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9 如图,一艘船向正北航行,在A处看到灯塔S在船的北偏东$30°$的方向上,航行12海里到达B处,在B处看到灯塔S在船的东北方向上,此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是
第9题图 第10题图
$6\sqrt{3}+6$
海里。(结果保留根号)第9题图 第10题图
答案
9.$6\sqrt{3}+6$
解析
【分析】
要求船继续沿正北航行距灯塔S的最近距离，即过S向正北航线作垂线，垂线段的长度就是所求最短距离。我们可以设该距离为x，先结合东北方向（北偏东45°）得到等腰直角三角形，推出沿航线方向的线段长度关系，再利用A处的北偏东30°角，在直角三角形中用正切三角函数列出关于x的方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点S作SC⊥AB，交AB的延长线于点C，则SC即为船继续正北航行时距灯塔S的最近距离。
设SC = x 海里：
1. 由B处看灯塔S为东北方向，可知∠SBC = 45°，在Rt△SBC中，∠C=90°，∠SBC=45°，因此BC = SC = x 海里。
2. 已知AB=12海里，因此AC = AB + BC = (12 + x) 海里。
3. 在A处看灯塔S为北偏东30°，即∠A=30°，在Rt△SAC中，$\tan∠A = \frac{SC}{AC}$，代入数据得：
$\tan30° = \frac{x}{12+x}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{12+x}$
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x) = 3x$
整理得：$3x - \sqrt{3}x = 12\sqrt{3}$
$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$
分母有理化求解：
$x = \frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3} + 36}{9-3} = 6\sqrt{3} + 6$
【答案】
$6\sqrt{3}+6$
【知识点】
方位角问题，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的典型应用，解题的核心是作垂线构造直角三角形，结合方位角的定义找到边角之间的等量关系列方程，计算时注意正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.6
要求船继续沿正北航行距灯塔S的最近距离，即过S向正北航线作垂线，垂线段的长度就是所求最短距离。我们可以设该距离为x，先结合东北方向（北偏东45°）得到等腰直角三角形，推出沿航线方向的线段长度关系，再利用A处的北偏东30°角，在直角三角形中用正切三角函数列出关于x的方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点S作SC⊥AB，交AB的延长线于点C，则SC即为船继续正北航行时距灯塔S的最近距离。
设SC = x 海里：
1. 由B处看灯塔S为东北方向，可知∠SBC = 45°，在Rt△SBC中，∠C=90°，∠SBC=45°，因此BC = SC = x 海里。
2. 已知AB=12海里，因此AC = AB + BC = (12 + x) 海里。
3. 在A处看灯塔S为北偏东30°，即∠A=30°，在Rt△SAC中，$\tan∠A = \frac{SC}{AC}$，代入数据得：
$\tan30° = \frac{x}{12+x}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{12+x}$
交叉相乘得：$\sqrt{3}(12+x) = 3x$
整理得：$3x - \sqrt{3}x = 12\sqrt{3}$
$x(3-\sqrt{3})=12\sqrt{3}$
分母有理化求解：
$x = \frac{12\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3} + 36}{9-3} = 6\sqrt{3} + 6$
【答案】
$6\sqrt{3}+6$
【知识点】
方位角问题，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的典型应用，解题的核心是作垂线构造直角三角形，结合方位角的定义找到边角之间的等量关系列方程，计算时注意正确进行分母有理化。
【难度系数】
0.6
10 如图,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是$45°$,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度$i=1:\sqrt{3}$,则大楼AB的高度约为
39.4
米。(精确到0.1米,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sqrt{6}\approx2.45$)答案
10.39.4
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先作辅助线构造直角三角形和矩形：过点B作BF⊥CD于F，过点E作EG⊥AB于G，可得四边形EGDF是矩形，将不规则图形转化为熟悉的几何图形求解。2. 先解Rt△BCF，根据坡度的定义求出∠BCF的度数，结合坡长BC算出梯坎的竖直高度BF和水平宽度FC。3. 根据俯角α=45°的性质，可得△AEG是等腰直角三角形，即AG=EG，而EG的长度等于FC与CD的和。4. 最后AB的高度为AG与GB的和，其中GB为ED与BF的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点B作BF⊥CD于点F，过点E作EG⊥AB于点G，则四边形EGDF为矩形，
∴ $EG=DF$，$GF=ED=15$ 米。
已知梯坎坡度 $i=1:\sqrt{3}$，即 $\tan∠ BCF=\frac{BF}{FC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ BCF=30°$。
在Rt△BCF中，$BC=12$ 米，
∴ $BF=BC·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6$ 米，
$FC=BC·\cos30°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ 米。
∴ $EG=DF=FC+CD=6\sqrt{3}+20$ 米，
∵ 从A测得E的俯角 $α=45°$，
∴ $∠ AEG=α=45°$，即Rt△AEG为等腰直角三角形，
∴ $AG=EG=20+6\sqrt{3}$ 米，
又
∵ $GB=GF-BF=15-6=9$ 米，
∴ $AB=AG+GB=(20+6\sqrt{3})+9=29+6\sqrt{3}\approx29+6×1.73=39.38\approx39.4$ 米。
【答案】
39.4
【知识点】
解直角三角形、坡度坡角问题、俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是通过作辅助线将实际场景转化为几何中的直角三角形、矩形问题，结合坡度、俯角的几何意义计算边长，需要注意近似计算的准确性。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先作辅助线构造直角三角形和矩形：过点B作BF⊥CD于F，过点E作EG⊥AB于G，可得四边形EGDF是矩形，将不规则图形转化为熟悉的几何图形求解。2. 先解Rt△BCF，根据坡度的定义求出∠BCF的度数，结合坡长BC算出梯坎的竖直高度BF和水平宽度FC。3. 根据俯角α=45°的性质，可得△AEG是等腰直角三角形，即AG=EG，而EG的长度等于FC与CD的和。4. 最后AB的高度为AG与GB的和，其中GB为ED与BF的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点B作BF⊥CD于点F，过点E作EG⊥AB于点G，则四边形EGDF为矩形，
∴ $EG=DF$，$GF=ED=15$ 米。
已知梯坎坡度 $i=1:\sqrt{3}$，即 $\tan∠ BCF=\frac{BF}{FC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $∠ BCF=30°$。
在Rt△BCF中，$BC=12$ 米，
∴ $BF=BC·\sin30°=12×\frac{1}{2}=6$ 米，
$FC=BC·\cos30°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ 米。
∴ $EG=DF=FC+CD=6\sqrt{3}+20$ 米，
∵ 从A测得E的俯角 $α=45°$，
∴ $∠ AEG=α=45°$，即Rt△AEG为等腰直角三角形，
∴ $AG=EG=20+6\sqrt{3}$ 米，
又
∵ $GB=GF-BF=15-6=9$ 米，
∴ $AB=AG+GB=(20+6\sqrt{3})+9=29+6\sqrt{3}\approx29+6×1.73=39.38\approx39.4$ 米。
【答案】
39.4
【知识点】
解直角三角形、坡度坡角问题、俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是通过作辅助线将实际场景转化为几何中的直角三角形、矩形问题，结合坡度、俯角的几何意义计算边长，需要注意近似计算的准确性。
【难度系数】
0.6
11 如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A、B两点间的距离。（结果保留根号）
答案
11.$(4\sqrt{3}+4)$千米
解析
【分析】
本题要求斜三角形ABC中AB边的长度，已知两个内角和一条边的长度，可通过作高线将斜三角形转化为两个特殊直角三角形求解：先过点C作AB的垂线CD，将△ABC拆分为含30°角的Rt△ACD和含45°角的等腰Rt△BCD，先在Rt△ACD中利用30°角的性质求出CD、AD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的等腰直角三角形两直角边相等的性质求出BD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=8千米，
∴ $CD = AC·\sin30° = \frac{1}{2}×8 = 4$（千米），
$AD = AC·\cos30° = 8×\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$（千米）。
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，CD=4千米，
∴ $∠BCD=90°-45°=45°=∠CBD$，
∴ $BD = CD = 4$千米。
∴ $AB = AD + BD = 4\sqrt{3} + 4 = (4\sqrt{3} + 4)$千米。
【答案】
$(4\sqrt{3}+4)$千米
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的常规应用题型，解题关键是通过作辅助线将斜三角形转化为特殊直角三角形，考察了学生对特殊直角三角形性质、三角函数的应用能力，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
本题要求斜三角形ABC中AB边的长度，已知两个内角和一条边的长度，可通过作高线将斜三角形转化为两个特殊直角三角形求解：先过点C作AB的垂线CD，将△ABC拆分为含30°角的Rt△ACD和含45°角的等腰Rt△BCD，先在Rt△ACD中利用30°角的性质求出CD、AD的长度，再在Rt△BCD中利用45°角的等腰直角三角形两直角边相等的性质求出BD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=8千米，
∴ $CD = AC·\sin30° = \frac{1}{2}×8 = 4$（千米），
$AD = AC·\cos30° = 8×\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$（千米）。
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，CD=4千米，
∴ $∠BCD=90°-45°=45°=∠CBD$，
∴ $BD = CD = 4$千米。
∴ $AB = AD + BD = 4\sqrt{3} + 4 = (4\sqrt{3} + 4)$千米。
【答案】
$(4\sqrt{3}+4)$千米
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的常规应用题型，解题关键是通过作辅助线将斜三角形转化为特殊直角三角形，考察了学生对特殊直角三角形性质、三角函数的应用能力，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
12 如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为$60°$，测得2号楼顶部F的俯角为$45°$。已知1号楼的高度为20米，求2号楼的高度。（结果保留根号）
答案
12.$(50-10\sqrt{3})$米
解析
【分析】
这是俯角测高的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中求解。首先过两栋楼的顶部向无人机所在的竖直线AB作垂线，得到两个直角三角形和两个矩形，利用矩形性质可得两栋楼到B点的水平距离相等；先结合1号楼的高度和60°俯角，在左侧直角三角形中算出水平距离，再利用45°俯角在右侧直角三角形中算出无人机比2号楼顶部高出的高度，最后用无人机的起飞高度减去该高度即可得到2号楼的高度。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，
则四边形ECBG、FDBH均为矩形，
∴$GB=EC=20$米，$HB=FD$，$BC=EG$，$BD=FH$。
∵B是CD的中点，
∴$BC=BD$，即$EG=FH$。
由题意知$AB=50$米，
∴$AG=AB-GB=50-20=30$米。
∵A处测得E的俯角为$60°$，
∴$∠ AEG=60°$，
在$Rt△ AEG$中，$\tan∠ AEG=\frac{AG}{EG}$，
即$\tan60°=\frac{30}{EG}$，$\sqrt{3}=\frac{30}{EG}$，解得$EG=10\sqrt{3}$米，
∴$FH=EG=10\sqrt{3}$米。
∵A处测得F的俯角为$45°$，
∴$∠ AFH=45°$，
在$Rt△ AFH$中，$∠ AFH=45°$，
∴$AH=FH=10\sqrt{3}$米，
∴$FD=HB=AB-AH=50-10\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$(50-10\sqrt{3})$米
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；矩形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题时要准确理解俯角的含义，通过构造辅助线将实际问题转化为几何计算问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是俯角测高的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中求解。首先过两栋楼的顶部向无人机所在的竖直线AB作垂线，得到两个直角三角形和两个矩形，利用矩形性质可得两栋楼到B点的水平距离相等；先结合1号楼的高度和60°俯角，在左侧直角三角形中算出水平距离，再利用45°俯角在右侧直角三角形中算出无人机比2号楼顶部高出的高度，最后用无人机的起飞高度减去该高度即可得到2号楼的高度。
【解析】
解：过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，
则四边形ECBG、FDBH均为矩形，
∴$GB=EC=20$米，$HB=FD$，$BC=EG$，$BD=FH$。
∵B是CD的中点，
∴$BC=BD$，即$EG=FH$。
由题意知$AB=50$米，
∴$AG=AB-GB=50-20=30$米。
∵A处测得E的俯角为$60°$，
∴$∠ AEG=60°$，
在$Rt△ AEG$中，$\tan∠ AEG=\frac{AG}{EG}$，
即$\tan60°=\frac{30}{EG}$，$\sqrt{3}=\frac{30}{EG}$，解得$EG=10\sqrt{3}$米，
∴$FH=EG=10\sqrt{3}$米。
∵A处测得F的俯角为$45°$，
∴$∠ AFH=45°$，
在$Rt△ AFH$中，$∠ AFH=45°$，
∴$AH=FH=10\sqrt{3}$米，
∴$FD=HB=AB-AH=50-10\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$(50-10\sqrt{3})$米
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；矩形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题时要准确理解俯角的含义，通过构造辅助线将实际问题转化为几何计算问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
