12 已知二次函数的图像与$x$轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，且函数有最大值2。
(1) 求二次函数的表达式。
(2) 设二次函数的顶点为$P$，求$△ ABP$的面积。

12 (1) 因为二次函数的图像与x轴交于A(-2,0), B(3,0)两点,所以二次函数的对称轴为直线 $x=\dfrac{1}{2}$。因为函数有最大值2,可得顶点P坐标为$(\dfrac{1}{2},2)$。设二次函数的表达式为 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$,将点A(-2,0)代入可得 $a=-\dfrac{8}{25}$,所以二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$。
(2) 由A(-2,0), B(3,0), $P(\dfrac{1}{2},2)$,可得 $AB=5$,所以 $S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· |y_P|=\dfrac{1}{2}×5×2=5$。

13 已知二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$的图像的对称轴是$x=2$，且最高点在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上，求这个二次函数的表达式。

13 由题意得 $-\dfrac{-4m}{2(m^2 -2)}=2$,整理得 $m^2 -m -2=0$,解得 $m_1=2$, $m_2=-1$。因为函数有最高点,所以二次函数开口向下,所以 $m^2 -2＜0$,所以 $m=-1$,所以 $y=-x^2 +4x +n$。当 $x=2$时,$y=\dfrac{1}{2}x +1=2$,所以顶点的坐标为$(2,2)$。将顶点代入 $y=-x^2 +4x +n$,得 $2=-4+8+n$,解得 $n=-2$,所以二次函数的表达式为 $y=-x^2 +4x -2$。

14 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的最大值是$-3a$，且它的图像经过$(-1, -2)$，$(1, 6)$两点，求$a$、$b$、$c$的值。

14 把(-1,-2), (1,6)代入可得$\begin{cases}a + b + c =6,\\a - b + c =-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a + c =2,\\b =4,\end{cases}$所以二次函数的表达式为 $y=ax^2 +4x +2 -a$,顶点纵坐标$y=\dfrac{4ac -b^2}{4a}=\dfrac{4a(2 -a)-16}{4a}$。因为函数有最大值$-3a$,所以 $-3a=\dfrac{4a(2 -a)-16}{4a}$,整理得 $a^2 +a -2=0$,解得 $a_1=-2$, $a_2=1$。因为函数有最大值,所以 $a＜0$,所以 $a=-2$,所以 $c=4$,所以 $a=-2$, $b=c=4$。