$。接下来我们需要求二次函数顶点横、纵坐标的符号：二次函数顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，结合题目给出的$a＞0$、$b＜0$、$c=0$的条件，分别代入计算两个坐标的正负，即可确定顶点所在象限。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
1. 计算顶点横坐标的符号：
已知$a＞0$，$b＜0$，则$-b＞0$，因此$-\frac{b}{2a}=\frac{\mathrm{正数}}{\mathrm{正数}}＞0$，即顶点横坐标为正。
2. 计算顶点纵坐标的符号：
已知$c=0$，代入纵坐标公式可得：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-b^2}{4a}=-\frac{b^2}{4a}$。
因为$b\ne0$，所以$b^2＞0$，又$a＞0$，因此$-\frac{b^2}{4a}＜0$，即顶点纵坐标为负。
横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限，因此该二次函数图像的顶点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点坐标公式，结合已知系数的符号判断顶点坐标的正负，解题关键是牢记顶点坐标的表达式和各象限点的符号特点。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数顶点所在象限，首先要明确各象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$。接下来我们需要求二次函数顶点横、纵坐标的符号：二次函数顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，结合题目给出的$a＞0$、$b＜0$、$c=0$的条件，分别代入计算两个坐标的正负，即可确定顶点所在象限。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
1. 计算顶点横坐标的符号：
已知$a＞0$，$b＜0$，则$-b＞0$，因此$-\frac{b}{2a}=\frac{\mathrm{正数}}{\mathrm{正数}}＞0$，即顶点横坐标为正。
2. 计算顶点纵坐标的符号：
已知$c=0$，代入纵坐标公式可得：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-b^2}{4a}=-\frac{b^2}{4a}$。
因为$b\ne0$，所以$b^2＞0$，又$a＞0$，因此$-\frac{b^2}{4a}＜0$，即顶点纵坐标为负。
横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限，因此该二次函数图像的顶点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点坐标公式，结合已知系数的符号判断顶点坐标的正负，解题关键是牢记顶点坐标的表达式和各象限点的符号特点。
【难度系数】
0.8
10 二次函数$y=x^2+bx+c$的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到$y=x^2-2x+1$的图像，则$b+c=$
0
。答案
10.0 [提示:将$y = x^2 - 2x + 1$配方后得,$y = (x - 1)^2$,向右平移2个单位,再向下平移3个单位可得$y = (x - 3)^2 - 3$,化为一般式可得$y = x^2 - 6x + 6$,$b + c = -6 + 6 = 0$。]
解析
【分析】
本题已知原二次函数平移后的解析式，要求$b+c$的值，可利用二次函数平移的可逆性求解。首先回忆函数图像平移规则：“左加右减，上加下减”，即左右平移改变自变量$x$（左移加，右移减），上下平移改变函数值（上移加，下移减）。我们可以先将平移后得到的解析式配方为顶点式，再对其进行逆向平移（即向右平移2个单位，再向下平移3个单位）得到原二次函数的解析式，最后化为一般式对应系数求出$b$、$c$，计算$b+c$即可。
【解析】
解：1. 先将平移后得到的函数解析式配方：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
2. 根据平移的可逆性，将$y=(x-1)^2$向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到原二次函数解析式：
向右平移2个单位后解析式为：$y=(x - 1 - 2)^2 = (x - 3)^2$
再向下平移3个单位后解析式为：$y=(x - 3)^2 - 3$
3. 将所得解析式化为一般式：
$y=(x^2 - 6x + 9) - 3 = x^2 - 6x + 6$
对比原二次函数$y=x^2 + bx + c$，可得$b=-6$，$c=6$
因此$b + c = -6 + 6 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数配方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像的平移规律，解题时需注意正向平移和逆向平移的操作是相反的，避免混淆平移时自变量$x$的加减规则，熟练掌握二次函数顶点式和一般式的转化是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题已知原二次函数平移后的解析式，要求$b+c$的值，可利用二次函数平移的可逆性求解。首先回忆函数图像平移规则：“左加右减，上加下减”，即左右平移改变自变量$x$（左移加，右移减），上下平移改变函数值（上移加，下移减）。我们可以先将平移后得到的解析式配方为顶点式，再对其进行逆向平移（即向右平移2个单位，再向下平移3个单位）得到原二次函数的解析式，最后化为一般式对应系数求出$b$、$c$，计算$b+c$即可。
【解析】
解：1. 先将平移后得到的函数解析式配方：
$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
2. 根据平移的可逆性，将$y=(x-1)^2$向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到原二次函数解析式：
向右平移2个单位后解析式为：$y=(x - 1 - 2)^2 = (x - 3)^2$
再向下平移3个单位后解析式为：$y=(x - 3)^2 - 3$
3. 将所得解析式化为一般式：
$y=(x^2 - 6x + 9) - 3 = x^2 - 6x + 6$
对比原二次函数$y=x^2 + bx + c$，可得$b=-6$，$c=6$
因此$b + c = -6 + 6 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数配方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像的平移规律，解题时需注意正向平移和逆向平移的操作是相反的，避免混淆平移时自变量$x$的加减规则，熟练掌握二次函数顶点式和一般式的转化是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
