登录
1 下列各种现象属于中心投影现象的是(
A.上午人走在路上的影子
B.晚上人走在路灯下的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.早上升旗时地面上旗杆的影子
B
)。A.上午人走在路上的影子
B.晚上人走在路灯下的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.早上升旗时地面上旗杆的影子
答案
1 B
解析
【分析】
解题时首先要明确中心投影和平行投影的核心区别：两者的光源类型不同，中心投影由点光源发出的发散光线形成，平行投影由平行光线（最典型的是太阳光）形成。接下来我们只需逐一判断各选项的光源类型即可：太阳光照射形成的影子属于平行投影，点光源照射形成的影子属于中心投影，结合常见的光源实例就能快速解题。
【解析】
首先明确投影的相关定义：
1. 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；
2. 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影。
逐一分析选项：
A. 上午人走在路上的影子，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意；
B. 晚上人走在路灯下的影子，路灯属于点光源，形成的投影是中心投影，符合题意；
C. 中午的树影，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意；
D. 早上升旗时旗杆的影子，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
中心投影判定，平行投影判定，投影类型区分
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住中心投影和平行投影的本质差异——光源类型，只要牢记太阳光属于平行光源，路灯、手电筒等属于点光源，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确中心投影和平行投影的核心区别：两者的光源类型不同，中心投影由点光源发出的发散光线形成，平行投影由平行光线（最典型的是太阳光）形成。接下来我们只需逐一判断各选项的光源类型即可：太阳光照射形成的影子属于平行投影，点光源照射形成的影子属于中心投影，结合常见的光源实例就能快速解题。
【解析】
首先明确投影的相关定义：
1. 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；
2. 平行投影：由平行光线（如太阳光）形成的投影。
逐一分析选项：
A. 上午人走在路上的影子，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意；
B. 晚上人走在路灯下的影子，路灯属于点光源，形成的投影是中心投影，符合题意；
C. 中午的树影，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意；
D. 早上升旗时旗杆的影子，光源是太阳光，属于平行投影，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
中心投影判定，平行投影判定，投影类型区分
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住中心投影和平行投影的本质差异——光源类型，只要牢记太阳光属于平行光源，路灯、手电筒等属于点光源，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2 如图,小红居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小红由A处径直走到B处,她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图像表示出来大致是(
C
)。答案
2 C
解析
【分析】
解题时首先回忆中心投影的影长变化规律：人在路灯照射下，离路灯越近，影子越短，离路灯越远，影子越长。接下来分两段分析小红的行走过程：第一段是从A处走到路灯正下方，此过程中行走路程s逐渐增加，人和路灯的距离逐渐减小，影长l逐渐缩短，走到路灯正下方时影长为0；第二段是从路灯正下方走到B处，此过程中行走路程s继续增加，人和路灯的距离逐渐增大，影长l逐渐变长。结合这两个阶段影长的变化趋势，对应匹配选项中的图像即可。
【解析】
根据中心投影的性质：等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长。
1. 小红从A处向路灯正下方行走：随着行走路程s增大，小红与路灯的距离不断减小，因此影长l逐渐减小，当到达路灯正下方时，影长l=0；
2. 小红从路灯正下方向B处行走：随着行走路程s继续增大，小红与路灯的距离不断增大，因此影长l逐渐增大。
综上，影长l随s的变化规律是先减小至0，再增大，对应图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
中心投影的特征；函数图像的实际应用
【点评】
本题结合生活中的行走场景考查中心投影的相关知识，解题的关键是理清行走过程中人到路灯的距离变化与影长变化的对应关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆中心投影的影长变化规律：人在路灯照射下，离路灯越近，影子越短，离路灯越远，影子越长。接下来分两段分析小红的行走过程：第一段是从A处走到路灯正下方，此过程中行走路程s逐渐增加，人和路灯的距离逐渐减小，影长l逐渐缩短，走到路灯正下方时影长为0；第二段是从路灯正下方走到B处，此过程中行走路程s继续增加，人和路灯的距离逐渐增大，影长l逐渐变长。结合这两个阶段影长的变化趋势，对应匹配选项中的图像即可。
【解析】
根据中心投影的性质：等高的物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长。
1. 小红从A处向路灯正下方行走：随着行走路程s增大，小红与路灯的距离不断减小，因此影长l逐渐减小，当到达路灯正下方时，影长l=0；
2. 小红从路灯正下方向B处行走：随着行走路程s继续增大，小红与路灯的距离不断增大，因此影长l逐渐增大。
综上，影长l随s的变化规律是先减小至0，再增大，对应图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
中心投影的特征；函数图像的实际应用
【点评】
本题结合生活中的行走场景考查中心投影的相关知识，解题的关键是理清行走过程中人到路灯的距离变化与影长变化的对应关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
3 如图，在平面直角坐标系中，点P(3,2)是一个光源。木杆AB两端的坐标分别为A(0,1),B(4,1)。则木杆AB在x轴上的投影长为（
A.4
B.5
C.6
D.8
D
）。A.4
B.5
C.6
D.8
答案
3 D
解析
【分析】
要计算木杆AB在x轴上的投影长，根据中心投影的性质，投影的两个端点分别是光源P与木杆端点A、B的连线延长后和x轴的交点，我们可以先求出直线PA、PB的解析式，再分别计算两条直线与x轴的交点坐标，最后计算两个交点之间的距离即为投影长。
【解析】
1. 求直线PA的解析式：
设直线PA的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0,1)$、$P(3,2)$代入：
代入$A(0,1)$得$b_1=1$，再代入$P(3,2)$：$2=3k_1+1$，解得$k_1=\frac{1}{3}$，
因此直线PA的解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$。
令$y=0$，得$0=\frac{1}{3}x+1$，解得$x=-3$，即直线PA与x轴交点为$(-3,0)$。
2. 求直线PB的解析式：
设直线PB的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(4,1)$、$P(3,2)$代入：
可得方程组$\begin{cases}3k_2+b_2=2\\4k_2+b_2=1\end{cases}$，两式相减得$k_2=-1$，代入$3k_2+b_2=2$得$b_2=5$，
因此直线PB的解析式为$y=-x+5$。
令$y=0$，得$0=-x+5$，解得$x=5$，即直线PB与x轴交点为$(5,0)$。
3. 计算投影长：
两个交点的距离为$5-(-3)=8$，即木杆AB在x轴上的投影长为8。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，一次函数的应用，坐标运算
【点评】
本题将中心投影的几何性质与一次函数的计算结合，解题核心是理解中心投影的形成原理，通过求解直线解析式得到投影端点坐标，能很好地考察学生知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算木杆AB在x轴上的投影长，根据中心投影的性质，投影的两个端点分别是光源P与木杆端点A、B的连线延长后和x轴的交点，我们可以先求出直线PA、PB的解析式，再分别计算两条直线与x轴的交点坐标，最后计算两个交点之间的距离即为投影长。
【解析】
1. 求直线PA的解析式：
设直线PA的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0,1)$、$P(3,2)$代入：
代入$A(0,1)$得$b_1=1$，再代入$P(3,2)$：$2=3k_1+1$，解得$k_1=\frac{1}{3}$，
因此直线PA的解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$。
令$y=0$，得$0=\frac{1}{3}x+1$，解得$x=-3$，即直线PA与x轴交点为$(-3,0)$。
2. 求直线PB的解析式：
设直线PB的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(4,1)$、$P(3,2)$代入：
可得方程组$\begin{cases}3k_2+b_2=2\\4k_2+b_2=1\end{cases}$，两式相减得$k_2=-1$，代入$3k_2+b_2=2$得$b_2=5$，
因此直线PB的解析式为$y=-x+5$。
令$y=0$，得$0=-x+5$，解得$x=5$，即直线PB与x轴交点为$(5,0)$。
3. 计算投影长：
两个交点的距离为$5-(-3)=8$，即木杆AB在x轴上的投影长为8。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，一次函数的应用，坐标运算
【点评】
本题将中心投影的几何性质与一次函数的计算结合，解题核心是理解中心投影的形成原理，通过求解直线解析式得到投影端点坐标，能很好地考察学生知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
④ 身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子
④ 身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子
短
。（填“长”或“短”）答案
4 短
解析
【分析】
首先明确本题考查中心投影的相关规律，解题思路如下：第一步先判断投影类型，路灯属于点光源，其照射形成的投影为中心投影；第二步回忆中心投影的性质：高度相同的物体垂直放置在地面时，距离点光源越近，影子长度越短，距离点光源越远，影子长度越长；第三步对比甲、乙两人到路灯的距离，甲距路灯2米，乙距路灯3米，甲离点光源更近，因此可推出甲的影子更短。
【解析】
路灯属于点光源，其产生的投影为中心投影。根据中心投影的规律：当等高的物体垂直于地面放置在同一点光源下时，物体距离点光源越近，影子越短，距离点光源越远，影子越长。
已知甲、乙身高相同，甲距离路灯2米，乙距离路灯3米，甲到路灯（点光源）的距离小于乙到路灯的距离，因此甲的影子比乙的影子短。
【答案】
短
【知识点】
中心投影；中心投影影长规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的基本规律，解题关键是掌握等高物体在同一点光源下影长与到光源距离的关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查中心投影的相关规律，解题思路如下：第一步先判断投影类型，路灯属于点光源，其照射形成的投影为中心投影；第二步回忆中心投影的性质：高度相同的物体垂直放置在地面时，距离点光源越近，影子长度越短，距离点光源越远，影子长度越长；第三步对比甲、乙两人到路灯的距离，甲距路灯2米，乙距路灯3米，甲离点光源更近，因此可推出甲的影子更短。
【解析】
路灯属于点光源，其产生的投影为中心投影。根据中心投影的规律：当等高的物体垂直于地面放置在同一点光源下时，物体距离点光源越近，影子越短，距离点光源越远，影子越长。
已知甲、乙身高相同，甲距离路灯2米，乙距离路灯3米，甲到路灯（点光源）的距离小于乙到路灯的距离，因此甲的影子比乙的影子短。
【答案】
短
【知识点】
中心投影；中心投影影长规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的基本规律，解题关键是掌握等高物体在同一点光源下影长与到光源距离的关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
5 在一盏路灯旁的地面上竖直立着两根木杆，两根木杆在这盏路灯下形成各自的影子，则这两根木杆、它们的影子和它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形
可能
相似。（填“可能”或“不可能”）答案
5 可能
解析
【分析】
解题时首先明确两个三角形的形状：木杆竖直立在地面，和地面上的影子垂直，因此两个三角形都是直角三角形，都有一个直角。接着结合中心投影的特征（点光源发出光线，木杆顶端、影子顶端、点光源三点共线）和相似三角形的判定规则思考：若要两个直角三角形相似，只需满足一组锐角相等或两组直角边对应成比例。我们可以找到满足相似的情况，也存在不相似的情况，因此可判断是可能相似。
【解析】
因为两根木杆竖直立在地面上，所以木杆与各自的影子互相垂直，两个三角形均为直角三角形，都含有直角。
①当两根木杆高度相等，且到路灯的水平距离相等时，根据中心投影的规律，二者的影长也相等，此时两个直角三角形的两组直角边对应成比例（比值为1），两三角形全等，全等是相似的特殊情况，因此此时两三角形相似；
②当两根木杆到路灯的水平距离不同时，二者的物高与影长的比值不相等，两个直角三角形的直角边对应不成比例，此时两三角形不相似。
综上，两个三角形可能相似。
【答案】
可能
【知识点】
中心投影的特点、相似三角形的判定
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似的判定，需要注意区分中心投影和平行投影的差异，同时要考虑到多种情况，避免思维定式认为中心投影下的对应三角形一定不相似。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个三角形的形状：木杆竖直立在地面，和地面上的影子垂直，因此两个三角形都是直角三角形，都有一个直角。接着结合中心投影的特征（点光源发出光线，木杆顶端、影子顶端、点光源三点共线）和相似三角形的判定规则思考：若要两个直角三角形相似，只需满足一组锐角相等或两组直角边对应成比例。我们可以找到满足相似的情况，也存在不相似的情况，因此可判断是可能相似。
【解析】
因为两根木杆竖直立在地面上，所以木杆与各自的影子互相垂直，两个三角形均为直角三角形，都含有直角。
①当两根木杆高度相等，且到路灯的水平距离相等时，根据中心投影的规律，二者的影长也相等，此时两个直角三角形的两组直角边对应成比例（比值为1），两三角形全等，全等是相似的特殊情况，因此此时两三角形相似；
②当两根木杆到路灯的水平距离不同时，二者的物高与影长的比值不相等，两个直角三角形的直角边对应不成比例，此时两三角形不相似。
综上，两个三角形可能相似。
【答案】
可能
【知识点】
中心投影的特点、相似三角形的判定
【点评】
本题结合生活中的投影现象考查相似的判定，需要注意区分中心投影和平行投影的差异，同时要考虑到多种情况，避免思维定式认为中心投影下的对应三角形一定不相似。
【难度系数】
0.7
6 如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为$3:5$,且三角板的一边长为$6\ \mathrm{cm}$,则投影三角板的对应边长为
10 cm
。答案
6 10 cm
解析
【分析】
本题属于中心投影结合相似性质的应用题，解题思路如下：第一步，明确相似比的定义，题目中给出的三角板与其投影的相似比为3:5，即三角板的边长:投影三角板的对应边长=3:5；第二步，设投影对应边长为未知数，根据相似图形对应边成比例列比例式；第三步，求解比例式得到结果。
【解析】
解：设投影三角板的对应边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 相似图形的对应边之比等于相似比，三角板与其投影的相似比为$3:5$，三角板的对应边长为$6\ \mathrm{cm}$
∴ $\frac{6}{x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3x = 6×5$
解得：$x=10$
即投影三角板的对应边长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
中心投影的性质；相似图形的性质
【点评】
本题是基础应用题，重点考查相似比的实际应用，解题的核心是准确理解相似比前后项对应的图形，避免搞反比例关系导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于中心投影结合相似性质的应用题，解题思路如下：第一步，明确相似比的定义，题目中给出的三角板与其投影的相似比为3:5，即三角板的边长:投影三角板的对应边长=3:5；第二步，设投影对应边长为未知数，根据相似图形对应边成比例列比例式；第三步，求解比例式得到结果。
【解析】
解：设投影三角板的对应边长为$x\ \mathrm{cm}$。
∵ 相似图形的对应边之比等于相似比，三角板与其投影的相似比为$3:5$，三角板的对应边长为$6\ \mathrm{cm}$
∴ $\frac{6}{x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3x = 6×5$
解得：$x=10$
即投影三角板的对应边长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
中心投影的性质；相似图形的性质
【点评】
本题是基础应用题，重点考查相似比的实际应用，解题的核心是准确理解相似比前后项对应的图形，避免搞反比例关系导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7 如图，晚上小红由路灯A走向大楼B，当她走到点P时，发现她的影子顶部正好接触到大楼B的底部，此时她距离路灯A 20米，距离大楼B 5米。如果小红的身高为1.2米，那么路灯A的高度是
6
米。答案
7 6
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质求解。首先观察图形可知，路灯的高度与小红的身高都垂直于地面，因此两条线段互相平行，可得到两个含公共角的直角三角形，判定三角形相似后，根据相似三角形对应边成比例列方程，代入已知数据计算即可得到路灯高度。
【解析】
设路灯A的高度为$ x $米，记路灯顶部为点$ O $。
由题意可知：$ OA ⊥ AB $，$ CP ⊥ AB $，因此$ ∠ OAB = ∠ CPB = 90° $，
又$ ∠ B $为$ △ OAB $和$ △ CPB $的公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$ △ OAB ∽ △ CPB $。
由已知得$ AP=20\mathrm{m} $，$ PB=5\mathrm{m} $，$ CP=1.2\mathrm{m} $，因此$ AB=AP+PB=20+5=25\mathrm{m} $。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CP}{OA} = \frac{PB}{AB}$
代入数据得：
$\frac{1.2}{x} = \frac{5}{25}$
解得$ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是中心投影结合相似三角形的基础应用题，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似的性质建立比例关系求解，能较好地考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质求解。首先观察图形可知，路灯的高度与小红的身高都垂直于地面，因此两条线段互相平行，可得到两个含公共角的直角三角形，判定三角形相似后，根据相似三角形对应边成比例列方程，代入已知数据计算即可得到路灯高度。
【解析】
设路灯A的高度为$ x $米，记路灯顶部为点$ O $。
由题意可知：$ OA ⊥ AB $，$ CP ⊥ AB $，因此$ ∠ OAB = ∠ CPB = 90° $，
又$ ∠ B $为$ △ OAB $和$ △ CPB $的公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$ △ OAB ∽ △ CPB $。
由已知得$ AP=20\mathrm{m} $，$ PB=5\mathrm{m} $，$ CP=1.2\mathrm{m} $，因此$ AB=AP+PB=20+5=25\mathrm{m} $。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CP}{OA} = \frac{PB}{AB}$
代入数据得：
$\frac{1.2}{x} = \frac{5}{25}$
解得$ x=6 $。
【答案】
6
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是中心投影结合相似三角形的基础应用题，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用相似的性质建立比例关系求解，能较好地考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
