登录
11 如果二次函数$f(x)=(m-2)x^2 + mx + (m^2 - 4)$的图像过原点，试求$m$的值。
答案
11.因为函数图像经过原点,所以$m^2-4=0$,$m_1=2$,$m_2=-2$。又因为$m-2≠0$,所以$m=-2$。
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确该函数是二次函数，因此需满足二次函数的定义，即二次项系数不为0；二是函数图像过原点，原点坐标$(0,0)$满足函数解析式，代入后可得到关于$m$的方程。解题步骤为先根据过原点的条件求解$m$的可能值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到$m$的正确值。
【解析】
解：
∵ 二次函数$f(x)$的图像过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$f(x)=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + m×0 + (m^2 - 4)$
即$m^2 - 4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ $f(x)$是二次函数，二次项系数不能为0
∴ $m-2≠0$，即$m≠2$
综上，舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 函数图像与解析式的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础易错题，核心易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结论，解题时要注意结合函数定义挖掘题目隐含的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确该函数是二次函数，因此需满足二次函数的定义，即二次项系数不为0；二是函数图像过原点，原点坐标$(0,0)$满足函数解析式，代入后可得到关于$m$的方程。解题步骤为先根据过原点的条件求解$m$的可能值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到$m$的正确值。
【解析】
解：
∵ 二次函数$f(x)$的图像过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$f(x)=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + m×0 + (m^2 - 4)$
即$m^2 - 4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ $f(x)$是二次函数，二次项系数不能为0
∴ $m-2≠0$，即$m≠2$
综上，舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 函数图像与解析式的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础易错题，核心易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结论，解题时要注意结合函数定义挖掘题目隐含的限制条件。
【难度系数】
0.7
12 试求二次函数 $y=-x^2+2x-7$ 的图像绕顶点旋转 $180°$ 得到新抛物线表达式。
答案
12.将二次函数化为顶点式$y=-(x-1)^2-6$,顶点为$(1,-6)$。绕顶点旋转$180°$后的顶点不变,开口方向相反,开口大小相同,所以旋转后的表达式为$y=(x-1)^2-6$。
解析
【分析】
要解决二次函数绕顶点旋转180°求解析式的问题，首先需明确旋转的核心特征：绕顶点旋转180°后，抛物线的顶点位置不变，开口大小不变、仅开口方向相反。因此解题步骤可分为两步：先将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标和原二次项系数；再将二次项系数变为它的相反数，保留顶点式的其余部分即可得到新解析式。
【解析】
第一步：将原二次函数通过配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x-7\\&=-(x^2-2x)-7\\&=-(x^2-2x+1-1)-7\\&=-(x-1)^2+1-7\\&=-(x-1)^2-6\end{aligned}$
可得原抛物线顶点为$(1,-6)$，二次项系数为$-1$。
第二步：根据旋转性质，绕顶点旋转180°后顶点不变，开口大小不变、方向相反，因此新的二次项系数为原系数的相反数，即$1$，所以旋转后的抛物线表达式为$y=(x-1)^2-6$。
【答案】
$\boldsymbol{y=(x-1)^2 -6}$（或展开为$y=x^2-2x-5$）
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数顶点式转换；旋转的性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题的核心是抓住绕顶点旋转180°的变化规律，熟练掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数绕顶点旋转180°求解析式的问题，首先需明确旋转的核心特征：绕顶点旋转180°后，抛物线的顶点位置不变，开口大小不变、仅开口方向相反。因此解题步骤可分为两步：先将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标和原二次项系数；再将二次项系数变为它的相反数，保留顶点式的其余部分即可得到新解析式。
【解析】
第一步：将原二次函数通过配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x-7\\&=-(x^2-2x)-7\\&=-(x^2-2x+1-1)-7\\&=-(x-1)^2+1-7\\&=-(x-1)^2-6\end{aligned}$
可得原抛物线顶点为$(1,-6)$，二次项系数为$-1$。
第二步：根据旋转性质，绕顶点旋转180°后顶点不变，开口大小不变、方向相反，因此新的二次项系数为原系数的相反数，即$1$，所以旋转后的抛物线表达式为$y=(x-1)^2-6$。
【答案】
$\boldsymbol{y=(x-1)^2 -6}$（或展开为$y=x^2-2x-5$）
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数顶点式转换；旋转的性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题的核心是抓住绕顶点旋转180°的变化规律，熟练掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$，顶点到$x$轴的距离是8，求这个二次函数的表达式。
答案
13.因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$,所以对称轴是直线$x=1$。因为顶点到$x$轴的距离是8,可以分下2种情况:
① 当顶点为$(1,8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+8$,将$(3,0)$代入得$a=-2$,所以$y=-2(x-1)^2+8$;
② 当顶点为$(1,-8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-8$,将$(3,0)$代入得$a=2$,所以$y=2(x-1)^2-8$。
综上所述,抛物线的表达式为$y=-2(x-1)^2+8$,$y=2(x-1)^2-8$。
① 当顶点为$(1,8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+8$,将$(3,0)$代入得$a=-2$,所以$y=-2(x-1)^2+8$;
② 当顶点为$(1,-8)$时,设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-8$,将$(3,0)$代入得$a=2$,所以$y=2(x-1)^2-8$。
综上所述,抛物线的表达式为$y=-2(x-1)^2+8$,$y=2(x-1)^2-8$。
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数与x轴交点的对称性求对称轴：两个与x轴的交点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+3}{2}=1$。顶点在对称轴上，已知顶点到x轴的距离是8，距离为非负数，因此顶点纵坐标有8和-8两种情况，需要分类讨论。接下来设二次函数的顶点式，将已知的x轴交点坐标代入即可求出参数a，最终得到二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
∵顶点到x轴的距离是8，因此顶点纵坐标为$\pm8$，分两种情况讨论：
① 当顶点为$(1,8)$时，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+8$，
将$(3,0)$代入得：$0=a×(3-1)^2+8$，解得$a=-2$，
此时解析式为$y=-2(x-1)^2+8$；
② 当顶点为$(1,-8)$时，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-8$，
将$(3,0)$代入得：$0=a×(3-1)^2-8$，解得$a=2$，
此时解析式为$y=2(x-1)^2-8$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2+8$，$y=2(x-1)^2-8$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数图像与性质
3.分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是利用x轴交点确定对称轴，同时要注意“到x轴的距离”对应纵坐标的正负两种情况，避免漏解，合理选用顶点式可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数与x轴交点的对称性求对称轴：两个与x轴的交点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+3}{2}=1$。顶点在对称轴上，已知顶点到x轴的距离是8，距离为非负数，因此顶点纵坐标有8和-8两种情况，需要分类讨论。接下来设二次函数的顶点式，将已知的x轴交点坐标代入即可求出参数a，最终得到二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点是$(-1,0)$和$(3,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
∵顶点到x轴的距离是8，因此顶点纵坐标为$\pm8$，分两种情况讨论：
① 当顶点为$(1,8)$时，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2+8$，
将$(3,0)$代入得：$0=a×(3-1)^2+8$，解得$a=-2$，
此时解析式为$y=-2(x-1)^2+8$；
② 当顶点为$(1,-8)$时，设抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-8$，
将$(3,0)$代入得：$0=a×(3-1)^2-8$，解得$a=2$，
此时解析式为$y=2(x-1)^2-8$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2+8$，$y=2(x-1)^2-8$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数图像与性质
3.分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是利用x轴交点确定对称轴，同时要注意“到x轴的距离”对应纵坐标的正负两种情况，避免漏解，合理选用顶点式可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7
14 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(-1, 1) $，$ B(3, 4) $，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ＜ 0) $ 的顶点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上运动，且与 $ x $ 轴交于 $ C $、$ D $ 两点（点 $ C $ 在点 $ D $ 左侧）。
（1）如果点 $ P $ 在第一象限，且抛物线过点 $ A $，试求 $ a $ 的取值范围。
（2）如果 $ a = -\dfrac{3}{4} $，且抛物线与线段 $ AB $ 交于另一点 $ Q $，试求 $ PQ $ 的长。
（1）如果点 $ P $ 在第一象限，且抛物线过点 $ A $，试求 $ a $ 的取值范围。
（2）如果 $ a = -\dfrac{3}{4} $，且抛物线与线段 $ AB $ 交于另一点 $ Q $，试求 $ PQ $ 的长。
答案
14 (1) 设直线$AB$表达式为$y = kx + b(k ≠ 0)$,把点$A(-1, 1)$、$B(3, 4)$代入可得
$\begin{cases} -k + b = 1, \\ 3k + b = 4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{4}, \\ b = \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 所以直线$AB$表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$。设点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,则抛物线的表达式为$y=a(x-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,将点$A(-1, 1)$代入,可得$1=a(-1-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,整理得$(1+m)[a(1+m)+\dfrac{3}{4}]=0$。因为点$P$在第一象限,所以$0 ＜ m ≤ 3$,所以$m+1＞0$,所以$a(1+m)+\dfrac{3}{4}=0$,整理得$a=\dfrac{-3}{4+4m}$。因为$0 ＜ m ≤ 3$,所以$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$。
(2) 由$a = -\dfrac{3}{4}$,可得抛物线表达式为$y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,联立表达式可得
$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}, \\ y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 整理得$(x - m)(x - m + 1) = 0$,解得$x_1 = m$,$x_2 = m - 1$,得$y_2 = \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4}$,所以点$Q$的坐标为$(m - 1, \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4})$,由点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,所以$PQ = \sqrt{1 + (\dfrac{3}{4})^2} = \dfrac{5}{4}$。
$\begin{cases} -k + b = 1, \\ 3k + b = 4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{4}, \\ b = \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 所以直线$AB$表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$。设点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,则抛物线的表达式为$y=a(x-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,将点$A(-1, 1)$代入,可得$1=a(-1-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,整理得$(1+m)[a(1+m)+\dfrac{3}{4}]=0$。因为点$P$在第一象限,所以$0 ＜ m ≤ 3$,所以$m+1＞0$,所以$a(1+m)+\dfrac{3}{4}=0$,整理得$a=\dfrac{-3}{4+4m}$。因为$0 ＜ m ≤ 3$,所以$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$。
(2) 由$a = -\dfrac{3}{4}$,可得抛物线表达式为$y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$,联立表达式可得
$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}, \\ y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4}, \end{cases}$ 整理得$(x - m)(x - m + 1) = 0$,解得$x_1 = m$,$x_2 = m - 1$,得$y_2 = \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4}$,所以点$Q$的坐标为$(m - 1, \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4})$,由点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$,所以$PQ = \sqrt{1 + (\dfrac{3}{4})^2} = \dfrac{5}{4}$。
解析
【分析】
（1）先求出直线AB的解析式，由于抛物线顶点P在线段AB上，可设P点坐标为含参数m的形式，用顶点式写出抛物线解析式；将点A代入解析式得到a与m的关系式，再结合P在第一象限的条件确定m的取值范围，进而推导a的取值范围。
（2）已知a的取值，写出抛物线顶点式，将抛物线与直线AB的解析式联立求解，得到两个交点的横坐标，分别对应P、Q两点的横坐标；得到Q点坐标后，结合P点坐标，利用两点间距离公式计算PQ的长度即可。
【解析】
（1）设直线$AB$的解析式为$y = kx + b(k ≠ 0)$，把点$A(-1, 1)$、$B(3, 4)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 1 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{4} \\ b = \dfrac{7}{4} \end{cases}$，因此直线$AB$的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$。
设顶点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$，则抛物线的顶点式为$y=a(x-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$。
将点$A(-1,1)$代入抛物线解析式得：
$1=a(-1-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$
整理得$(1+m)[a(1+m)+\dfrac{3}{4}]=0$。
因为点$P$在第一象限，所以$0 ＜ m ≤ 3$，即$m+1＞0$，因此$a(1+m)+\dfrac{3}{4}=0$，整理得$a=\dfrac{-3}{4(1+m)}$。
由$0 ＜ m ≤ 3$得$1 ＜ 1+m ≤ 4$，因此$\dfrac{1}{4} ≤ \dfrac{1}{1+m} ＜ 1$，故$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$。
（2）当$a = -\dfrac{3}{4}$时，抛物线解析式为$y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$，联立直线$AB$的解析式得：
$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4} \\ y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4} \end{cases}$
消去$y$整理得：$(x - m)(x - m + 1) = 0$
解得$x_1 = m$（对应点$P$的横坐标），$x_2 = m - 1$（对应点$Q$的横坐标）。
将$x = m - 1$代入直线$AB$解析式，得$Q$点纵坐标为$\dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4}$，即$Q(m-1, \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4})$。
点$P$坐标为$(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$，两点横坐标差为1，纵坐标差为$\dfrac{3}{4}$，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{1^2 + (\dfrac{3}{4})^2} = \dfrac{5}{4}$
【答案】
（1）$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$；（2）$\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数顶点式；函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的性质，解题核心是利用顶点在直线上的特点设顶点式简化计算，第二问联立方程求交点后，可灵活结合直线的斜率简化两点距离的计算，对函数知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）先求出直线AB的解析式，由于抛物线顶点P在线段AB上，可设P点坐标为含参数m的形式，用顶点式写出抛物线解析式；将点A代入解析式得到a与m的关系式，再结合P在第一象限的条件确定m的取值范围，进而推导a的取值范围。
（2）已知a的取值，写出抛物线顶点式，将抛物线与直线AB的解析式联立求解，得到两个交点的横坐标，分别对应P、Q两点的横坐标；得到Q点坐标后，结合P点坐标，利用两点间距离公式计算PQ的长度即可。
【解析】
（1）设直线$AB$的解析式为$y = kx + b(k ≠ 0)$，把点$A(-1, 1)$、$B(3, 4)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 1 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{4} \\ b = \dfrac{7}{4} \end{cases}$，因此直线$AB$的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$。
设顶点$P(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$，则抛物线的顶点式为$y=a(x-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$。
将点$A(-1,1)$代入抛物线解析式得：
$1=a(-1-m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$
整理得$(1+m)[a(1+m)+\dfrac{3}{4}]=0$。
因为点$P$在第一象限，所以$0 ＜ m ≤ 3$，即$m+1＞0$，因此$a(1+m)+\dfrac{3}{4}=0$，整理得$a=\dfrac{-3}{4(1+m)}$。
由$0 ＜ m ≤ 3$得$1 ＜ 1+m ≤ 4$，因此$\dfrac{1}{4} ≤ \dfrac{1}{1+m} ＜ 1$，故$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$。
（2）当$a = -\dfrac{3}{4}$时，抛物线解析式为$y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4}$，联立直线$AB$的解析式得：
$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{4}(x - m)^2 + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4} \\ y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4} \end{cases}$
消去$y$整理得：$(x - m)(x - m + 1) = 0$
解得$x_1 = m$（对应点$P$的横坐标），$x_2 = m - 1$（对应点$Q$的横坐标）。
将$x = m - 1$代入直线$AB$解析式，得$Q$点纵坐标为$\dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4}$，即$Q(m-1, \dfrac{3}{4}(m - 1) + \dfrac{7}{4})$。
点$P$坐标为$(m, \dfrac{3}{4}m + \dfrac{7}{4})$，两点横坐标差为1，纵坐标差为$\dfrac{3}{4}$，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{1^2 + (\dfrac{3}{4})^2} = \dfrac{5}{4}$
【答案】
（1）$-\dfrac{3}{4} ＜ a ≤ -\dfrac{3}{16}$；（2）$\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数顶点式；函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的性质，解题核心是利用顶点在直线上的特点设顶点式简化计算，第二问联立方程求交点后，可灵活结合直线的斜率简化两点距离的计算，对函数知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
