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12 已知二次函数的图像与$x$轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，且函数有最大值2。
(1) 求二次函数的表达式。
(2) 设二次函数的顶点为$P$，求$△ ABP$的面积。
(1) 求二次函数的表达式。
(2) 设二次函数的顶点为$P$，求$△ ABP$的面积。
答案
12 (1) 因为二次函数的图像与x轴交于A(-2,0), B(3,0)两点,所以二次函数的对称轴为直线 $x=\dfrac{1}{2}$。因为函数有最大值2,可得顶点P坐标为$(\dfrac{1}{2},2)$。设二次函数的表达式为 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$,将点A(-2,0)代入可得 $a=-\dfrac{8}{25}$,所以二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$。
(2) 由A(-2,0), B(3,0), $P(\dfrac{1}{2},2)$,可得 $AB=5$,所以 $S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· |y_P|=\dfrac{1}{2}×5×2=5$。
(2) 由A(-2,0), B(3,0), $P(\dfrac{1}{2},2)$,可得 $AB=5$,所以 $S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· |y_P|=\dfrac{1}{2}×5×2=5$。
解析
【分析】
(1) 求解二次函数表达式时，首先根据二次函数的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先算出对称轴是两点横坐标的平均值；已知函数有最大值2，说明二次函数开口向下，顶点纵坐标就是最大值，由此可得顶点坐标。再设二次函数的顶点式，代入任意一个交点坐标求出参数a，就能得到函数表达式。
(2) 求△ABP的面积时，观察到A、B都在x轴上，AB的长度可直接用两点横坐标之差的绝对值计算；AB边上的高就是顶点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图像与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，
∴ 二次函数的对称轴为直线 $x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$，
又
∵ 函数有最大值2，
∴ 二次函数的顶点P坐标为$(\dfrac{1}{2},2)$，
设二次函数的表达式为 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$（$a≠0$），
将$A(-2,0)$代入表达式得：$0=a×(-2-\dfrac{1}{2})^2+2$，
整理得$\dfrac{25}{4}a+2=0$，解得$a=-\dfrac{8}{25}$，
∴ 二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$。
(2) 由$A(-2,0)$、$B(3,0)$，可得AB的长度为：$AB=|3-(-2)|=5$，
顶点P的纵坐标为2，即AB边上的高为2，
∴ $S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}× AB× |y_P|=\dfrac{1}{2}×5×2=5$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$
(2) $5$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题关键是利用二次函数与x轴交点的对称性快速确定顶点坐标，再结合待定系数法求解析式，计算坐标系内三角形面积时选择合适的底和高能简化运算，熟练掌握二次函数基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解二次函数表达式时，首先根据二次函数的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先算出对称轴是两点横坐标的平均值；已知函数有最大值2，说明二次函数开口向下，顶点纵坐标就是最大值，由此可得顶点坐标。再设二次函数的顶点式，代入任意一个交点坐标求出参数a，就能得到函数表达式。
(2) 求△ABP的面积时，观察到A、B都在x轴上，AB的长度可直接用两点横坐标之差的绝对值计算；AB边上的高就是顶点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)
∵ 二次函数的图像与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，
∴ 二次函数的对称轴为直线 $x=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$，
又
∵ 函数有最大值2，
∴ 二次函数的顶点P坐标为$(\dfrac{1}{2},2)$，
设二次函数的表达式为 $y=a(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$（$a≠0$），
将$A(-2,0)$代入表达式得：$0=a×(-2-\dfrac{1}{2})^2+2$，
整理得$\dfrac{25}{4}a+2=0$，解得$a=-\dfrac{8}{25}$，
∴ 二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$。
(2) 由$A(-2,0)$、$B(3,0)$，可得AB的长度为：$AB=|3-(-2)|=5$，
顶点P的纵坐标为2，即AB边上的高为2，
∴ $S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}× AB× |y_P|=\dfrac{1}{2}×5×2=5$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{8}{25}(x-\dfrac{1}{2})^2 +2$
(2) $5$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题关键是利用二次函数与x轴交点的对称性快速确定顶点坐标，再结合待定系数法求解析式，计算坐标系内三角形面积时选择合适的底和高能简化运算，熟练掌握二次函数基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
13 已知二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$的图像的对称轴是$x=2$，且最高点在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上，求这个二次函数的表达式。
答案
13 由题意得 $-\dfrac{-4m}{2(m^2 -2)}=2$,整理得 $m^2 -m -2=0$,解得 $m_1=2$, $m_2=-1$。因为函数有最高点,所以二次函数开口向下,所以 $m^2 -2＜0$,所以 $m=-1$,所以 $y=-x^2 +4x +n$。当 $x=2$时,$y=\dfrac{1}{2}x +1=2$,所以顶点的坐标为$(2,2)$。将顶点代入 $y=-x^2 +4x +n$,得 $2=-4+8+n$,解得 $n=-2$,所以二次函数的表达式为 $y=-x^2 +4x -2$。
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先回忆二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合题目给出的对称轴$x=2$，列出关于参数$m$的方程，求解得到$m$的两个可能值；②题目提到函数有最高点，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的$m$值，确定二次项系数和一次项系数；③最高点就是二次函数的顶点，顶点横坐标为2，代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$即可求出顶点的纵坐标，得到顶点坐标；④最后将顶点坐标代入二次函数表达式，求解得到$n$的值，即可确定完整的二次函数表达式。
【解析】
二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$中，二次项系数$a=m^2-2$，一次项系数$b=-4m$。
1. 由对称轴为$x=2$，代入对称轴公式得：
$-\frac{-4m}{2(m^2-2)}=2$
整理得$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
2. 因为函数有最高点，所以二次函数开口向下，即$a=m^2-2＜0$：
当$m=2$时，$m^2-2=4-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=1-2=-1＜0$，符合要求，故$m=-1$。
此时二次函数可写为$y=-x^2 +4x +n$。
3. 顶点横坐标为2，代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$得顶点纵坐标：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$，即顶点坐标为$(2,2)$。
4. 将$(2,2)$代入$y=-x^2 +4x +n$得：
$2=-2^2 +4×2 +n$，解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2 +4x -2$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数开口与系数关系；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础综合题，解题关键是准确理解“最高点”隐含的开口向下的条件，避免未筛选参数直接代入导致错误，同时要熟练掌握二次函数对称轴、顶点的相关性质。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①首先回忆二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合题目给出的对称轴$x=2$，列出关于参数$m$的方程，求解得到$m$的两个可能值；②题目提到函数有最高点，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的$m$值，确定二次项系数和一次项系数；③最高点就是二次函数的顶点，顶点横坐标为2，代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$即可求出顶点的纵坐标，得到顶点坐标；④最后将顶点坐标代入二次函数表达式，求解得到$n$的值，即可确定完整的二次函数表达式。
【解析】
二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$中，二次项系数$a=m^2-2$，一次项系数$b=-4m$。
1. 由对称轴为$x=2$，代入对称轴公式得：
$-\frac{-4m}{2(m^2-2)}=2$
整理得$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
2. 因为函数有最高点，所以二次函数开口向下，即$a=m^2-2＜0$：
当$m=2$时，$m^2-2=4-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=1-2=-1＜0$，符合要求，故$m=-1$。
此时二次函数可写为$y=-x^2 +4x +n$。
3. 顶点横坐标为2，代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$得顶点纵坐标：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$，即顶点坐标为$(2,2)$。
4. 将$(2,2)$代入$y=-x^2 +4x +n$得：
$2=-2^2 +4×2 +n$，解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2 +4x -2$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数开口与系数关系；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础综合题，解题关键是准确理解“最高点”隐含的开口向下的条件，避免未筛选参数直接代入导致错误，同时要熟练掌握二次函数对称轴、顶点的相关性质。
【难度系数】
0.6
14 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的最大值是$-3a$，且它的图像经过$(-1, -2)$，$(1, 6)$两点，求$a$、$b$、$c$的值。
答案
14 把(-1,-2), (1,6)代入可得$\begin{cases}a + b + c =6,\\a - b + c =-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a + c =2,\\b =4,\end{cases}$所以二次函数的表达式为 $y=ax^2 +4x +2 -a$,顶点纵坐标$y=\dfrac{4ac -b^2}{4a}=\dfrac{4a(2 -a)-16}{4a}$。因为函数有最大值$-3a$,所以 $-3a=\dfrac{4a(2 -a)-16}{4a}$,整理得 $a^2 +a -2=0$,解得 $a_1=-2$, $a_2=1$。因为函数有最大值,所以 $a＜0$,所以 $a=-2$,所以 $c=4$,所以 $a=-2$, $b=c=4$。
解析
【分析】
首先利用二次函数图像上点的坐标特征，将已知的两个点代入解析式，得到关于a、b、c的方程组，先消元求出b的值以及a和c的数量关系；再结合二次函数有最大值的条件，可知抛物线开口向下即a＜0，且最大值等于顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式列出关于a的方程，求解后根据a的取值范围舍去不符合的解，最后代入求出c的值即可。
【解析】
解：将点$(-1,-2)$、$(1,6)$代入二次函数$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} a - b + c = -2 \\ a + b + c = 6 \end{cases}$
两式相加消去$b$，得$2a+2c=4$，化简为$a+c=2$；两式相减消去$a、c$，得$2b=8$，解得$b=4$。
由此可得$c=2-a$，二次函数解析式可写为$y=ax^2+4x+2-a$。
因为二次函数有最大值$-3a$，所以抛物线开口向下，即$a＜0$，且最大值等于顶点纵坐标，结合顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，可列方程：
$\frac{4a(2-a)-4^2}{4a}=-3a$
化简得：$\frac{8a-4a^2-16}{4a}=-3a$
两边同乘$4a$（$a≠0$）得：$8a-4a^2-16=-12a^2$
移项整理得：$a^2+a-2=0$
因式分解得$(a+2)(a-1)=0$，解得$a_1=-2$，$a_2=1$。
结合$a＜0$的限制，舍去$a=1$，取$a=-2$。
将$a=-2$代入$c=2-a$，得$c=2-(-2)=4$。
【答案】
$a=-2$，$b=4$，$c=4$
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础综合题，核心考查对二次函数最值和顶点坐标公式的应用，解题时要注意二次函数有最大值对应开口向下，切勿忽略a的取值范围导致出现增解。
【难度系数】
0.6
首先利用二次函数图像上点的坐标特征，将已知的两个点代入解析式，得到关于a、b、c的方程组，先消元求出b的值以及a和c的数量关系；再结合二次函数有最大值的条件，可知抛物线开口向下即a＜0，且最大值等于顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式列出关于a的方程，求解后根据a的取值范围舍去不符合的解，最后代入求出c的值即可。
【解析】
解：将点$(-1,-2)$、$(1,6)$代入二次函数$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} a - b + c = -2 \\ a + b + c = 6 \end{cases}$
两式相加消去$b$，得$2a+2c=4$，化简为$a+c=2$；两式相减消去$a、c$，得$2b=8$，解得$b=4$。
由此可得$c=2-a$，二次函数解析式可写为$y=ax^2+4x+2-a$。
因为二次函数有最大值$-3a$，所以抛物线开口向下，即$a＜0$，且最大值等于顶点纵坐标，结合顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，可列方程：
$\frac{4a(2-a)-4^2}{4a}=-3a$
化简得：$\frac{8a-4a^2-16}{4a}=-3a$
两边同乘$4a$（$a≠0$）得：$8a-4a^2-16=-12a^2$
移项整理得：$a^2+a-2=0$
因式分解得$(a+2)(a-1)=0$，解得$a_1=-2$，$a_2=1$。
结合$a＜0$的限制，舍去$a=1$，取$a=-2$。
将$a=-2$代入$c=2-a$，得$c=2-(-2)=4$。
【答案】
$a=-2$，$b=4$，$c=4$
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础综合题，核心考查对二次函数最值和顶点坐标公式的应用，解题时要注意二次函数有最大值对应开口向下，切勿忽略a的取值范围导致出现增解。
【难度系数】
0.6
