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13 如图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B、D,某海岛上的观测塔A距离海岸5海里,在A处测得B位于南偏西22°方向。一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南偏东67°方向。求此时观测塔A与渔船C之间的距离(结果精确到0.1海里)。(参考数据: $\sin22°\approx\frac{3}{8}$, $\cos22°\approx\frac{15}{16}$, $\tan22°\approx\frac{2}{5}$, $\sin67°\approx\frac{12}{13}$, $\cos67°\approx\frac{5}{13}$, $\tan67°\approx\frac{12}{5}$)
答案
13.4.3海里
解析
【分析】
这是方向角结合解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角四边形和直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中：①过A作AE垂直海岸BD于E，过C作CF垂直AE于F，可得矩形CDEF，即CF=DE；②先在Rt△ABE中，利用已知的∠BAE=22°和AE=5海里，通过正切函数求出BE的长度，结合BD=6海里算出DE即CF的长度；③再在Rt△ACF中，利用已知的∠CAF=67°和CF的长度，通过正弦函数求出AC的长度。
【解析】
解：过点$ A $作$ AE ⊥ BD $于点$ E $，过点$ C $作$ CF ⊥ AE $于点$ F $，
则四边形$ CDEF $为矩形，因此$ CF=DE $。
由题意可知：$ AE=5 $海里，$ BD=6 $海里，$ ∠ BAE=22° $，$ ∠ CAF=67° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABE $中，$ ∠ AEB=90° $，
$ \tan∠ BAE=\frac{BE}{AE} $，
代入数据得：$ BE=AE·\tan22°\approx5×\frac{2}{5}=2 $海里。
因此$ DE=BD-BE=6-2=4 $海里，即$ CF=4 $海里。
在$ \mathrm{Rt}△ ACF $中，$ ∠ AFC=90° $，
$ \sin∠ CAF=\frac{CF}{AC} $，
变形得$ AC=\frac{CF}{\sin67°}\approx4÷\frac{12}{13}=\frac{13}{3}\approx4.3 $海里。
【答案】
4.3海里
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类常考题，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的长度、角度条件转化为直角三角形的边角关系计算，难度适中，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
这是方向角结合解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角四边形和直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中：①过A作AE垂直海岸BD于E，过C作CF垂直AE于F，可得矩形CDEF，即CF=DE；②先在Rt△ABE中，利用已知的∠BAE=22°和AE=5海里，通过正切函数求出BE的长度，结合BD=6海里算出DE即CF的长度；③再在Rt△ACF中，利用已知的∠CAF=67°和CF的长度，通过正弦函数求出AC的长度。
【解析】
解：过点$ A $作$ AE ⊥ BD $于点$ E $，过点$ C $作$ CF ⊥ AE $于点$ F $，
则四边形$ CDEF $为矩形，因此$ CF=DE $。
由题意可知：$ AE=5 $海里，$ BD=6 $海里，$ ∠ BAE=22° $，$ ∠ CAF=67° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABE $中，$ ∠ AEB=90° $，
$ \tan∠ BAE=\frac{BE}{AE} $，
代入数据得：$ BE=AE·\tan22°\approx5×\frac{2}{5}=2 $海里。
因此$ DE=BD-BE=6-2=4 $海里，即$ CF=4 $海里。
在$ \mathrm{Rt}△ ACF $中，$ ∠ AFC=90° $，
$ \sin∠ CAF=\frac{CF}{AC} $，
变形得$ AC=\frac{CF}{\sin67°}\approx4÷\frac{12}{13}=\frac{13}{3}\approx4.3 $海里。
【答案】
4.3海里
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类常考题，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的长度、角度条件转化为直角三角形的边角关系计算，难度适中，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
14 如图是小明家房屋的纵截面图，其中线段 AB 为屋内地面，线段 AE、BC 为房屋两侧的墙，线段 CD、DE 为屋顶的斜坡。已知 AB = 6 米，AE = BC = 3.2 米，CD = DE，斜坡 CD、DE 的坡度均为 1：2。
（1）求屋顶顶点 D 到地面 AB 的距离。
（2）已知在墙 AE 距离地面 1.1 米处装有窗 ST，如果阳光与地面的夹角 ∠MNP = β = 53°，为了防止阳光通过窗 ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙 AE 端点 E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 EF），公司设计的遮阳棚可作 90°旋转，即 0°＜∠FET = α ≤ 90°，长度为 1.4 米。试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$，$\sqrt{10} \approx 3.16$，$\sin53°=0.8$，$\cos53°=0.6$，$\tan53°=\frac{4}{3}$）
第 14 题图
（1）求屋顶顶点 D 到地面 AB 的距离。
（2）已知在墙 AE 距离地面 1.1 米处装有窗 ST，如果阳光与地面的夹角 ∠MNP = β = 53°，为了防止阳光通过窗 ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙 AE 端点 E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 EF），公司设计的遮阳棚可作 90°旋转，即 0°＜∠FET = α ≤ 90°，长度为 1.4 米。试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$，$\sqrt{10} \approx 3.16$，$\sin53°=0.8$，$\cos53°=0.6$，$\tan53°=\frac{4}{3}$）
第 14 题图
答案
14 (1) 4.7米
(2) 能够。当$α =β =53°$时,过点$F$作$FK ⊥ EF$,交$AE$于点$K$。在$\mathrm{Rt}△ EFK$中,$∠ F=90°$,$EK=\frac{EF}{\cosα}=\frac{7}{3}\approx 2.3$。又因为$ES=3.2-1.1=2.1$,则$EK＞ES$,所以当$α =53°$时,可以遮挡住阳光通过窗$ST$照射到屋内。
(2) 能够。当$α =β =53°$时,过点$F$作$FK ⊥ EF$,交$AE$于点$K$。在$\mathrm{Rt}△ EFK$中,$∠ F=90°$,$EK=\frac{EF}{\cosα}=\frac{7}{3}\approx 2.3$。又因为$ES=3.2-1.1=2.1$,则$EK＞ES$,所以当$α =53°$时,可以遮挡住阳光通过窗$ST$照射到屋内。
解析
【分析】
（1）求屋顶D到地面AB的距离，首先由CD=DE可知D在AB的垂直平分线上，过D作AB的垂线可得D到墙AE的水平距离为AB长度的一半3米；再结合斜坡DE坡度为1:2（坡度=垂直高度变化:水平距离变化），可算出D比E点高出的高度，加上墙AE的高度即可得到D到地面的距离。
（2）判断遮阳棚是否符合要求，只需验证1.4米长的遮阳棚能否挡住沿窗上沿S入射的阳光：先算出窗上沿S到E点的距离ES，再构造直角三角形，利用三角函数算出遮阳棚在α=53°时可遮挡的竖直高度，和ES比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）过点D作$DG ⊥ AB$，垂足为G。
$\because CD=DE$，$AB=6\mathrm{m}$，$\therefore$G是AB中点，D到AE的水平距离$AG=3\mathrm{m}$。
$\because$斜坡DE的坡度为$1:2$，即竖直升高量:水平前进量$=1:2$，
$\therefore$D比E点高出的高度为$3× \frac{1}{2}=1.5\mathrm{m}$。
又$\because AE=3.2\mathrm{m}$，$\therefore DG=3.2+1.5=4.7\mathrm{m}$。
（2）公司设计的遮阳棚能达到小明要求，理由如下：
由题意得，窗上沿S到地面距离为$1.1\mathrm{m}$，$\therefore ES=AE-AS=3.2-1.1=2.1\mathrm{m}$。
当$α =β =53°$时，过点F作$FK ⊥ EF$，交AE于点K。
在$\mathrm{Rt}△ EFK$中，$∠ FEK=α=53°$，$EF=1.4\mathrm{m}$，$\cos53°=0.6$，
由$\cosα=\frac{EF}{EK}$得：$EK=\frac{EF}{\cosα}=\frac{1.4}{0.6}\approx2.3\mathrm{m}$。
$\because 2.3＞2.1$，即$EK＞ES$，说明此时遮阳棚可挡住经过S点入射的阳光，因此能达到要求。
【答案】
（1）$\boxed{4.7}$米；（2）$\boxed{能达到要求}$，理由见解析。
【知识点】
1. 坡度的应用
2. 解直角三角形
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题结合房屋建筑、遮阳棚的生活场景考查解直角三角形的实际应用，需要准确理解坡度、夹角的概念，合理构造直角三角形运用三角函数求解，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求屋顶D到地面AB的距离，首先由CD=DE可知D在AB的垂直平分线上，过D作AB的垂线可得D到墙AE的水平距离为AB长度的一半3米；再结合斜坡DE坡度为1:2（坡度=垂直高度变化:水平距离变化），可算出D比E点高出的高度，加上墙AE的高度即可得到D到地面的距离。
（2）判断遮阳棚是否符合要求，只需验证1.4米长的遮阳棚能否挡住沿窗上沿S入射的阳光：先算出窗上沿S到E点的距离ES，再构造直角三角形，利用三角函数算出遮阳棚在α=53°时可遮挡的竖直高度，和ES比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）过点D作$DG ⊥ AB$，垂足为G。
$\because CD=DE$，$AB=6\mathrm{m}$，$\therefore$G是AB中点，D到AE的水平距离$AG=3\mathrm{m}$。
$\because$斜坡DE的坡度为$1:2$，即竖直升高量:水平前进量$=1:2$，
$\therefore$D比E点高出的高度为$3× \frac{1}{2}=1.5\mathrm{m}$。
又$\because AE=3.2\mathrm{m}$，$\therefore DG=3.2+1.5=4.7\mathrm{m}$。
（2）公司设计的遮阳棚能达到小明要求，理由如下：
由题意得，窗上沿S到地面距离为$1.1\mathrm{m}$，$\therefore ES=AE-AS=3.2-1.1=2.1\mathrm{m}$。
当$α =β =53°$时，过点F作$FK ⊥ EF$，交AE于点K。
在$\mathrm{Rt}△ EFK$中，$∠ FEK=α=53°$，$EF=1.4\mathrm{m}$，$\cos53°=0.6$，
由$\cosα=\frac{EF}{EK}$得：$EK=\frac{EF}{\cosα}=\frac{1.4}{0.6}\approx2.3\mathrm{m}$。
$\because 2.3＞2.1$，即$EK＞ES$，说明此时遮阳棚可挡住经过S点入射的阳光，因此能达到要求。
【答案】
（1）$\boxed{4.7}$米；（2）$\boxed{能达到要求}$，理由见解析。
【知识点】
1. 坡度的应用
2. 解直角三角形
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题结合房屋建筑、遮阳棚的生活场景考查解直角三角形的实际应用，需要准确理解坡度、夹角的概念，合理构造直角三角形运用三角函数求解，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
